En esta clase desarrollamos heurísticamente la construcción del adjunto izquierdo $F$ de un funtor $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$, bajo el supuesto de que $G$ **preserva límites pequeños** y que $\mathcal{D}$ es **completa**. Observamos que, para cada objeto $X \in \mathcal{C}$, el objeto $F(X)$ debe representar el funtor $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, G(-))$, lo que equivale a decir que $F(X)$ es un objeto **inicial** en la categoría de elementos $(X \downarrow G)$. Bajo estas condiciones, mostramos que este objeto inicial existe y puede **construirse como un límite** sobre un diagrama adecuado en $\mathcal{D}$. La existencia de este límite garantiza la existencia del adjunto izquierdo. Finalmente, discutimos cómo este resultado puede generalizarse en condiciones de accesibilidad o bajo la existencia de ciertos límites específicos, dando paso a las formas más generales del **Teorema del Funtor Adjunto**.

Conmutatividad de Límites y Colímites Filtrados: Propiedades, Corolarios y Aplicaciones Categóricas

1.0 Introducción

En el corazón de la teoría de categorías yace la interacción entre dos de sus construcciones más fundamentales: los límites y los colímites. Estos operadores duales generalizan conceptos como productos, intersecciones, uniones y cocientes, proporcionando un lenguaje unificado para describir estructuras en diversas áreas de la matemática. Una pregunta de importancia estratégica es determinar bajo qué condiciones estos operadores conmutan entre sí. Los funtores que preservan estructuras finitas, conocidos como funtores exactos, son la clave para responder a esta pregunta, pues garantizan que las construcciones finitas en una categoría se mapean a construcciones análogas en otra.

La proposición central de este artículo es un resultado fundamental y de amplio alcance: la exactitud de los colímites filtrados en la categoría de conjuntos (Set). Este teorema establece que el funtor que calcula el colímite sobre una categoría indexante filtrada conmuta con todos los límites finitos. La relevancia de este resultado se magnifica por el papel de

la categoría como base para innumerables construcciones en álgebra, topología y lógica. Muchas categorías de interés, como las de grupos o anillos, heredan sus propiedades estructurales de la categoría de conjuntos mediante funtores de olvido.

En las siguientes secciones, se presentará una demostración detallada de esta proposición, desglosando la prueba en sus componentes esenciales: la preservación del objeto final, los productos binarios y los ecualizadores. Posteriormente, se explorarán corolarios clave, como la condición AB6 en la categoría de grupos abelianos, un axioma fundamental en la teoría de categorías abelianas y en campos emergentes como la matemática condensada. Finalmente, se contextualizará este tema en el marco más amplio de las subcategorías reflexivas y correflexivas, mostrando cómo la teoría de funtores adjuntos ofrece un marco sistemático para comprender diversas construcciones universales. Este recorrido nos preparará para la demostración formal que se realizará a continuación.

2.0 Proposición Central: La Exactitud de los Colímites Filtrados en la Categoría de Conjuntos

Para demostrar que un funtor es exacto izquierdo —es decir, que preserva todos los límites finitos—, basta con verificar que preserva los tres componentes fundamentales a partir de los cuales se pueden construir todos los demás límites finitos: el objeto final, los productos binarios y los ecualizadores. La estrategia de la demostración consistirá en analizar cada uno de estos casos para el funtor de colímite filtrado en la categoría de conjuntos, aprovechando la descripción explícita de sus elementos como “gérmenes” o clases de equivalencia.

Se enuncia formalmente la proposición principal de la siguiente manera:

Proposición: Para una categoría indexante pequeña y filtrada I fija, el funtor de colímite colim: Set^I -> Set es un funtor exacto izquierdo.

Esto significa que para cualquier diagrama de diagramas X indexado por una categoría finita J, existe un isomorfismo canónico entre colim(lim X) y lim(colim X).

2.1 Preservación del Objeto Final

El objeto final en la categoría de conjuntos Set es cualquier conjunto unitario, por ejemplo, {0}. Consecuentemente, el objeto final en la categoría de diagramas Set^I es el diagrama constante que asigna el conjunto {0} a cada objeto i de I y la función identidad a cada morfismo. El colímite de este diagrama constante es, de manera inmediata, el propio conjunto {0}. Dado que {0} es el objeto final en Set, se concluye que el funtor de colímite filtrado preserva el objeto final.

2.2 Preservación de Productos Finitos

Para demostrar la preservación de productos finitos, basta con considerar el caso de productos binarios. Dados dos diagramas X: I → Set e Y: I → Set, su producto en la categoría de diagramas Set^I es un nuevo diagrama X × Y definido “entrada por entrada”: para cada objeto i ∈ I, el objeto (X × Y)_i es el producto cartesiano X_i × Y_i. El objetivo es demostrar que existe un isomorfismo canónico: colim (X × Y) ≅ (colim X) × (colim Y).

Las propiedades universales del colímite y del producto garantizan la existencia de un morfismo canónico Φ: colim(X_i × Y_i) → (colim X) × (colim Y). Aunque es posible construir un morfismo inverso utilizando únicamente las propiedades universales, lo que involucra una compleja secuencia de manipulaciones diagramáticas, una demostración más directa del isomorfismo puede lograrse probando la biyectividad de Φ mediante la construcción explícita de los colímites en Set.

Un colímite filtrado en Set, colim X_i, se construye como el cociente de la unión disjunta ∐_i X_i Bajo una relación de equivalencia. Un elemento en el colímite es una clase de equivalencia [x_i] (un “germen”), donde x_i ∈ X_i. Dos elementos x_i ∈ X_i y x_j ∈ X_j son equivalentes (x_i ~ x_j) si existe un índice k en I con morfismos i → k y j → k tal que las imágenes de x_i y x_j en X_k coinciden. Bajo esta descripción, el morfismo Φ mapea la clase de un par [(x_i, y_i)] al par de clases ([x_i], [y_i]).

Inyectividad: Supongamos que Φ([(x_i, y_i)]) = Φ([(x_j, y_j)]). Esto implica que ([x_i], [y_i]) = ([x_j], [y_j]), lo cual, por definición del producto en Set, significa que [x_i] = [x_j] y [y_i] = [y_j]. La primera igualdad implica que existe un k_1 ≥ i, j tal que las imágenes de x_i y x_j coinciden en X_{k_1}. La segunda implica que existe un k_2 ≥ i, j tal que las imágenes de y_i y y_j coinciden en Y_{k_2}. Como la categoría I es filtrada, existe un k ≥ k_1, k_2. En el nivel k, las imágenes de x_i y x_j coinciden, al igual que las de y_i y y_j. Por lo tanto, las imágenes de los pares (x_i, y_i) y (x_j, y_j) coinciden en X_k × Y_k, lo que demuestra que [(x_i, y_i)] = [(x_j, y_j)]. Así, Φ es inyectiva.

Suprayectividad: Tómese un elemento arbitrario ([x_i], [y_j]) del codominio (colim X) × (colim Y). Nótese que los índices i y j Pueden ser diferentes. Dado que I es filtrada, existe un índice k con morfismos i → k y j → k. Sean x_k la imagen de x_i en X_k y y_k la imagen de y_j en Y_k. Por construcción, [x_i] = [x_k] y [y_j] = [y_k], de modo que ([x_i], [y_j]) = ([x_k], [y_k]). Este último par es la imagen, bajo Φ, del elemento [(x_k, y_k)] del dominio, lo que demuestra que Φ es suprayectiva.

Al ser Φ una función biyectiva, es un isomorfismo en Set.

2.3 Preservación de Equilizadores

Dados dos morfismos de diagramas (transformaciones naturales) f, g: X → Y, su ecualizador en Set^I es un diagrama E que se construye tomando el ecualizador en cada nivel: E_i = Eq(f_i, g_i) = {x ∈ X_i | f_i(x) = g_i(x)}. El objetivo es demostrar el isomorfismo: colim(Eq(f_i, g_i)) ≅ Eq(colim f, colim g).

Los morfismos f y g inducen morfismos colim f y colim g entre los colímites, que actúan sobre los gérmenes como (colim f)([x_i]) = [f_i(x_i)] y (colim g)([x_i]) = [g_i(x_i)]. Para demostrar el isomorfismo, se debe establecer que un germen [x_i] pertenece a colim(Eq(f_i, g_i)) si y solo si pertenece a Eq(colim f, colim g).

* (⇒) Si [x_i] ∈ colim(Eq(f_i, g_i)), entonces existe un representante x_j de la clase tal que x_j ∈ Eq(f_j, g_j). Esto significa f_j(x_j) = g_j(x_j). Aplicando los funtores de colímite, (colim f)([x_j]) = [f_j(x_j)] y (colim g)([x_j]) = [g_j(x_j)]. Dado que f_j(x_j) = g_j(x_j), sus clases son idénticas, [f_j(x_j)] = [g_j(x_j)], por lo que (colim f)([x_j]) = (colim g)([x_j]). Como [x_i] = [x_j], se sigue que [x_i] está en el ecualizador de los morfismos de colímite.

* (⇐) Si [x_i] ∈ Eq(colim f, colim g), entonces (colim f)([x_i]) = (colim g)([x_i]), lo que significa [f_i(x_i)] = [g_i(x_i)]. Por la definición de la relación de equivalencia en el colímite de Y, esto implica que existe un índice k ≥ i donde las imágenes de f_i(x_i) y g_i(x_i) coinciden. Sea x_k la imagen de x_i en X_k. Por la naturalidad de f y g, las imágenes de f_i(x_i) y g_i(x_i) en Y_k son f_k(x_k) y g_k(x_k), respectivamente. Por lo tanto, f_k(x_k) = g_k(x_k), lo que significa que x_k ∈ Eq(f_k, g_k). El germen original [x_i] es igual a [x_k], que tiene un representante en un ecualizador. Esto demuestra que [x_i] pertenece a colim(Eq(f_i, g_i)).

Habiendo demostrado que el funtor de colímite filtrado preserva el objeto final, los productos binarios y los ecualizadores, concluimos que es exacto izquierdo. Un argumento dual análogo demuestra que también preserva colímites finitos (es decir, es exacto derecho), pero la elaboración de dicha prueba se deja como un valioso ejercicio para el lector.

3.0 Corolarios y Aplicaciones

La proposición demostrada, aunque centrada en la categoría de conjuntos, tiene consecuencias estructurales profundas que se extienden a otras categorías algebraicas importantes. Su poder reside en garantizar que dos procesos fundamentales —tomar límites finitos y colímites filtrados— pueden intercambiarse sin alterar el resultado final. Esto simplifica cálculos complejos y fundamenta propiedades estructurales en diversas áreas de la matemática.

3.1 Conmutatividad de Límites Finitos y Colímites Filtrados

El corolario más directo y potente del resultado de exactitud es la conmutatividad explícita de estos operadores.

Corolario 3.1: En la categoría de conjuntos, para una categoría indexante filtrada I y una categoría indexante finita J, y un diagrama X: I × J → Set, se cumple el siguiente isomorfismo canónico:

colim_{i ∈ I} (lim_{j ∈ J} X_{i,j}) ≅ lim_{j ∈ J} (colim_{i ∈ I} X_{i,j})

Esta es una reformulación directa de la exactitud izquierda del funtor de colímite. El lim_{j ∈ J} representa un límite finito genérico, y la proposición garantiza que el funtor colim_{i ∈ I} puede “pasar a través” de él.

3.2 Extensión a la Categoría de Grupos Abelianos y la Condición AB6

El resultado de Set se puede extender a otras categorías con una estructura algebraica rica, como la categoría de grupos abelianos (Ab). Esto se debe a que el funtor de olvido U: Ab → Set “crea” tanto límites como colímites filtrados. Un funtor crea un límite si un diagrama en su dominio tiene un límite siempre que su imagen en el codominio lo tenga, y además, este funtor refleja dicho límite. Como consecuencia, la conmutatividad demostrada en Set se hereda directamente en Ab.

Este hecho tiene una implicación importante respecto de los axiomas que definen las categorías abelianas.

Una categoría abeliana satisface la condición AB6 si los colímites filtrados conmutan con productos. Como corolario directo del resultado anterior, se puede demostrar que Ab satisface esta condición para productos finitos: para dos diagramas de grupos abelianos X e Y indexados por una categoría filtrada I, el isomorfismo (colim X) × (colim Y) ≅ colim(X × Y) se mantiene. La posible extensión de esta propiedad a productos infinitos es una cuestión más profunda. Esta propiedad es crucial en contextos avanzados como la matemática condensada, donde se construyen categorías abelianas que deben satisfacer este y otros axiomas similares para desarrollar teorías de cohomología robustas.

Estos resultados específicos pueden ser entendidos dentro de un marco conceptual más general: el de las subcategorías reflexivas.

4.0 Marco General: Subcategorías Reflexivas y Correflexivas

Muchos funtores que construyen objetos con propiedades universales, como el funtor de abelianización, que convierte un grupo en un grupo abeliano, pueden entenderse de manera sistemática mediante la teoría de funtores adjuntos y el concepto de subcategorías reflexivas. Este marco proporciona un lenguaje unificado para describir una amplia clase de construcciones matemáticas.

4.1 Definición y Propiedad Universal

Una subcategoría plena C’ de una categoría C se dice que es reflexiva si el funtor de inclusión i: C’ → C admite un adjunto izquierdo F: C → C’, al que se denomina reflector. Dualmente, una subcategoría C’ es correflexiva si el funtor de inclusión admite un adjunto derecho.

La existencia de una reflexión está intrínsecamente ligada a una propiedad universal. Para cualquier objeto X en la categoría C, su reflexión F(X) en C’ viene equipada con un morfismo universal η_X: X → F(X). Este morfismo es universal en el sentido de que para cualquier otro morfismo f: X → X’ donde X’ pertenece a la subcategoría C’, existe un único morfismo f̄: F(X) → X’ en C’ que hace conmutar el siguiente diagrama:

η_X

Esta propiedad captura la idea de que F(X) es la “mejor aproximación” de X dentro de la subcategoría C’.

4.2 Ejemplos Ilustrativos

Abelianización: Ab como subcategoría de Group

La categoría de grupos abelianos (Ab) es una subcategoría plena y reflexiva de la categoría de todos los grupos (Group).

* Reflector: El funtor reflector es el conocido funtor de abelianización, que asigna a cada grupo G su grupo cociente G/[G,G], donde [G,G] es el subgrupo conmutador.

* Propiedad Universal: El morfismo universal G → G/[G,G] es la proyección al cociente. La propiedad universal de la abelianización establece que cualquier homomorfismo de G a un grupo abeliano A se factoriza de manera única a través de G/[G,G], lo que coincide exactamente con el diagrama de la definición de reflexión.

Grupos y Monoides: Group como subcategoría de Mon

La categoría de grupos (Group) es una subcategoría plena de la categoría de monoides (Mon). Este caso es particularmente ilustrativo porque la subcategoría es tanto reflexiva como correflexiva.

* Como Subcategoría Reflexiva: La inclusión i: Group → Mon tiene un adjunto izquierdo. Este reflector es el funtor que construye un grupo a partir de un monoide. Lo hace tomando el grupo libre sobre los elementos del monoide y luego formando el cociente por las relaciones necesarias para forzar que la operación del monoide sea respetada por la operación del grupo. Este es un ejemplo de una construcción “libre” o expansiva, característica de los adjuntos izquierdos.

* Como Subcategoría Correflexiva: La inclusión también tiene un adjunto derecho. Este funtor, el correflector, asigna a cada monoide M su grupo de unidades M*, que consiste en todos los elementos invertibles de M. Esta es una construcción “restrictiva”, que selecciona una subestructura bien comportada, un rasgo típico de los adjuntos derechos.

Estos ejemplos revelan una dicotomía fundamental: los adjuntos izquierdos (reflectores) tienden a ser funtores de construcción “libre”, que añaden estructura para satisfacer ciertas propiedades. En cambio, los adjuntos derechos (correflectores) suelen ser funtores “restrictivos”, que seleccionan la subparte de un objeto que ya posee la propiedad deseada.

5.0 Conclusión

Este artículo ha explorado en detalle la propiedad de exactitud izquierda de los colímites filtrados en la categoría de conjuntos, un resultado que garantiza su conmutatividad con los límites finitos. La demostración, basada en la descripción explícita de los elementos del colímite, subraya la naturaleza constructiva de la teoría de categorías y su capacidad para formalizar razonamientos intuitivos.

Los corolarios discutidos, en particular la extensión de este resultado a la categoría de grupos abelianos y la consecuente satisfacción de la condición AB6, ilustran cómo propiedades fundamentales de Set se propagan a estructuras algebraicas más complejas. Esto tiene implicaciones directas en áreas avanzadas, lo que

demuestra que es una categoría abeliana con un comportamiento robusto frente a operaciones infinitarias.

Finalmente, el marco de las subcategorías reflexivas y correflexivas ha permitido unificar diversas construcciones universales del álgebra bajo el paraguas de la teoría de adjunciones. La distinción entre funtores “libres” (adjuntos izquierdos) y “restrictivos” (adjuntos derechos) proporciona una poderosa heurística para comprender y predecir la estructura de las construcciones matemáticas. La comprensión de estas conmutatividades y propiedades universales no es meramente un ejercicio teórico; es una herramienta indispensable para el desarrollo de campos como la topología algebraica, la geometría algebraica y la matemática condensada, en los que la interacción controlada entre distintos tipos de límites resulta fundamental.