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Prova: √2 é irracional

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A Irracionalidade da Raiz Quadrada de 2: Um Mistério Matemático

O que significa um número ser irracional?

Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração exata, ou seja, como a divisão de dois números inteiros. Em outras palavras, sua representação decimal é infinita e não apresenta um padrão repetitivo.

Por que a raiz quadrada de 2 é irracional?

A irracionalidade da raiz quadrada de 2 é um dos primeiros resultados surpreendentes da história da matemática. A prova clássica desse fato utiliza o método da redução ao absurdo.

A Prova por Absurdo:

  1. Suponha o contrário: Suponhamos que √2 seja racional. Isso significa que podemos escrever √2 como uma fração a/b, onde a e b são números inteiros sem fatores comuns (ou seja, a fração está na sua forma mais simplificada).
  2. Eleve ambos os lados ao quadrado: Elevando ambos os lados da equação √2 = a/b ao quadrado, obtemos 2 = a²/b².
  3. Análise da paridade:
  4. Contradição:

    5. Por que essa contradição é importante?

    Ao chegarmos a uma contradição, significa que nossa suposição inicial (√2 é racional) estava incorreta. Portanto, a única conclusão possível é que √2 é um número irracional.

    A importância da irracionalidade de √2:

    • Fundamentos da matemática: A prova da irracionalidade de √2 é um exemplo clássico do rigor matemático e da importância de demonstrar teoremas.
    • Geometria: A diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 tem comprimento igual a √2. Isso significa que existem segmentos de reta que não podem ser medidos exatamente por números racionais.
    • Números irracionais na natureza: A irracionalidade de √2 é apenas um exemplo de uma infinidade de números irracionais que aparecem em diversas áreas da matemática e da ciência.

      • Em resumo:

      A irracionalidade da raiz quadrada de 2 é um resultado fundamental da matemática que nos mostra a existência de números que não podem ser expressos como frações simples. Essa descoberta desafiou os antigos gregos e continua a fascinar matemáticos e estudantes até hoje.

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