Børresen descendía de una familia de comerciantes. De niño recibió clases de violín, violonchelo y piano . Cuando Børresen le dejó claro a su padre que deseaba convertirse en compositor, este último hizo los arreglos para que estudiara en el Real Conservatorio Danés en 1895. Allí estudió composición con Johan Svendsen. Después de más estudios privados, su Primera Sinfonía se estrenó en privado en 1901.

El estilo y el lenguaje musical de Børresen son principalmente los del romanticismo tardío. Su música muestra poca o ninguna influencia de tendencias más modernas. En cambio, su música toma como inspiración las ideas culturales danesas y las melodías populares. Su estilo refleja la influencia de su maestro Svendsen, así como la de Tchaikovsky.