Analog zu Biquadratischen Gleichungen gibt es eine Methode für Exponentialgleichungen der Form

a e^2x + b e^x + c = 0

Hinweis: Wenn du die Methode bei Biquadratischen Gleichungen noch nicht kennst, empfehle ich dir das Video dazu. Damit kannst du das folgende besser verstehen. Siehe

https://video-cave-v2.de/w/bDvi8dX9URd2DUtHD139bu

Beispiel:

2e^4x - 6e^2x - 8 = 0

Allgemeine Methode

Reihe Trigonometrische Gleichungen

In diesem Video erkläre ich, wie man einfache trigonometrische Gleichungen löst.

Vorgehen:

Wichtig ist, im Taschenrechner auf RAD zu stellen.

Reihe Trigonometrische Gleichungen

In diesem Video erkläre ich, wie man trigonometrische Gleichungen löst, bei denen die Funktion in x-Richtung gestreckt bzw. verschoben wurde. Dabei benutzen wir die Technik der Substitution.

Vorgehen:

Reihe Trigonometrische Gleichungen

In diesem Video erkläre ich, wie man alle Lösungen einer trigonometrischen Gleichung bestimmt bzw. die Lösungen, die in ein bestimmtes Intervall fallen. Durch die Periodizität der trigonometrischen Funktionen gibt es für eine Lösung x alle 2*pi eine weitere Lösung.

Vorgehen:

Wichtig ist, im Taschenrechner auf RAD zu stellen.

In diesem Video zeige ich, wie man Exponentialgleichungen mit Hilfe des Substitutionsverfahrens lösen kann. Siehe hierzu auch den Artikel auf Wikibooks.

Das Video ist Teil einer Reihe zum Lösen von Exponentialgleichungen:

Für die gesamte Reihe zum Lösen von Gleichungen siehe die Wiedergabeliste "Mathematische Gleichungen lösen".

Diese Hardware verwende ich:

Diese Software verwende ich:

Wikibooks-Eintrag: Exponentialgleichungen -> Ausklammern und Satz vom Nullprodukt

Hallo,

im Teil 3 zum Lösen von Exponentialgleichungen geht es um die Technik "Ausklammern und Satz vom Nullprodukt".

Hilfreich hierfür sind Potenzgesetze sowie die Methode für Polynomgleichungen - siehe das entsprechende Video und die Wikibooks-Artikel:

Wir schauen uns zunächst eine Polynomgleichung an, nämlich

x² - x = 0

Diese lösen wir schnell, indem wir x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.

x * (x-1) = 0

Das Konzept können wir jetzt übertragen auf Exponentialgleichungen der Form:

(e^{x})² - e^{x} = 0

Wenn wir hier e^x ausklammern, ergibt das:

e^{x} * (e^{x} - 1) = 0

Da e^x niemals 0 wird, können wir diesen Teil ignorieren und schauen uns den Rest an:

e^{x} - 1 = 0 |+1

Wichtig hierfür: Multiplizieren wir Potenzen mit gleicher Basis, so können wir die Exponenten einfach addieren.

Damit lassen sich Exponentialgleichungen lösen, bei denen jeder Summand ein a^{bx} enthält (abgesehen von 0).

Voraussetzung: Der Logarithmus muss bekannt sein.

Hallo,

im Teil 2 zum Lösen von Exponentialgleichungen geht es um die Technik "Direktes Auflösen und Logarithmieren".

Hinweis: e^{x} steht für "e hoch x", das x steht also im Exponenten.

Schauen wir uns die Gleichung e^{x}-5=-2, dann können wir diese vergleichen mit der quadratischen Gleichung x²-5=-2. Die Lösung davon kennen wir:

x²-5=-2 |+5

Gleiches kann man bei Exponentialgleichungen machen, in denen nur ein e^{bx} vorkommt. Anstatt die Wurzel zu ziehen müssen wir hierbei den Logarithmus aus Exponentialgleichungen lösen - Teil 1: Der Logarithmus verwenden.

e^{x}-5=-2 |+5

Der Logarithmus ist ähnlich wie Wurzel ziehen zu benutzen!

Im Video zeige ich das noch an einigen Beispielen. Selbstständig geübt werden kann mit den folgenden Gleichungen:

Die Ergebnisse: 1,21; -0,23; keine Lösung; -0,69

Die gesamte Reihe Exponentialgleichungen lösen:

Hallo,

Exponentialgleichungen sind Gleichungen der Form a^x = b bzw. Gleichungen, in denen eine gesuchte Variable (x) im Exponenten vorkommt.

Aufgabe ist es nun, an die gesuchte Variable zu kommen.

Schauen wir uns einfache Gleichungen wie 3^x = 27 an, so können wir leicht durch Ausprobieren oder Raten herausfinden: x=3.

Bei anderen Gleichungen geht das nicht so einfach, bspw. 3^x = 20.

Aber es gibt eine Möglichkeit, mit Hilfe des Taschenrechners das einfach auszurechnen:

Mathematische gesehen ist der Logarithmus die Umkehroperation zum Potenzieren.

Es gilt also: a^x = b genau dann wenn x = log_a(b)

Dabei nennt man a die Basis und b das Argument.

Ich zeige kurz die Taste beim TI-30X Plus: Hier tippe ich ein:

Der einfache Taschenrechner von Android hat auch eine Log-Taste.

Wichtig: Falls es bei euch nicht die Möglichkeit für diesen Log mit einer anderen Basis gibt, dann hilft euch folgender Trick:

log_a(b) = log(b)/log(a)

Probiert das gerne mit dem Taschenrechner aus.

Wir rechnen ein paar Beispiele:

Zum Üben hier ein paar weitere Gleichungen mit den Ergebnissen. Probiere selbst aus, ob du auf die gleichen Werte kommst. Ansonsten bespreche ich gleich die Lösungen ausführlicher.

Du merkst, dass der Logarithmus für negative Basen nicht definiert ist. Trotzdem findet man manchmal eine Lösung, wie bspw. bei (-2)^x = 4, nämlich x=2.

Was man häufig nur braucht, ist der sogenannte natürliche Logarithmus zur Basis e. Die Eulersche Zahl e ist ungefähr 2,718. Für sie gibt es den Logarithmus ln bei vielen Taschenrechnern direkt. Es gilt log_e(b) = ln(b).

Die Regeln sind aber immer noch die gleichen:

e^x = 5 Daraus folgt x = ln(5)

Berechne den Exponenten folgender Gleichungen:

Auch der natürliche Logarithmus ist für negative Zahlen nicht definiert.

In diesem Video zeige ich, wie sich der Graph der Exponentialfunktion f(x)=ae^{bx}+c verändert, wenn man a, b und c verändert.

Streckung in y-Richtung

Wird der Faktor negativ, so ist die Funktion an der x-Achse gespiegelt. Wichtig: Große Werte strecken, kleine Werte stauchen.

Streckung in x-Richtung

Im Unterschied zur Streckung in y-Richtung bleibt der Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0|1) bestehen und die Funktion wird auf beiden Seiten der y-Achse gegen diese gedrückt bzw. von dieser weg gezogen. Wichtig: Große Werte stauchen, kleine Werte strecken.

Verschiebung in y-Richtung

Das Vorzeichen des Parameters zeigt an, ob er nach oben (positiv) oder unten (negativ) verschoben wird.

Diese Hardware verwende ich:

Diese Software verwende ich:

Das dritte Video einer Reihe zum Lösen von Polynomgleichungen. Es wird gezeigt, wie man biquadratische Polynomgleichungen durch Substitution löst.

Schritte:

Wichtig sind hierfür quadratische Gleichungen, deren Lösung du hier erklärt bekommst:

Reihe: Lösen von Polynomgleichungen