Fakultät für Physik - Digitale Hochschulschriften der LMU - Teil 04/05

In the first part of this thesis, basic mathematical and physical concepts are introduced. The notion of a Lie algebroid is reviewed in detail and we explain the generalization of differential geometric structures when the tangent bundle is replaced by a Lie algebroid. In addition, Lie bi-algebroids and Courant algebroids are defined. This branch of mathematics finds its application in deformation quantization, which in string theory is the dynamics of open strings in the presence of a background B-field. We explain how the Moyal-Weyl star product arises for constant background fields and how this can be generalized to arbitrary backgrounds and non-associative products. Non-commutative or even non-associative spaces are expected to play a role also in closed string theory: Starting with a compactification on toroidal backgrounds with non-trivial H-flux, T-duality leads on the one hand to configurations with geometric f-flux, but on the other hand to spaces which are only locally geometric in case of Q-flux, or even non-commutative or non-associative in case of the R-flux. We describe the action of T-duality in detail and review the motivation and structure of non-geometric fluxes. It will turn out, that in the local description of non-geometric backgrounds, a bi-vector $\beta$ is more appropriate than the original B-field.

Based on these foundations, we will describe our results in the second part. On the world-sheet level, we will analyse closed string theory with flat background and constant H-flux. The correct choice of left- and right-moving currents allows for a conformal field theory description of this background up to linear order in the H-flux. It is possible to define tachyon vertex operators and T-duality is implemented as a simple reflection of the right-moving sector. In analogy to the open string case, correlation functions allow to extract information on the algebra of observables on the target space. We observe a non-vanishing three-coordinate correlator and after the application of an odd number of T-dualities, we are able to extract a three-product which has a structure similar to the Moyal-Weyl product.

We then focus on the target space and the local structure of the H-,f-,Q- and R-fluxes. An algebra based on vector fields is proposed, whose structure functions are given by the fluxes and Jacobi-identities allow for the computation of Bianchi-identities. Based on the latter, we give a proof for a special Courant algebroid structure on the generalized tangent bundle $TM \oplus T^*M$, where the fluxes are realized by the commutation relations of a basis of sections.

As was reviewed in the first part of this work, in the description of non-geometric Q- and R-fluxes, the B-field gets replaced by a bi-vector $\beta$, which is supposed to serve as the dual object to B under T-duality. A natural question is about the existence of a differential geometric framework allowing the construction of actions manifestly invariant under coordinate- and gauge transformations, which couple the $\beta$-field to gravity. It turns out that we have to use the language of Lie algebroids to extend differential geometry from the tangent bundle of the target space to its cotangent bundle, equipped with a twisted version of the Koszul-Schouten bracket, to answer this question positively. This construction enables us to formulate covariant derivatives, torsion, curvature and gauge symmetries and culminates in an Einstein-Hilbert action for the metric and $\beta$-field. We observe that this action is related to standard bosonic low energy string theory by a field redefinition, which was discovered by Seiberg and Witten and which we described in detail in the first part. Furthermore it turns out, that the whole construction can be extended to higher order corrections in $\alpha'$ and to the type IIA superstring.

We conclude by giving an outlook on future directions. After clarifying the relation of Lie algebroids to non-geo

This thesis discusses several aspects of string field theory. The first issue is bosonic open-closed string field theory and its associated algebraic structure -- the quantum open-closed homotopy algebra. We describe the quantum open-closed homotopy algebra in the framework of homotopy involutive Lie bialgebras, as a morphism from the loop homotopy Lie algebra of closed string to the involutive Lie bialgebra on the Hochschild complex of open strings. The formulation of the classical/quantum open-closed homotopy algebra in terms of a morphism from the closed string algebra to the open string Hochschild complex reveals deformation properties of closed strings on open string field theory. In particular, we show that inequivalent classical open string field theories are parametrized by closed string backgrounds up to gauge transformations. At the quantum level the correspondence is obstructed, but for other realizations such as the topological string, a non-trivial correspondence persists. Furthermore, we proof the decomposition theorem for the loop homotopy Lie algebra of closed string field theory, which implies uniqueness of closed string field theory on a fixed conformal background.

Second, the construction of string field theory can be rephrased in terms of operads. In particular, we show that the formulation of string field theory splits into two parts: The first part is based solely on the moduli space of world sheets and ensures that the perturbative string amplitudes are recovered via Feynman rules. The second part requires a choice of background and determines the real string field theory vertices. Each of these parts can be described equivalently as a morphism between appropriate cyclic and modular operads, at the classical and quantum level respectively. The algebraic structure of string field theory is then encoded in the composition of these two morphisms.

Finally, we outline the construction of type II superstring field theory. Specific features of the superstring are the appearance of Ramond punctures and the picture changing operators. The sewing in the Ramond sector requires an additional constraint on the state space of the world sheet conformal field theory, such that the associated symplectic structure is non-degenerate, at least on-shell. Moreover, we formulate an appropriate minimal area metric problem for type II world sheets, which can be utilized to sketch the construction of a consistent set of geometric vertices. The algebraic structure of type II superstring field theory is that of a $\mathcal{N}=1$ loop homotopy Lie algebra at the quantum level, and that of a $\mathcal{N}=1$ homotopy Lie algebra at the classical level.

This thesis treats the classical simulation of strongly-interacting many-body quantum-mechanical systems in more than one dimension using matrix product states and the more general tensor product states.

Contrary to classical systems, quantum many-body systems possess an exponentially larger number of degrees of freedom, thereby significantly complicating their numerical treatment on a classical computer.

For this thesis two different representations of quantum many-body states were employed.

The first, the so-called matrix product states (MPS) form the basis for the extremely successful density matrix renormalization group (DMRG) algorithm.

While originally conceived for one-dimensional systems, MPS are in principle capable of describing arbitrary quantum many-body states.

Using concepts from quantum information theory it is possible to show that MPS provide a representation of one-dimensional quantum systems that scales polynomially in the number of particles, therefore allowing an efficient simulation of one-dimensional systems on a classical computer.

One of the key results of this thesis is that MPS representations are indeed efficient enough to describe even large systems in two dimensions, thereby enabling the simulation of such systems using DMRG.

As a demonstration of the power of the DMRG algorithm, it is applied to the Heisenberg antiferromagnet with spin $S = 1/2$ on the kagome lattice.

This model's ground state has long been under debate, with proposals ranging from static spin configurations to so-called quantum spin liquids, states where quantum fluctuations destroy conventional order and give rise to exotic quantum orders.

Using a fully $SU(2)$-symmetric implementation allowed us to handle the exponential growth of entanglement and to perform a large-scale study of this system, finding the ground state for cylinders of up to 700 sites.

Despite employing a one-dimensional algorithm for a two-dimensional system, we were able to compute the spin gap (i.e. the energy gap to the first spinful excitation) and study the ground state properties, such as the decay of correlation functions, the static spin structure factors, and the structure and distribution of the nearest-neighbor spin-spin correlations.

Additionally, by applying a new tool from quantum information theory, the topological entanglement entropy, we could also with high confidence demonstrate the ground state of this model to be the elusive gapped $Z_2$ quantum spin liquid with topological order.

To complement this study, we also considered the extension of MPS to higher dimensions, known as tensor product states (TPS).

We implemented an optimization algorithm exploiting symmetries for this class of states and applied it to the bilinear-biquadratic-bicubic Heisenberg model with spin $S=3/2$ on the $z=3$ Bethe lattice.

By carefully analyzing the simulation data we were able to determine the presence of both conventional and symmetry-protected topological order in this model, thereby demonstrating the analytically predicted existence of the Haldane phase in higher dimensions within an extended region of the phase diagram.

Key properties of this symmetry-protected topological order include a doubling of the levels in the entanglement spectrum and the presence of edge spins, both of which were confirmed in our simulations.

This finding simultaneously validated the applicability of the novel TPS algorithms to the search for exotic order.

Die Forschungsergebnisse der letzten Jahre haben gezeigt, dass das Universum bei weitem nicht nur aus baryonischer Materie besteht. Tatsächlich scheinen 72% aus sogenannter Dunkler Energie zu bestehen, während selbst vom verbleibenden Teil nur etwa ein Fünftel baryonischer Materie zugeordnet werden kann. Der Rest besteht aus Dunkler Materie, deren Beschaffenheit bis heute nicht mit Sicherheit geklärt ist. Ursprünglich in den Rotationskurven von Spiralgalaxien beobachtet, wurde die Notwendigkeit ihrer Existenz inzwischen auch in elliptischen Galaxien und Galaxienhaufen nachgewiesen. Tatsächlich scheint Dunkle Materie eine entscheidende Rolle in der Strukturbildung im Universum gespielt zu haben. In der Frühzeit des Universums, als die Materieverteilung im Weltraum noch äußerst gleichmäßig war und nur sehr geringe Inhomogenitäten aufwies, bildeten sie die Kondensationskeime für den gravitativen Kollaps der Materie. Numerische Simulationen haben gezeigt, dass der heute beobachtbare Entwicklungszustand des Universums erst durch die zusätzliche Masse Dunkler Materie ermöglicht wurde, die den strukturellen Kollaps erheblich beschleunigte und nur dadurch zur heute beobachtbaren Komplexität der Strukturen führen konnte. Da Dunkle Materie nicht elektromagnetisch wechselwirkt, sondern sich nur durch ihre Schwerkraft bemerkbar macht, stellt der Gravitationslinseneffekt eine ausgezeichnete Methode dar, die Existenz und Menge an Dunkler Materie nachzuweisen. Der schwache Gravitationslinseneffekt macht sich zu Nutzen, dass die intrinsischen Orientierungen der Galaxien im Weltraum keine Vorzugsrichtung haben, gleichbedeutend mit ihrer statistischen Gleichverteilung. Die gravitationsbedingte kohärente Verzerrung der Hintergrundobjekte führt zu einer Abweichung von dieser Gleichverteilung, die von den Eigenschaften der Gravitationslinsen abhängt und daher zu deren Analyse genutzt werden kann.

Diese Dissertation beschreibt die Galaxy-Galaxy-Lensing-Analyse von insgesamt 89 deg^2 optischer Daten, die im Rahmen des CFHTLS-WIDE-Surveys beobachtet wurden und aus denen im Rahmen dieser Arbeit photometrische Rotverschiebungs- und Elliptizitätskataloge erzeugt wurden. Das Galaxiensample besteht aus insgesamt 5×10^6 Linsen mit Rotverschiebungen von 0.05 < z_phot ≤ 1 und einem zugehörigen Hintergrund von insgesamt 1.7×10^6 Quellen mit erfolgreich gemessenen Elliptizitäten in einem Rotverschiebungsintervall von 0.05 < z_phot ≤ 2. Unter Annahme analytischer Galaxienhaloprofile wurden für die Galaxien die Masse, das Masse-zu-Leuchtkraft-Verhältnis und die entsprechenden Halomodellprofilparameter sowie ihre Skalenrelationen bezüglich der absoluten Leuchtkraft untersucht. Dies geschah sowohl für das gesamte Linsensample als auch für Linsensamples in Abhängigkeit des SED-Typs und der Umgebungsdichte. Die ermittelten Skalenrelationen wurden genutzt, um die durchschnittlichen Werte für die Galaxienhaloparameter und eine mittlere Masse für die Galaxien in Abhängigkeit ihres SED-Typs zu bestimmen. Es ergibt sich eine Gesamtmasse von M_total = 23.2+2.8−2.5×10^11 h^{−1} M_⊙ für eine durchschnittliche Galaxie mit einer Referenzleuchtkraft von L∗ = 1.6×10^10 h^{−2} L_⊙. Die Gesamtmasse roter Galaxien bei gleicher Leuchtkraft überschreitet diejenige des entsprechenden gemischten Samples um ca. 130%, während die mittlere Masse einer blauen Galaxie ca. 65% unterhalb des Durchschnitts liegt. Die Gesamtmasse der Galaxien steigt stark mit der Umgebungsdichte an, betrachtet man die Geschwindigkeitsdispersion ist dies jedoch nicht der Fall. Dies bedeutet, dass die zentrale Galaxienmateriedichte kaum von der Umgebung sondern fast nur von der Leuchtkraft abhängt. Die Belastbarkeit der Ergebnisse wurde von zu diesem Zweck erzeugten Simulationen bestätigt. Es hat sich dabei gezeigt, dass der Effekt mehrfacher gravitativer Ablenkung an verschiedenen Galaxien angemessen berücksichtigt werden muss, um systematische Abweichungen zu vermeiden.

This work is focused on the search for intermediate-mass black holes (IMBHs) in the centers of globular clusters. It has been demonstrated that supermassive black holes (SMBHs) at the centers of galaxies show a tight correlation between their mass (M•) and the velocity dispersion (σ) of the galaxy. Investigating this M• − σ and similar correlations is crucial to constrain scenarios of galaxy formation and evolution. If they formed by runaway collisions of massive stars in young and dense stellar clusters, IMBHs could still be present in the centers of globular clusters, today.

We measured the inner kinematic profiles for a sample of 9 galactic globular clusters using integral-field spectroscopy and combined them with existing outer kinematics and photom- etry obtained form HST archive images. In order to constrain the mass of a possible black hole we applied analytical Jeans models in combinations with varying M/LV profiles to each of the clusters. The results of these fits range from strong hints towards an IMBH (e.g. NGC 6388) to globular clusters which do not show any indications of a rising velocity dis- persion profile in their center (e.g. NGC 2808). Furthermore, the discovery of two high velocity stars in NGC 2808 opened another opportunity to study the internal kinematics of this particular cluster and indicates a high number of stellar-mass black holes in NGC 2808. We finally combined our results with measurements from the literature and investigated known scaling relations for SMBHs in galaxies (e.g. M• − σ) at the low-mass end by plac- ing the results and upper limits of IMBH measurements on these correlations. We found that IMBHs follow similar, but more shallow correlations of their mass and the properties of their host systems. This might be caused with the severe mass-loss the cluster suffers during its life time.

In addition we ran numerical N-body simulations and compared globular clusters with dif- ferent black-hole retention fractions, IMBH masses and binary fractions. We found that IMBHs lead to a higher ejection rate of massive stars so that clusters with less depleted mass functions might therefore be good candidates to host IMBHs at their centers. In the future more N-body simulations will be performed in order to reproduce our observations in a more sophisticated way and perform crucial tests to our observing and analysis methods. The search for IMBHs requires both high spatial and spectral resolution and will remain at the edge of feasibility. However, it is crucial to continue the investigations in order to shed light on black-hole formation and growth.

Ein bedeutender Teilbereich der Nanomechanik beschäftigt sich mit der Erforschung kleiner, schwingender Systeme, welche aufgrund ihrer geringen Massen auf minimale Umgebungseinflüsse reagieren.

Dies macht derartige nanoskalige Resonatoren zu äußerst empfindlichen Sensoren.

Die fortschreitende Miniaturisierung nanomechanischer Systeme erfordert nun einerseits die Weiterentwicklung von Antriebs- und Detektionsmechanismen, andererseits spielt die Verbesserung der mechanischen Güte eine zentrale Rolle für die Erhöhung der Empfindlichkeit möglicher sensorischer Anwendungen.

Hierfür ist die Untersuchung der Mechanismen, welche die mechanische Dämpfung der Resonatoren verursachen, erforderlich.

Um das Dämpfungsverhalten eines beidseitig eingespannten nanomechanischen Siliziumnitridresonators zu untersuchen und zu kontrollieren wird in dieser Arbeit ein Rasterkraftmikroskop (AFM) eingesetzt.

Dessen Spitze wird mit dem Resonator in Kontakt gebracht und beeinflusst als lokale Störung kontrolliert das nanomechanische System.

Das AFM bildet hierbei einen mechanischen Punktkontakt mit der Aufhängung des Resonators aus, wodurch Schwingungsenergie vom Resonator in die AFM-Spitze abgeleitet wird.

Aufgrund der hervorragenden räumlichen Auflösung des Rasterkraftmikroskops ist es somit möglich den ortsaufgelösten Energiefluss zwischen den beiden Systemen zu untersuchen.

Hierfür wird die mechanische Resonanz der Siliziumnitridsaite im Radiofrequenzbereich mittels eines heterodynen Überlagerungsverfahrens elektrisch ausgelesen.

Die Bewegung des zwischen zwei Goldelektroden platzierten Resonators ruft eine Kapazitätsänderung des durch die Elektroden gebildeten Kondensators hervor.

Durch Kopplung an einen Mikrowellenschwingkreis kann diese Kapazitätsänderung ausgelesen werden.

Zudem können Gleich- und Wechselspannungen an die Elektroden angelegt werden, wodurch einerseits die Resonanzfrequenz des Resonators verstimmt und andererseits die mechanische Bewegung angetrieben werden kann.

Das derart angetriebene nanomechanische System kann nun unter Einfluss der lokalen Störung durch das AFM in positions- und kraftabhängigen Messungen untersucht werden.

Es zeigt sich, dass der Energietransfer durch den mechanischen Punktkontakt einen äußerst starken Einfluss auf die mechanische Güte des Siliziumnitridbalkens hat, seine Resonanzfrequenz jedoch nur geringfügig beeinflusst wird.

Dies kann durch eine Änderung der mechanischen Impedanzanpassung des Resonators an seine Umgebung erklärt werden.

Die Impedanzänderung durch den mechanischen Punktkontakt ermöglicht den Übergang eines stark fehlangepassten nanomechanischen Systems hoher Güte zu einem angepassten System niedriger Güte auf einem einzigen Resonator.

Hierbei bleibt die intrinsische Dämpfung des Resonators unverändert und die zusätzlich induzierte Dämpfung kann der Abstrahlung von Vibrationsenergie in die Umgebung zugeschrieben werden.

Resonatoren hoher Güte ergeben sich somit als Systeme mit möglichst großer Fehlanpassung der mechanischen Impedanz.

Desweiteren kann mit dieser Methode das in den Aufhängepunkt des Resonators hineinreichende Verzerrungsfeld abgebildet werden.

Dies ermöglicht die Untersuchung gekoppelter Moden des Resonators sowie deren Modenform.