La teoría de funciones spline fue desarrollada por Schoenberg a finales de la década de 1940. En su forma más simple se trata de funciones polinómicas de grado n por partes que aproximan de manera uniforme cualquier función continua y constituyen un espacio vectorial de funciones que incluye a la clase de polinomios de grado n. De Boor desarrolló un algoritmo recursivo numéricamente estable, en 1972, para evaluar una función spline en un valor del dominio a partir de funciones spline básicas que definió también de manera recursiva.

Les comparto una aplicación desarrollada en GeoGebra para que se familiaricen con este tipo de funciones (deberá esperar a que GeoGebra complete su computación cada vez que inicia o detiene la animación): https://www.geogebra.org/m/xqkyywue.

En este primer bonus del Episodio 1 nos enfocamos en la aproximación uniforme de funciones continuas por medio de polinomios. Desde la publicación en 1885 del Teorema de Aproximación de Weiestrass, pasando por su demostración constructiva en 1912 a través de polinomios de Bernstein y la presentación del primer algoritmo numéricamente estable propuesto por Casteljau en 1959, hasta nuestros días ha habido muchos aportes al respecto.

Les comparto el laboratorio de casos: https://cocalc.com/share/public_paths/582d9efcd6dbe7c952d9e1e24ac9524104271c5e.

Además, les comparto una aplicación en GeoGebra que muestra como se generan los polinomios de Bernstein que aproximan una función. Al considerar los puntos en plano de las coordenadas x e y, se usa el término curva de Bézier: https://www.geogebra.org/m/yqvkcqfs

Se reflexiona sobre la idea y realidad de aproximar funciones matemáticas continuas sobre un intervalo cerrado por medio de funciones polinomiales algebraicas.Un tema que se rememora a finales del siglo XIX con la demostración de Weierstrass sobre aproximación de funciones continuas por polinomios algebraicos de manera uniforme, con contribuciones de notables autores a lo largo de los años.

Les comparto el CasesLab en CoCalc.com para que puedan experimentar y reflexionar al respecto.