"Keep someone posted" は「OOにお知らせします」という意味です。

"This project is still in progress, I'll keep you posted on any major updates."

このプロジェクトは今も進行中なので、もし何かアップデートがありましたらお知らせしますね。

言い換えフレーズは１つ

"I'll let you know as soon as we hear something."

何か聞いたらすぐにお知らせしますね。

"I'll let you know-" は「お知らせしますね」という表現でつかわれます。

これ以外にも、

"I'll let you in -." 今ドア開けますね。

"Let me know-" 知らせてね

という表現があります。

これらのフレーズは、フォーマルな場でもインフォーマルな場であっても頻繁に使われます。