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Exponentialgleichungen lösen - Teil 3: Ausklammern und Satz vom Nullprodukt
Wikibooks-Eintrag: Exponentialgleichungen -> Ausklammern und Satz vom Nullprodukt
Hallo,
im Teil 3 zum Lösen von Exponentialgleichungen geht es um die Technik "Ausklammern und Satz vom Nullprodukt".
Hilfreich hierfür sind Potenzgesetze sowie die Methode für Polynomgleichungen - siehe das entsprechende Video und die Wikibooks-Artikel:
Wir schauen uns zunächst eine Polynomgleichung an, nämlich
x² - x = 0
Diese lösen wir schnell, indem wir x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.
x * (x-1) = 0
=> x1 = 0
=> x-1 = 0
=> x2 = 1
Das Konzept können wir jetzt übertragen auf Exponentialgleichungen der Form:
(e^{x})² - e^{x} = 0
Wenn wir hier e^x ausklammern, ergibt das:
e^{x} * (e^{x} - 1) = 0
Da e^x niemals 0 wird, können wir diesen Teil ignorieren und schauen uns den Rest an:
e^{x} - 1 = 0 |+1
e^{x} = 1 | ln
x = ln(1) = 0
Wichtig hierfür: Multiplizieren wir Potenzen mit gleicher Basis, so können wir die Exponenten einfach addieren.
Damit lassen sich Exponentialgleichungen lösen, bei denen jeder Summand ein a^{bx} enthält (abgesehen von 0).
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Wikibooks-Eintrag: Exponentialgleichungen -> Ausklammern und Satz vom Nullprodukt
Hallo,
im Teil 3 zum Lösen von Exponentialgleichungen geht es um die Technik "Ausklammern und Satz vom Nullprodukt".
Hilfreich hierfür sind Potenzgesetze sowie die Methode für Polynomgleichungen - siehe das entsprechende Video und die Wikibooks-Artikel:
Wir schauen uns zunächst eine Polynomgleichung an, nämlich
x² - x = 0
Diese lösen wir schnell, indem wir x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.
x * (x-1) = 0
=> x1 = 0
=> x-1 = 0
=> x2 = 1
Das Konzept können wir jetzt übertragen auf Exponentialgleichungen der Form:
(e^{x})² - e^{x} = 0
Wenn wir hier e^x ausklammern, ergibt das:
e^{x} * (e^{x} - 1) = 0
Da e^x niemals 0 wird, können wir diesen Teil ignorieren und schauen uns den Rest an:
e^{x} - 1 = 0 |+1
e^{x} = 1 | ln
x = ln(1) = 0
Wichtig hierfür: Multiplizieren wir Potenzen mit gleicher Basis, so können wir die Exponenten einfach addieren.
Damit lassen sich Exponentialgleichungen lösen, bei denen jeder Summand ein a^{bx} enthält (abgesehen von 0).