Matematik zordur dersem, herhalde çok şaşırtıcı bir şey söylemiş olmam. Soyutlanıp saf özüne indirilmiş düşünceyi evirip çevirmeyi öğrenmek çok çetin bir iştir. Tabii ki imkânsız değil. Ne de olsa dünyada onbinlerce profesyonel matematikçi var, ve başka insanlardan hiç farkları yok. Çalışınca her şey öğrenilir. Öte yandan matematikte öyle şeyler çıkabiliyor ki karşınıza, “uzmanım” diyenleri bile ters köşeye yatırabiliyor. Monty Hall problemi de masum görünen, ama adamı iki seksen yere yatırabilen bir olasılık problemi.

Problemin kaynağı bir yarışma programı. ABD televizyonlarında 1963’den 1977’ye kadar yayında kalan Let’s Make A Deal (Bir Anlaşma Yapalım) isimli programda sunucu Monty Hall konuklarla çeşitli oyunlar oynuyordu. Bu oyunların ortak özelliği, yarışmacıların küçük bir ödülü alıp gitmek veya riske girerek büyük bir ödül kazanmak (veya hiç bir şey almamak) arasında karar vermelerinin gerekmesiydi.

Monty Hall’un sunduğu oyunlardan birisi, 1975’de The American Statistician isimli akademik dergide Kaliforniya Üniversitesi, Berkeley’de çalışan matematikçi Steve Selvin tarafından bir olasılık problemi halinde sunuldu. Makalede Monty Hall Problemi olarak anılan bilmece şöyle:

Önünüzde üç tane kapalı kapı var. Bunlardan birinin arkasında son model bir otomobil, diğer ikisinin arkasında ise birer keçi var. Kapılardan birini seçiyorsunuz, ama henüz açılmıyor. Monty Hall hangi kapının arkasında araba olduğunu biliyor. Seçmediğiniz iki kapıdan birini açıyor ve o kapının arkasındaki keçiyi görüyorsunuz.

Monty Hall isterseniz tercihinizi değiştirip, açılmamış diğer kapıyı seçebileceğinizi söylüyor. Arabayı kazanma ihtimalinizi artırmak için ne yapmalısınız? Başka bir deyişle, tercihinizi değiştirmekle araba kazanma ihtimaliniz artar mı, azalır mı, yoksa hiç mi değişmez?

Bu problemi duyan çoğu kişinin, uzmanlar dahil, ilk tepkisi “Değişmez” demek. Başta doğru kapıyı seçme ihtimali ⅓ idi. Şimdi iki kapalı kapı var, ve oyuncunun seçtiği kapının arkasında araba bulunması ihtimali ½. Yani tercihi değiştirmek kazanma ihtimalini artırmayacaktır. Fakat işler o kadar basit değil; Monty’nin arabanın hangi kapı arkasında olduğunu bilmesi ve özellikle keçili kapıyı açıyor olması problemi değiştiriyor. Oyuncu için doğru strateji kapıyı değiştirmek. Nasılını sonraya bırakalım, böylece biraz düşünmeye zamanınız olsun.

Olasılık tuzakları

Monty Hall probleminin, ve genel olarak şans ve risk içeren bütün karar problemlerinin, kesin kazanç getiren stratejileri yok. Yapabileceğimiz tek şey kazanma ihtimalimizi mümkün olduğunca yükseltmeye çalışmak. Bu her zaman kolay değil, çünkü insan zihni için olasılıklarla düşünmek çok zor. Birçok kez, varsayımlarımız ve ön kabullerimiz bizi yanıltıyor.

Psikologlar olasılık problemlerinin algılanışı ve cevaplanmasıyla yakından ilgileniyorlar, çünkü bu konudaki düşünce tarzımız zihnimizin nasıl çalıştığına ve ne tür hatalara yatkın olduğuna ışık tutuyor.

En basitinden, şöyle bir soru düşünelim:

İki çocuğumdan biri erkek. Diğerinin de erkek olması ihtimali nedir?

Çoğu kişi gibi bu soruya %50 cevabını vermiş olabilirsiniz. Ne de olsa bir çocuğun cinsiyeti, ailenin diğer çocuğunun cinsiyetine bağlı değildir. Sorudaki ilk bilgi aslında gereksizdir, tuzağa düşmemiş olmanın haklı gururu ile gülümsersiniz.

Maalesef yanlış. Doğru cevap %33. Bunu görmek için durumları tek tek saymak gerekir. Erkek çocuğu E, kız çocuğu K ile gösterelim. İki çocuklu bir ailenin çocuklarının ikisi de erkek (EE), büyüğü erkek küçüğü kız (EK), büyüğü kız küçüğü erkek (KE), veya ikisi de kız (KK) olabilir. Soruda çocuklardan birinin erkek olduğu söylenmiş, yani mümkün olan durumlar sadece EE, EK, KE ("olay uzayı" diye de bilinir). Bunlardan da sadece birinde diğer çocuk erkek olduğuna göre, ihtimal ⅓, yani %33 olur.

Yani sorudaki bilgi şaşırtmaca değil, gerekli. İşin püf noktası, soruda erkek çocuğun büyük mü küçük mü olduğunun söylenmemiş olması. Eğer soru “İki çocuğum var, büyüğü erkek.