מְקַדְּשִׁים וְאוֹכְלִים וְשׁוֹתִים בַּסּוּכָּה בֵּין בַּלַּיְלָה וּבֵין בַּיּוֹם

We recite Kiddush and eat and drink in the sukkah, both at night and during the day.

הַקָּפוֹת בְּלֵיל שְׁמִינִי עֲצֶרֶת

Hakkafos are held on the eve of Shemini Atzeres.

הפטורה: וַיְהִי כְּכַלּוֹת - וּלְיִשְׂרָאֵל עַמּוֹ

The haftarah begins with Vayehi kechalos and ends with u’leYisrael amo.

אֵין אוֹמְרִים הַיְהִי רָצוֹן בִּיצִיאָה מִן הַסּוּכָּה.

When taking leave of the sukkah [for the last time during the festival],we do not recite the Yehi ratzon [that appears in some Siddurim].

שְׁמִינִי עֲצֶרֶת וְרֹאשׁ הַשָּׁנָה מִשְׁתַּוִּים בְּכַמָּה עִנְיָנֵי כַּוָּנוֹת וְיִחוּדִים עֶלְיוֹנִים

Shemini Atzeres and Rosh HaShanah are similar in terms of certain mystical intentions (kavanos) and Supernal Unifications (yichudim). 

אֶלָּא שֶׁבְּרֹאשׁ הַשָּׁנָה הֵם בְּעִנְיַן הָעֲלִיָּה

On Rosh HaShanah, however, they are framed in terms of ascent,

וּבִשְׁמִינִי עַצֶרֶת הֵם בְּעִנְיַן הַהַמְשָׁכָה

whereas on Shemini Atzeres, the thrust is on drawing G‑dliness downward.

בְּרֹאשׁ הַשָּׁנָה הָעֲבוֹדָה בְּתַחֲנוּנִים בְּהַכְנָעָה וּבִמְרִירוּת עֲצוּמָה

On Rosh HaShanah, our Divine service is characterized by submissive supplication and intense remorse;

וּבִשְׁמִינִי עַצֶרֶת הִיא בְּקַו הַשִּׂמְחָה

on Shemini Atzeres, our Divine service is in a joyful mode.

Text and Translation courtesy of Sichos in English

For questions and follow-up: [email protected]