Contar, contar, contar, todos decimos que sabemos contar, pero… ¿Sabemos contar?.

Al respecto del tema me viene a la mente una curiosa anécdota de una tribu amazónica llamada Piranha, esta tribu tiene un lenguaje aritmético muy limitado conocen los números 1, 2 y 3. Y cualquier elemento en su cotidianidad que supere esta cantidad ellos los llaman “muchos”, así si tienen 5 elementos de algún determinado objeto o 15 o 100 o 1000 ellos simplemente dicen “muchos”.

Lo curioso de esta anécdota es que desde nuestro punto de vista consideramos que estamos en la vanguardia del conocimiento y que nosotros SI tenemos nombre para todos los números, sin embargo, hay un punto en el que nuestra capacidad de nombrar números se acaba y usamos una palabra parecida al “muchos” de nuestra tribu, que llamamos: Infinito.

Para ponernos de acuerdo, voy a realizar una reflexión, ¿Cuál es el número más grande que conocen?, ¿Millones?, ¿Billones?, ¿Trillones?,.. ¿Quintillones?, bueno permítanme contarles que un quintillón o un trillon de quintillones esta tan lejos del infinito como el número 1.

En hablemos de datos, hemos hablado de cifras y de estadísticas y otros días hablaremos de técnicas, como el día de hoy, que hablaremos de técnicas de conteo.

Así que sin más ni más, hablemos de datos…

¿Qué tanto saben contar ustedes?, ¿Saben cuántos dedos tienen en una mano? Muy bien 5.

¿Y cuantos dedos en ambas manos? 10.

Les aseguro incluso que saben cuantas tareas tienen pendientes, o pueden contar cosas mas complejas como el numero de pesos que tienen en su cuenta bancaria, pero les voy a hacer una pregunta más sencilla.

Si yo tomara un dedo cualquiera de mi mano izquierda y un dedo cualquiera de mi mano derecha y los juntara tendríamos una pareja de dedos, la pregunta es ¿Cuantas parejas diferentes puedo formar con un dedo de la mano izquierda y un dedo de la mano derecha? ¿5?, ¿10?

Bueno hagamos el conteo si tomo mi pulgar izquierdo lo puedo emparejar con mi pulgar derecho, o con mi índice derecho, o con mi dedo medio derecho, o con mi dedo anular derecho, o con mi dedo meñique derecho. Eso significa que para mi dedo pulgar izquierdo tengo la opción de armar 5 parejas diferentes.

Es decir que si a esta hora ustedes que me están escuchando están juntando sus dedos de las manos como cuando los niños están aprendiendo a contar, van por buen camino, por que espero que se acaben de dar cuenta que por cada uno de los cinco dedos de mi mano izquierda puedo emparejarlo con cada uno de los cinco dedos de mi mano derecha, tengo la posibilidad de armar 25 parejas diferentes, que curiosamente es 5 x 5.

Esto nos lleva al principio fundamental del conteo: si un evento puede suceder de X maneras diferentes y otro evento independiente del anterior puede suceder de Y maneras diferentes, el numero de maneras diferentes en que pueden suceder ambos eventos es X por Y.

Veámoslo con otro ejemplo, si cada placa de carro en Colombia está conformada por tres letras y tres números,

¿Cuantas placas de carro pueden existir?

Para efectos de este ejercicio asumamos que nuestro alfabeto tiene 26 letras, que a ch, la ll o ñ no aplican, eso significa que para la primera casilla de la placa de un carro tenemos 26 posibilidades, para la segunda también tenemos 26 posibilidades al igual que para la tercera.

Eso significa que en solo combinaciones de letras tenemos 26 de la primera casilla x 26 de la segunda casilla x 26 de la tercera casilla. 26 x 26 x 26 = 17.576 posibles combinaciones de letras.

Ahora bien si nos pasamos al segmento numérico tenemos tres casillas también cada una tiene 10 posibilidades de los números que van del 0 al 9, es decir, tenemos 10 posibilidades de la primera casilla numérica x 10 de la segunda casilla x 10 de la tercera casilla. 10 x 10 x 10 = 1.000 posibles combinaciones numéricas.

Como la combinación de letras fue independiente en cada una de sus casillas, y la combinación de números también fue independiente en cada una de sus casillas obtuvimos esos resultados, pero además todas las combinaciones de letras son independientes de todas las combinaciones de números el numero total de placas seria la multiplicación de todas las opciones es decir 17.576 * 1.000. Lo cual nos da la modesta cuenta de 17’576.000 placas posibles.

Y apenas estamos empezando a vislumbrar la forma de contar

Hasta aquí la cosa es sencilla por que en cada casilla podía ir un símbolo independiente, pero imaginémonos otro escenario, soy un aficionado a la música en los viejos discos de vinilo y cada que puedo compro discos nuevos , sin embargo algunos son muy costosos por considerarse elementos antiguos, en un escenario ficticio vamos a pensar que tengo dinero para comprar 3 discos pero la llegar donde al almacén donde los compro veo que hay cinco diferentes discos que me gustan.

Y aquí viene la pregunta mágica que solo se hace sino un matemático comprando música ¿Cuantas combinaciones de discos puedo comprar con el dinero que tengo? Y claro la respuesta es sencilla, voy a imaginar que tengo tres casillas en las cuales voy a colocar los discos que vaya a comprar, para la primera casilla tengo 5 opciones, para la segunda casilla tengo 4 opciones, ya no son 5 porque ya coloqué un disco en la primera casilla y en la tercer casilla solo tengo tres opciones porque ya he seleccionado dos discos con anterioridad.

Extendiendo el principio fundamental del conteo vemos que serian 5 opciones de la primera casilla x 4 opciones de la segunda casilla x 3 opciones de la tercera casilla, 5 x 4 = 20 y 20 x 3 = 60, hay 60 posibles combinaciones de discos que podría comprar. Pensar en todas las posibles opciones es tan abrumador que algunos preferiríamos no comprar nada y regresar otro día con más dinero.

Y aquí hay un detalle curioso porque si hubiera llevado dinero para comprar solo 2 discos también hubiera tenido 60 combinaciones posibles. Que se corresponden a las mismas 60 opciones que tenía cuando iba a comprar tres discos dejando 2 en el estante.

Lo mismo sucedería si solo llevara dinero para comprar un disco o para comprar cuatro discos, en ambos casos tendría apenas 5 opciones, en el primer caso cuando sol puedo comprar uno d ellos cinco discos, en el segundo no miro que discos voy a llevar sino cual de los 5 voy a dejar.

Aquí hay una pequeña trampa, y es que si vuelvo a las 60 combinaciones posibles de tres discos, y supongamos que llevo el disco A, el disco B y el disco C, es la misma combinación que si hubiese llevado el disco C, el disco A y el disco B, solo que en otro orden, pero de ese tema hablaremos en el siguiente episodio.