Séminaires de probabilités et statistiques (SAMM, 2009-2010)

This talk is concerned with issues related to social diversity in urban environments. We introduce a model of real estate transactions between agents which are heterogeneous in their willingness to pay. A key feature of the model is the assumption that agents preferences for a location depend both on an intrinsic attractiveness of the location, and on the social characteristics of its neighborhood. Focusing on the case of a monocentric city, the stationary state is analytically characterized and gives the distribution of income over space. The model is studied through numerical simulations as well

Cities are constellations of human processes that give rise to a multitude of dynamic behaviours manifesting themselves in rapid, abrupt, surprising, fast, slow and smooth changes across many temporal and spatial scales.

Formation and evolution of transportation networks, in the particular case of subway network.

The Sparse Coding principle together with novel theoretical insights like the "L1-norm miracle" have led to the new field of "Compressed Sensing". In this talk I will introduce the main ideas and main methods of compressed sensing and give an overview of the main applications of this exciting new field

We give sufficient conditions under which the convergence of finite difference approximations in the space variable of the solution to the Cauchy problem for stochastic PDEs of parabolic type can be accelerated to any given order of convergence by Richardson's method.

Manifold learning with sparse coding, applications to image reconstruction.

Nouvelles approches de visualisation interactive pour les réseaux sociaux Résumé : La visualisation d'information est un domaine pluridisciplinaire qui étudie la représentation visuelle de grandes quantités d'information de nature essentiellement non numérique. La majeure partie de l'activité de recherche consiste à évaluer l'efficacité des représentations visuelles connues et à inventer de nouveaux moyens de représenter l'information et d'interagir avec ces représentations.Nous introduisons ce domaine ainsi que les domaines connexes de l'analyse visuelle et de l'interaction homme-machine en nous appuyant sur l'analyse de réseaux sociaux comme domaine d'application. En guise d'illustration, nous présenterons le travail de recherche effectué dans notre équipe (www.aviz.fr) et ferons la démonstration d'outils innovants tels que GraphDice (un outil d'exploration interactive de graphes multivariés) et GeneaQuilts (un outil d'exploration interactive de grandes généalogies).

La visualisation de données numériques appartenant à des espaces de grande dimension n'est pas un problème nouveau. L'Analyse en Composantes Principales (ACP) et le MultiDimensional Scaling sont des méthodes traditionnelles de compression, aisément utilisées pour la visualisation. Néanmoins, elles sont limitées à une transformation linéaire (une projection orthogonale) des données. Dans de nombreux cas cette limitation est importante ; on peut montrer que si l'objectif est de conserver dans la visualisation les similarités qui existent entre les données en grande dimension, les méthodes linéaires accordent davantage d'importance aux similarités faibles qu'aux données qui sont proches, ce qui n'est pas naturel.

Pour la modélisation des séries temporelles multivariées, les modèles VARMA (Vector AutoRegressive Moving-Average) occupent une place centrale. Ils sont généralement utilisés avec des hypothèses fortes sur le bruit qui en limitent la généralité. Dans ce travail, nous nous intéressons à l'analyse statistique de modèles vectoriels ARMA (VARMA) pour des processus qui peuvent avoir des dynamiques non linéaires très générales. Nous appelons VARMA forts les modèles standard dans lesquels le terme d'erreur est supposé être une suite iid, et nous parlons de modèles VARMA faibles quand les hypothèses sur le bruit sont moins restrictives. Dans un premier temps, nous étudions les propriétés asymptotiques du quasi-maximum de vraisemblance (QMLE) des paramètres d'un modèle VARMA sans faire l'hypothèse d'indépendance sur le bruit, contrairement à ce qui est fait habituellement pour l'inférence de ces modèles. Relâcher cette hypothèse permet aux modèles VARMA faibles de couvrir une large classe de processus non linéaires. Nous faisons des hypothèses d'ergodicité et de mélange afin d'établir la convergence forte et la normalité asymptotique de l'estimateur du QMLE. Ensuite, nous accordons une attention particulière à l'estimation de la matrice de variance asymptotique qui a la forme "sandwich" Omega:= J^{-1}IJ^{-1}, et qui peut être très différente de la variance asymptotique standard dont la forme est Omega:= 2J^{-1}. Nous établissons la convergence d'un estimateur de Omega. Enfin, des versions modifiées des tests de Wald, du multiplicateur de Lagrange et du rapport de vraisemblance sont proposées pour tester des restrictions linéaires sur les paramètres libres du modèle.

Dans un premier temps, nous présentons une méthode de sélection de variables basée sur l'algorithme des forêts aléatoires. Les forêts aléatoires, introduites par Léo Breiman en 2001, sont une technique statistique très utilisée dans des problèmes pratiques aussi bien en régression qu'en classification. En plus d'être très performantes en prédiction, les forêts aléatoires calculent un indice d'importance des variables. Basée sur cet indice d'importance, notre procédure de sélection de variables cherche à traiter deux problèmes distincts : trouver toutes les variables reliées à la variable réponse (interprétation) ; et trouver un ensemble de variables suffisant pour prédire la variable réponse (prédiction). Nous illustrons cette procédure sur des données réelles d'IRMf (Imagerie à Résonance Magnétique fonctionnelle) de très grande dimension. Dans un deuxième temps, nous présentons des résultats théoriques pour une version simple de forêt aléatoire. Dans un contexte de régression avec une seule variable explicative, nous montrons que les arbres aléatoires ainsi que les forêts aléatoires atteignent la vitesse de convergence minimax. Et plus important, nous prouvons que les forêts améliorent les performances des arbres, en réduisant la variance d'un facteur trois quarts.