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Exponentialgleichungen lösen - Teil 1: Der Logarithmus
Hallo,
willkommen zur Reihe Exponentialgleichungen lösen
In diesem Teil geht es um den Logarithmus.
Exponentialgleichungen sind Gleichungen der Form a^x = b bzw. Gleichungen, in denen eine gesuchte Variable (x) im Exponenten vorkommt.
Aufgabe ist es nun, an die gesuchte Variable zu kommen.
Schauen wir uns einfache Gleichungen wie 3^x = 27 an, so können wir leicht durch Ausprobieren oder Raten herausfinden: x=3.
Bei anderen Gleichungen geht das nicht so einfach, bspw. 3^x = 20.
Die Lösung ist zwischen 2 und 3 zu finden. Wer sich an die Intervallschachtelung bei quadratischen Gleichungen erinnert, der kann das gerne mal ausprobieren.
Spoiler: es macht keinen Spaß!
Aber es gibt eine Möglichkeit, mit Hilfe des Taschenrechners das einfach auszurechnen:
Der Logarithmus!
Mathematische gesehen ist der Logarithmus die Umkehroperation zum Potenzieren.
Genauso wie Wurzel-Ziehen die Umkehroperation zum Quadrieren ist.
Es gilt also: a^x = b genau dann wenn x = log_a(b)
Dabei nennt man a die Basis und b das Argument.
Gesprochen: Der Logarithmus von b zur Basis a ergibt...
Ich zeige kurz die Taste beim TI-30X Plus: Hier tippe ich ein:
Und schon erhalte ich einen Wert von etwa 2,727.
Der einfache Taschenrechner von Android hat auch eine Log-Taste.
Wenn ihr ausführlicheres haben wollt, dann ist der Wissenschaftliche Taschenrechner von GeoGebra eine gute Wahl.
Am Desktop finde ich Speedcrunch gut geeignet.
Wichtig: Falls es bei euch nicht die Möglichkeit für diesen Log mit einer anderen Basis gibt, dann hilft euch folgender Trick:
log_a(b) = log(b)/log(a)
Probiert das gerne mit dem Taschenrechner aus.
Wir rechnen ein paar Beispiele:
Zum Üben hier ein paar weitere Gleichungen mit den Ergebnissen. Probiere selbst aus, ob du auf die gleichen Werte kommst. Ansonsten bespreche ich gleich die Lösungen ausführlicher.
Du merkst, dass der Logarithmus für negative Basen nicht definiert ist. Trotzdem findet man manchmal eine Lösung, wie bspw. bei (-2)^x = 4, nämlich x=2.
Was man häufig nur braucht, ist der sogenannte natürliche Logarithmus zur Basis e. Die Eulersche Zahl e ist ungefähr 2,718. Für sie gibt es den Logarithmus ln bei vielen Taschenrechnern direkt. Es gilt log_e(b) = ln(b).
Die Regeln sind aber immer noch die gleichen:
e^x = 5 Daraus folgt x = ln(5)
Berechne den Exponenten folgender Gleichungen:
Auch der natürliche Logarithmus ist für negative Zahlen nicht definiert.
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Hallo,
willkommen zur Reihe Exponentialgleichungen lösen
In diesem Teil geht es um den Logarithmus.
Exponentialgleichungen sind Gleichungen der Form a^x = b bzw. Gleichungen, in denen eine gesuchte Variable (x) im Exponenten vorkommt.
Aufgabe ist es nun, an die gesuchte Variable zu kommen.
Schauen wir uns einfache Gleichungen wie 3^x = 27 an, so können wir leicht durch Ausprobieren oder Raten herausfinden: x=3.
Bei anderen Gleichungen geht das nicht so einfach, bspw. 3^x = 20.
Die Lösung ist zwischen 2 und 3 zu finden. Wer sich an die Intervallschachtelung bei quadratischen Gleichungen erinnert, der kann das gerne mal ausprobieren.
Spoiler: es macht keinen Spaß!
Aber es gibt eine Möglichkeit, mit Hilfe des Taschenrechners das einfach auszurechnen:
Der Logarithmus!
Mathematische gesehen ist der Logarithmus die Umkehroperation zum Potenzieren.
Genauso wie Wurzel-Ziehen die Umkehroperation zum Quadrieren ist.
Es gilt also: a^x = b genau dann wenn x = log_a(b)
Dabei nennt man a die Basis und b das Argument.
Gesprochen: Der Logarithmus von b zur Basis a ergibt...
Ich zeige kurz die Taste beim TI-30X Plus: Hier tippe ich ein:
Und schon erhalte ich einen Wert von etwa 2,727.
Der einfache Taschenrechner von Android hat auch eine Log-Taste.
Wenn ihr ausführlicheres haben wollt, dann ist der Wissenschaftliche Taschenrechner von GeoGebra eine gute Wahl.
Am Desktop finde ich Speedcrunch gut geeignet.
Wichtig: Falls es bei euch nicht die Möglichkeit für diesen Log mit einer anderen Basis gibt, dann hilft euch folgender Trick:
log_a(b) = log(b)/log(a)
Probiert das gerne mit dem Taschenrechner aus.
Wir rechnen ein paar Beispiele:
Zum Üben hier ein paar weitere Gleichungen mit den Ergebnissen. Probiere selbst aus, ob du auf die gleichen Werte kommst. Ansonsten bespreche ich gleich die Lösungen ausführlicher.
Du merkst, dass der Logarithmus für negative Basen nicht definiert ist. Trotzdem findet man manchmal eine Lösung, wie bspw. bei (-2)^x = 4, nämlich x=2.
Was man häufig nur braucht, ist der sogenannte natürliche Logarithmus zur Basis e. Die Eulersche Zahl e ist ungefähr 2,718. Für sie gibt es den Logarithmus ln bei vielen Taschenrechnern direkt. Es gilt log_e(b) = ln(b).
Die Regeln sind aber immer noch die gleichen:
e^x = 5 Daraus folgt x = ln(5)
Berechne den Exponenten folgender Gleichungen:
Auch der natürliche Logarithmus ist für negative Zahlen nicht definiert.