تخيل أنك طالب فلسفة في السنوات الأولى ، قابلت زميلتك رضوى في الكلية بعد محاضرة الدكتور فتحى مدرس الفلسفة الطبيعية، تقول لرضوى “لقد ناقشنا سؤال إن كان من الممكن أن يصبح الروبوت فرد في المجتمع له حقوق مثل البشر!” .. أبتسمت رضوى فهي تعلم أن إلى أين سيقود هذا الحوار ثم قالت “يبدو انها كانت محاضرة شيقة، لكن الروبوت لا يمكن أن يصبح كالإنسان” .. ترد بسرعة “ولما هذا؟” .. ترد “الأمر بسيط، إذا كان الروبوت شخصا، إذن سيصبح عقلانيا، لكن لايوجد روبوت عقلاني، إذن لا يمكن أن يكون شخص” .. تقول “تمهلي، الروبوت يستطيع حل المشاكل، ويستطع صنع القرارات،إذا كان الروبوت قادر على صناعة القرارات وحل المشاكل، إذن لابد وانه عقلاني. أليس كذلك؟ .. وبالتالي الروبوت عقلاني” .. ترد رضوى ببعض الضيق “لا أنهم ليسوا كذلك، إذا كان الروبوت عقلاني إذن لابد وان يكون له وعي، وإن كان له وعي إذن لابد وان لديه قدرة عقلية على تأمل الذات، لكن لايوجد اى روبوت قادر على تأمل ذاته، وبالتالي لا يوجد روبوت عاقل” .. تصمت قليلا ثم تجيب “كيف تعلمين أن الروبوت غير قادر على تأمل ذاته؟” .. تتعلثم رضوى قليلا من السؤال المفاجئ “لأن الكائنات القادرة على تأمل ذاتها هى الكائنات التى لديها روح فقط، ومن السخيف ان تعتقد ان الروبوت من الممكن ان يكون لدية روح، أو يمتلك روح في يوم من الايام، وبالتالي الروبوت ليس لدية قدرة على تأمل الذات” .. ترد “فكرى معي في هذا الأمر، إما الروح كائن مادي أو كائن غير مادي. تتفقين معي حول هذا الأمر، أليس كذلك؟” .. تجيب رضوى بسرعة “بالطبع” .. تكمل “حسنا، لو كانت الروح كائن مادى، إذن لو كان الروبوت مصنوع من المادة، من السهل أن يحصل على روح. لكن إذا كانت الروح كائن غير مادي، إذن، لو وضع الله الروح فية بالتالي قد يحصل على الروح، وبما أن الروبوت مصنوع من المادة، والله قادر على فعل أى شئ، إذن الروبوت قد يحصل على الروح” .. تبتسم في ثقة بعد أن شعرت أنك على وشك حسم النقاش، ترد رضوى بهدوء “حسنًا ، أعلم أن ديكارت كان يعتبر البشر آلات لها أرواح ، لكن بالنسبة لي ، من الجنون الاعتقاد بأن الله سيغرس الروح في الكمبيوتر. ستجادل بعد ذلك أن الله سيغرس الروح أيضًا في كومة من الصخور. على أى حال، دعني أجرب حُجة أخرى، إذا كان الروبوت شخص، إذن لابد وانه لديه حرية إرادة. لكن لو الروبوت كائن مبرمج، إذن ليس لدية حرية إرادة. الروبوت هو مجرد كمبيوتر على صورة إنسان، وكل كمبيوتر يتم برمجتة، إذن، الروبوت ليس شخص” … تلمع عينك وترد بسرعة “بإتباع حُجتك حتى البشر ليس لديها حرية إرادة” .. تندهش رضوي من ردك “كيف هذا” .. تجيب “حسنا، كل أفعالنا سببها تركيبنا الجيني أو تكيفنا البيئي، إن كانت أفعالنا سببها تركيبنا الجيني، إذن هي محددة مسبقا، وإن كانت مسببة نتيجة للظروف البيئية، إذن هي ايضا محددة مسبقا، بالتالي نحن لسنا أحرار” .. اعترضت رضوى “لا أتفق معك. أفعالنا فعلا قد تكون متأثرة بتركيبنا الجيني أو تكيفنا الاجتماعي، لكنها ليست مُسببة بها بصورة حتمية. وإن لم تكن مُسببة حتميا بتلك العوامل إذن أفعالنا حرة، ونحن أحرار” ..  تقول “رضوى، لا أعلم ماذا تعنين بأن أفعالنا متأثرة بتركيبنا الجيني أو تكيفنا الاجتماعي لكنها غير مسببة حتميا بها؟!” .. تضيف “إذا كان س فعل متأثر ب ص، إذن س مُسبب ب ص، وإذا كان س مُسبب ب ص، إذن س مُحدد بحدوث ص سلفا. إذن عندما نقول ان س متأثر ب ص، نقول بصورة غير مباشرة ان س محدد ب ص” .. يظهر الضيق على وجهه رضوى ثم تقول “أنت ترواغ حول معنى السببية، لكن ان لم تكن مقتنع بتلك الحجة أيضا، اليك حجة اخرى. إذا كان الروبوت شخص، إذن سكون لدية مشاعر، ولو كان لدية مشاعر، إذن سيشعر بالحب، والتعاطف. لكن لايوجد روبوت يحب، تأمل للحظات جهازى كمبيوتر يحبا بعضهما البعض، الفكرة سخيفة. وبالتالي الروبوت ليس بشر” ..  ترد ” حسنا حسنا، دعنا نفكر في الامر، المشاعر إما عقلية ذهنية أو فيزيائية، إن كانت ذهنية، إذن هي حالات للمخ. وإن كانت مجرد حالات للمخ، إذن الروبوت يستطيع الحصول عليها. لان كل حالات المخ ماهي الا ترتيب للذرات والجزيئات بصورة معينة. وإذا كانت المشاعر ظاهرة فيزيائية إذن الروبوت يستطيع الحصول عليها، مرة أخرى لأن كل الظواهر الفيزيائية هي مجرد ترتيب للذرات والجزيئات بصورة معينة   .. إذن الروبوت يستطيع الحصول على المشاعر” … تضحك رضوى بتوتر “هذه أسوأ حجة سمعتها اليوم، بالتأكيد المشاعر قد يصاحبها تغيير حالات فيزيائية، لكنها غير متطابقة مع المشاعر! .. على أى حال ميعاد المحاضرة التالية أقترب، ويجب ان أغادر، لكن قبل أن أذهب دعني أسألك  هل تعتقد فعلا ان الروبوت من الممكن أن يكون أنسان؟!” … ترد “نعم أعتقد أنه أمر جائز” .. ترد رضوى “ممم، إذن هل تعتقد أن الروبوت لديه حقوق؟ مثلا الحق في الانتخاب؟” .. تتردد بعض الشيء “الأمر يتوقف” .. تقاطعك رضوى “يتوقف على ماذا؟” .. تضحك في سخرية “إن كان البشر لها الحق في التصويت أصلا!” .. تضحك رضوى “ههه .. حسنا، الآن اقتربنا من الخطوط الحمراء .. أنا ذاهبة الى المحاضرة!” .. هذا الحوار المتخيل لم يحدث في الواقع لكنى آمل أن أرى صيغة ومنهجية الحوار بصورة متكررة في مجتمعاتنا العربية، على أى حال داخل الحوار هناك العديد من الحجج المنطقية، قم بإخراجها وحاول وضعها على صورة منطق القضايا، ثم قم بأستخدام جداول الحقيقة لتحديد صلاحية كل حجة! .. وتذكر، المنطق مثل الرياضيات أفضل وسيلة لإدراكه هي استخدامه!

محاور

منطق القضايا، الجمل البسيطة والجمل المركبة، أنواع الجمل المركبة، الجمل الشرطية والتضمين، قواعد الترقيم والرموز، دوال الحقيقة، حساب دالة الحقيقة، اللغة و المعاملات المنطقية، التضمين المادي، جداول الحقيقة للفرضيات، تصنيف، القضايا المنطقية، جداول الحقيقة للحجج، قوالب الحجج

اى نظرية عامة للمنطق الاستنتاجي لابد وان تحقق هدفين الأول، تفسير العلاقات بين المقدمات والنتيجة داخل الحجة. والثاني تقديم طرق وأدوات للتفريق ما بين الاستنتاج الصالح و الغير صالح. وفي الواقع هناك منظومتين فقط في تاريخ علم المنطق حاولتا التعامل مع هذين الهدفين، وهما منظومة المنطق الكلاسيكية او الارسطوطالية، والثانية عادة ما يطلق عليها منظومة المنطق الرمزية symbolic او الرياضية mathematical، والبعض قد يطلق عليها المنطق الحديث Modern Logic. وبالرغم من ان منظومة المنطق الكلاسيكي والحديث يحاولا تحقيق نفس الأهداف إلا أن الطرق المستخدمة تختلف كثيرا بينهم. المنطق الحديث غير قائم على نظام قياس كما في حالة المنطق الكلاسيكي، ولايبدأ بتحليل الفرضيات الحملية. المنطق الحديث يبدأ أولا بتحديد الروابط المنطقية الاساسية التى تقوم عليها الحجج الاستنتاجية، وبأستخدام تلك الروابط يتم وضع نموذج عام للحجة، وتطبيق طرق اختبار صلاحية الحجة بناء على هذا النموذج. لكن كي تنجح منظومة المنطق الحديث في هذا المسعى، كان لابد من تجنب الغموض، الالتباس، والإشكاليات اللغوية الأخرى الناتجة عن استخدام اللغة البشرية. اللغات الانسانية بمختلف طوائفها تحتوي على الالتباس، التشبية، الاستعارات، التمثيل، البناء العاطفي، وغيرها من وحدات البناء التى قد تجعل استخدام اللغة أكثر أنسانية لكن تحول دون تحليلها المنطقي. وبالتالي المنطق الحديث وضع لغة رمزية صناعية artificial symbolic language من خلالها يمكن حل الكثير من تلك الإشكاليات، ويمكن تمثيل العلاقات المنطقية بوضوح ودقة عالية. الرموز تساعد بشكل كبير عند تفكيرنا في الحجج، لأنها تمكنا من الوصول الى قلب الحجة، واختزال جميع جوانبها الغير أساسية. هذا بالاضافة ان عند استخدام الرموز يمكننا اجراء العديد من العمليات المنطقية بصورة ميكانيكية تلقائية بمجرد النظر إليها، على العكس من العمليات المنطقية الاخرى كما رأينا في حلقة القياس المنطقي تتطلب الكثير من المجهود كي نضعها في صورة قابلة للتحليل. جودة وكفاءة الرموز المستخدمة داخل أى لغة صناعية لها أثر كبير على سرعة استخدام تلك اللغة وتعامل المخ معها بسهولة، يمكن أكثر الادلة المباشرة اليوم على هذه الفكرة هي الرموز العربية والهندية المستخدمة لكتابة الارقام سواء في اللغة الانجليزية او العربية، هذة المنظومة الرمزية استبدلت منظومة الرموز الرومانية بسبب صعوبة تلك الرموز والقواعد المحيطة بها. وفي الواقع علماء المنطق الكلاسيكي لم يعوا إلى هذا الأثر الكبير للرموز عند تحليل الحجج المنطقية. أرسطو استخدم الرموز للإشارة الى المتغيرات في تحليلاته والتابعين عليه من المناطقة العرب والغربيين في العصور الوسطى طورا هذا الاستخدام بشكل محدود ومعقد الى درجة كبيرة. لكن التقدم الحقيقي في تطوير عملية ترميز المنطق لم يبدأ حتى القرن العشرين الذى ادى الى تلك المنظومة المنطقية الحديثة. حركة الترميز الحديث تلك اختلفت كثيرا عن رموز المنطق الكلاسيكي، والعلاقات بين الفئات لم تعد محور اهتمام علماء المنطق الحديث كما كان الأمر مع أرسطو وتابعية. وبدلا من هذا يقوم المنطقيين الان بتحليل البنية الداخلية للقضايا والحجج. وبالتبعية المنطق الحديث لا يتطلب عمليات التحويل للصور القياسية التى كانت أساسية داخل المنطق الكلاسيكي كما رأينا سابقا في منطق القياس. وقد يجادل البعض ان المنطق الحديث أصبح أقل رونقا وبساطة من منظومة المنطق الكلاسيكي التي وضعها أرسطو، لكنه أصبح أكثر قوة، هناك صور من الحجج الاستنتاجية لا يمكن تمثيلها من خلال منطق القياس، لكن باستخدام لغة الترميز في المنطق الحديث من الممكن ان نمثلها مباشرة دون الدخول في عمليات تحويل معقدة وندرس صلاحية الحجة وصحتها.

الجمل البسيطة والجمل المركبة Simple and Compound Statements

صلاحية الحجة الاستنتاجية قائمة على شكلها، بمعرفة شكل أو هيئة الحجة الاستنتاجية نستطيع تحديد صلاحيتها بسهولة، لكن كما رأينا في الحلقات السابقة الاشكالية الكبرى التى تواجه المنطق الكلاسيكي هو أن اللغة البشرية تخفي صورة وهيئة الحجة، نتيجة لعوامل الغموض والالتباس في اللغة الدراجة. للتعامل مع تلك الاشكالية، منطق القياس قدم رموز للتمثيل الحدود داخل الحجة القياسية، الأمر الذى سهل وضعها في صورة قياسية. في المنطق الحديث عملية الترميز تلك تتم من خلال نوع من الرموز يطلق عليه المعاملات  operators أو في بعض الأحيان يطلق عليه الوصلات connectives. عندما يتم وضع الحجج الاستنتاجية في تلك الصورة الرمزية عادة تقييم صلاحيتها يكون مسألة بسيطة قد نجريها بالعين المجردة كما في المسائل والمعادلات الرياضية! في المنطق الكلاسيكي الحدود او الفئات  كانت وحدة البناء الأساسية للحجج (أرجع لحلقة منطق القياس) لكن في منطق القضايا propositional logic وحدة البناء للحجة هي الجمل أو القضايا proposition والجمل يتم تمثيلها من خلال احرف، ويتم دمج تلك الأحرف مع بعضها من خلال المعاملات لتكوين صورة رمزية كما الحال في المعادلات الرياضية. كي نستطيع فهم عملية الترميز المستخدمة في منطق القضايا أو المنطق الحديث لابد من التفريق بين نوعين من الجمل، الجمل البسيطة والجمل المركبة. الجمل البسيطة simple statement

هي الجمل التي لا تحتوي على أي جمل اخرى جزئية بداخلها مثلا “الطاووس طائر ملون” ، أو “نجيب محفوظ كتب ملحمة الحرافيش” أو “القاهرة عاصمة مصر” .. الخ.  في المنطق الرمزي أو منطق القضايا من الممكن استخدام اى حرف من أحرف اللغة الانجليزية الكبيرة لتمثيل الجملة، مثلا حرف A capital قد يمثل الجملة الأولى وحرف B قد يمثل الجملة الثانية وهكذا (سأوضح لك بعد قليل لماذا يجب أن يتم التمثيل باستخدام الأحرف الكبيرة). الجمل المركبة compound statement هي الجملة كما واضح من الاسم التى تتركب او تتكون من جملة واحدة بسيطة على الاقل. إذن الجمل إما أن تكون بسيطة Simple اى لا تحتوى على اكثر من جملة مكونة لها، مثلا  “أحمد نظيف” جملة بسيطة. الجمل المركبة compound statement تحتوى على أكثر من جملة مكونة، مثلا “أحمد نظيف، و أحمد نشيط”. الجملة تحتوى على جملتين بسيطتين مكونتين لها. وقد تكون الجملة المركبة مركبة من جمل مركبة!  .. قد يخطر على ذهنك الى ان اى جملة داخل الجملة هي مكون لها، لكن هذا التعريف غير دقيق. مثلا “الرجل الذي اغتال الرئيس السادات كان ضابط في الجيش” .. لو اقتطعت الكلمات الست الاخيرة في الجملة “الرئيس السادات كان ضابط في الجيش” هذه جملة، وبغض النظر عن صحتها، إلا أن هذه الجملة بكل تأكيد ليست مكون داخل الجملة الاصلية. إذن كي تكون الجملة مكون داخل جملة أخرى لابد وأن يتوفر شرطين

(1) الجزء المقتطع لابد وان يكون جملة مستقلة بذاته

(2) لو تم استبدال الجزء المقتطع داخل الجملة الكبرى بجزء آخر لابد وأن تكون النتيجة مازال لها معني.

… تخيل مثلا أن استبدلت الجزء المستقطع “الرئيس السادات كان ضابط في الجيش” بجملة “الجمال تعيش في الصحراء” تصبح الجملة “الرجل الذي اغتال الجمال تعيش في الصحراء” .. جملة بلا معنى! 

أنواع الجمل المركبة Compound Statements Types

هناك عدة صور من الممكن ان تركب بها الجملة، كل صورة تطلب عملية ترميز منطقى مختلفة، تأمل تلك الجمل (1) “ليست الحقيقة أن القاعدة منظمة إنسانية” أو (2) “أم كلثوم مغنية قديمة و ماجدة الرومي مغنية حديثة” أو (3) “أما أن يلتزم الناس بالقانون أو يصبح المجتمع غابة” أو (4) “إذا أنتهت الحروب من العالم إذن سيعم الرخاء والسلام” أو (5) “الاهلي سيكسب الدورى فقط إذا ربح المبارة” . باستخدام الاحرف الانجليزية الكبيرة من الممكن تمثيل الجمل السابقة كالآتي (1) “ليست الحقيقة أن A”  .. أو (2) “D و C” أو (3) “إما R أو E” .. أو (4) “إذا F إذن O”  أو (5) “H فقط إذا K” … لاحظ ان الجملة الاولى مركبة بالرغم انها تحتوي على جملة بسيطة واحدة رمزنا لها بالرمز A  بشكل عام دون الدخول في تفاصيل لغوية ومنطقية معقدة جمل النفي تعامل على أنها جمل مركبة تتكون من معامل النفي والجملة المنفية أو الجملة المؤكدة. في تلك الحالة معامل النفي كان “ليست الحقيقة”. في الخمس أمثلة السابقة هناك خمس معاملات منطقية قمت باستخدامها. (1) معامل النفي “ليس” ويرمز إليه بعلامة tilde “~” .. ثانيا (2) معامل الاقتران conjunction “و” “ايضا” “بالاضافة الى” ويرمز له بالنقطة “.” ثالثا (3) معامل الانفصال disjunction “أو” ويرمز له بعلامة “V” رابعا (4) معامل التضمين أو التبعية implication “إذا … إذن” “لو .. إذن” .. ويرمز لة بحدوة الحصان الافقية horseshoe “⊃” واخيرا (5) معامل التكافؤ equivalence “فقط إذا” ويرمز له بثلاثة شرط “≡” (انظر الجدول المرافق).

ترميز الجمل من اللغة البشرية الى اللغة الرمزية المنطقية لايعني ان الجمل سيتم ترجمتها كلمة بكلمة وتصبح متطابقة، كما الحال في الترجمة من لغة بشرية الى اخرى الترجمة تكون تقريبية وتفقد بعد المعاني خلال عملية الترجمة. مثلا المعاملات قد لا تكون على نفس الصورة التى استخدمتها في الامثلة السابقة، وقد تكون غائبة تماما في الجملة. الآن لو قمنا باستخدام المعاملات السابقة في صورتها الرمزية على الخمس أمثلة السابقة يصبح لدينا أولا جملة negation النفي “∼A” و ثانيا جملة conjunctive الاقتران   “D . C” و ثالثا جملة disjunctive الانفصال “R v E” وفي جمل الانفصال شقي الجملة يطلق عليهم conjuncts  و رابعا الجملة conditional الشرطية وتعبر عن علاقة التضمين المادية  material implication ” F ⊃ O” فيها F هو الشرط أو جمل السابق antecedent و O جملة النتيجة او اللاحق او التابع consequent   وخامسا جملة biconditional أو التكافؤ “H ≡ K”  وتعبر عن علاقة التكافؤ المادي material equivalence.

النفي Negation

نفي الجمل في اللغة العربية قد يحدث بعدة صورة مثلا بإضافة معامل نفي لغوي في أول الجملة مثل “ليس”، “لا”، “لم”، الخ. وقد يتم استخدام مركب لغوي كامل لتحقيق النفي مثل “ليس من الصحيح أن …” أو “لم يحدث … ” .. الخ.  في المنطق يستخدم رمز tilde ~ في بداية الجملة للأشارة الى النفي، وفي بعض النصوص القديمة بعض الشئ يستخدم علامة – ناقص. تأمل تلك الامثلة وعملية ترجمتها الى صورة رمزية “مصانع الحديد والصلب لا تنتج أجهزة التليفون المحمول” .. يتم ترميزها الى “~ R” نفس الجملة بصورة اخرى “ليس من الصحيح أن مصانع الحديد والصلب تنتج أجهزة التليفون المحمول”، أو “من الخطأ ان مصانع الحديد والصلب تنتج أجهزة التليفون المحمول” .. كلها يتم ترميزها بنفس الصورة رمز النفي يظهر أمام الحرف المختار لتمثيل الجملة. وكما أشرنا سابقا معامل النفي ليس معامل ربط او تكوين اى انه لايستخدم لربط جملتين لكن يطبق على جملة واحدة سواء كانت تلك الجملة بسيطة أو مركبة. على سبيل المثال قد يأتي معامل النفي أما جملة أقتران مركبة مثلا “~(D.C)” وفي تلك الحال يقال إن المعامل نفي الجملة المركبة ككل اى الجملة داخل القوسين. وقد تكون الجملة المركبة نفسها مركبة من عدة جملة مركبة ايضا ويتم تطبيق معامل النفي على مجمل الجملة مثلا “[(D.C) v (A≡B)]~”. في المنطق الرمزي عادة ما يستخدم مصطلح المعامل الرئيسي main operator للإشارة إلى المعامل الذى يتم تطبيقة على مجمل الجملة التركيبية، أي أن نطاقة يشمل الجملة كلها. ان لم تحتوي الجملة على أقواس عادة ما تحتوي الجملة على معامل واحدة فقط وبالتالي يصبح هو الرئيسي، لكن إن احتوت الجملة أكثر من معامل في تلك الحالة النفي لا يكون هو العامل الرئيسي إن وجد. لكن إن وجدت أقواس في الجملة، المعامل الرئيسي هو المعامل الذي يقع خارج كل الأقواس، لو وجد أكثر من معامل خارج الأقواس، معامل النفي ان وجد ليس المعامل الرئيسي. مثلا في جملة “H . (J v K)” المعامل الرئيسي هو معامل الاقتران او النقطة. لأنه نطاق تطبيقة يمتد ليشمل كل الجملة. أو في جملة “~ )K.M)”  معامل النفي هو المعامل الرئيسي. 

الاقتران Conjunction

الاقتران اى الجمل التى يتم فيها التركيب من خلال الاقتران بين جملتين باستخدام معامل الربط، العطف او الاقتران “و” أو And بين “ايضا” “بالاضافة الي”  شقي الاقتران أو الجملتين الذين يتم الربط بينهما يطلق عليهما conjuncts .. تأمل هذا المثال “تقع القاهرة في قارة أفرقيا و دبي في قارة آسيا” أو “تقع القاهرة في قارة أفريقيا لكن دبي في قارة آسيا” أو “تقع القاهرة في قارة أفريقيا ومع ذلك تقع دبي في قارة آسيا” أو “القاهرة ودبي يقعا في الشرق الاوسط” .. كل تلك الجمل يمكن التعبير عنها بالصورة الرمزية للاقتران كالاتي T.B .. هناك بعض الرموز الأخرى التى قد تستخدم في بعض الكتب القديمة للتعبير عن الاقتران مثل علامة &. لكن النقطة أكثر شيوعا الآن. معامل الاقتران إذن هو معامل ربط ثنائي أي يتم تطبيقه على جملتين، قد يكونا جملتين بسيطتين أو مركبتين. 

الأنفصال Disjunction

جملة مركبة من مكونين يتم الفصل بينهما بمعامل الانفصال “أو” وشقي الجملة المركبة في تلك الحالة يطلق عليهما disjuncts. عادة ما يتم التعبير عنة بمعاملات مثل “أو”، “إلا” .. الانفصال يعني أن أحد شقي الجملة على الاقل صحيح، وفي تلك الحالة يقال أن الانفصال ضعيف. وقد يعني الانفصال أن أحد شقي الجملة فقط يمكن أن يكون صحيح، وفي تلك الحالة يقال أن الانفصال قوى. في المنطق نستخدم علامة V للإشارة الى معامل الانفصال. تأمل تلك الأمثلة “تسمح مصر بالتصوير في المعابد الاثرية او الاردن” .. “إما مصر تسمح بالتصوير في المعابد الاثرية أو الاردن” .. “تسمح مصر بالتصوير في المعابد الاثرية إلا إذا كانت الاردن” .. صور متعددة للانفصال بين جملتين كلها يمكن تمثيلها باستخدام معامل الاقتران A v T وكمعامل الاقتران معامل الانفصال هو معامل ربط ثنائي اى لابد من تطبيقى على جملتين. 

الجمل الشرطية والتضمين Conditional Statements and Material Implication

صورة أخرى من الجمل المركبة حيث يتم تركيب جملتين أحدهما شرط والاخرى نتيجة مشروطة الحدوث بتحقق الشرط. عادة ما يسبق الشرط كلمة او معامل الشرط في اللغة العربية “إذا” ، “لو” .. جملة الشرط يطلق عليها جملة السالف او السابق antecedent. ويسبق النتيجة معامل النتيجة “إذن” وجملة النتيجة عادة ما يطلق عليها جملة اللاحق او التابع consequent .التبعية،  التضمين أو الجمل الشرطية If — Then يتم التعبير عنها برمز حدوة الحصان ⊃ لكن بعض الكتب تستخدم رمز السهم -> للتعبير عن العلاقة الشرطية.. التضمين عادة ما يظهر بصور عدة في اللغة الإنسانية، كلمات مثل  “بشرط”، “بناء على”، “في حالة” عادة ما يتم ترجمتها الى جملة شرطية “لو … إذن” .. مثلا “إذا أحمد ذهب إلى العمل إذن سيارة أحمد ليست أمام المنزل” .. جملة السالف أو الشرط “أحمد ذهب الي العمل” و جملة التابع هي “سيارة أحمد ليست أمام المنزل”. الجملة الشرطية تؤكد أن في حالة ان السالف صواب لابد وان يتبع ذلك أن التابع صواب. وتكتسب الجملة الشرطية قيمة حقيقتها من فكرة التبعية او التضمين implication. غموض اللغة البشرية وإشكاليات الالتباس بها قد تجعل التضمين أو التبعية تظهر بعدة صورة تختلف من حيث المعنى، وبالتالي لابد من التفريق بين تلك الصور كي نستطيع ترميزها. تأمل تلك الجمل الشرطية. (1) إذا كانت كل البشر فانية وسقراط إنسانًا ، فإن سقراط فاني. (2) إذا كان أحمد متزوج، إذن أحمد ليس عازب (3) إذا تم وضع هذه القطعة من ورق عباد الشمس الأزرق في الحمض ، فستتحول هذه القطعة من ورق عباد الشمس الأزرق إلى اللون الأحمر (4) لو خسر الأهلي المباراة، سأدمر التلفاز” .. لو تأملت تلك الجمل الأربعة ستلاحظ أن التبعية في كل منها مختلفة بُناء على العلاقة السببية في كلا منها. مثلا في الجملة الأولى، التبعية نشئت بسبب التتابع المنطقي لو كل البشر فانية وسقراط أحد تلك البشر لابد اذن انه سيكون فاني ايضا. لكن في الجملة الثانية التبعية نشأت بناء على تعريف مصطلح متزوج الذى يعني بالضرورة ان الفرد غير عازب. والتبعية في الجملة الثالثة لم تنشأ بسبب المنطق او التعريف كما في السابق، لكن بسبب الحقيقة العلمية التى يمكن فقط اختبارها من خلال التجربة العملية. واخيرا الجملة الرابعة التبعية لم تنشأ بسبب المنطق، التعريف، أو قوانين السببية لكن بسبب ان قرار أخذه الفرد أن يدمر التلفاز في حال فوز فريقه. هذة الجمل الاربعة اختلفت في الطريقة التي دعمت بها التبعية لكنها مازالت أكدت على صورة ما من التبعية بين الشرط و النتيجة. 

التكافؤ Equivalence 

التكافؤ أو “فقط في حالة” هو عكس الجملة الشرطية، مثلا لو قلنا “ستصطاد السمك فقط إن كان هناك طعم في الصنارة” .. الشرط في تلك الجملة لايعني ان لو الصنارة بها طعم ستصطاد السمك، والا كانت كل صنارة بها طعم تصطاد السمك، لكن الشرط في تلك الحالة يعني نفي وقوع الحدث في حالة عدم وقوع النتيجة، اى ان لم تكن الصنارة بها طعم لن تصطاد السمك. الجملة المكافئة منطقيا للجملة الشرطية “إذا لم يكن هناك طعم بالصنارة، إذن لن تصطاد السمك”. أي أن جملة التكافؤ تعكس الجملة الشرطية. جملة التكافؤ يرمز فيها لمعامل التكافؤ بثلاثة شرط “≡”. حتى تستطيع التفرقة بين التكافؤ والجملة الشرطية، هناك قاعدة بسيطة. مركب الجملة التابع لكلمة إذا في الجملة الشرطية دائما ما يكون الشرط، أما في جملة التكافؤ مركب الجملة التابع ل”فقط إذا” دائما ما يكون التابع او النتيجة.. وبالتالي جملة التكافؤ “س فقط إذا ص” تترجم إلى ” س ⊃ ص” اى لو س إذن ص”. الفكرة دى مهمة جدا لان لا يجب أن يتم فيها خلط مركب الشرط في الجملة بمركب النتيجة. كما في الرياضيات 8/4 ليست نفس الشئ ك 4/8 بنفس الصورة A ⊃ B  ليست مكافئة لـ B ⊃ A. رمز الحدوة يستخدم أيضا للتعبير عن فكرة الكفاية والضرورة في الجمل الشرطية. مثلا حدث أ يقال أنه شرط كافي sufficient condition لحدث ب عندما يكون حدوث أ هو كل المطلوب كي يحدث ب. اى يكفي حدوث أ كي تحدث ب. على الجانب الآخر، حدث أ يقال أنه شرط ضروري necessary condition لحدث ب، عندما يكون حدوث ب جائز دون حدوث أ. أى أن أ ليست كافية لحدوث ب بمفردها. مثلا “الانفلونزا سبب كافي للمرض في حين أن تنفس الهواء سبب ضروري للحياة” .. هناك أشياء اخرى بجانب الانفلونزا قد تجعلنا مرضى لكنها كافية بمفردها لحدوث المرض، وبجانب الهواء هناك أشياء اخرى ضرورية كي نحيا، لكن بدون الهواء لا يمكن أن نحيا، اى ان الهواء ضروري لكنه غير كاف بمفردة للحياة. كي نعبر عن الكفاية والضرورة بالرموز في المنطق،  نضع جملة الكفاية في محل مركب الشرط داخل الجملة الشرطية، والضرورة في محل مركب التبعية داخل الجملة الشرطية. يعنى مثلا لو قلنا “إصدار آبل لتليفون جديد شرط كافي كي تصدر سامسونج تليفونها الجديد” .. نعبر عن تلك الجملة رمزيا كالاتي “لو س إذا ص” حيث س تعبر عن إصدار آبل لتليفون جديد و ص عن إصدار سامسونج لتليفون جديد. لكن لو غيرنا الجملة إلى “إصدار آبل لتليفون جديد شرط ضروري كي تصدر سامسونج تليفونها الجديد” .. في تلك الحالة نعبر عن الجملة رمزيا كالاتي “لو ص إذا س” 

قواعد الترقيم والرموز Punctuation and Symbolism Rules

الترقيم في لغة المنطق الرمزية Punctuation فكرة غاية في الاهمية لضمان خلو الجمل المنطقية الرمزية من الالتباس أو الغموض. إن كنت درست الرياضيات أو علوم البرمجة هذة الفكرة ستكون بسيطة ومباشرة بالنسبة لك، لكني سأحاول الاستفاضة في شرحها للتوضيح لقطاع أكبر من المستمعين. عند تطبيق معاملات الربط بصورها المتعددة داخل الجمل المركبة أشرنا إلى أن الربط قد يتم بين جمل بسيطة غير مركبة، لكن هذا الامر غير حصرى على الجمل البسيطة. اى ان الربط داخل الجمل المركبة قد يتم بين جملتين مركبتين وفي تلك الحالة بسبب كثرة المعاملات يصبح معنى الجملة غامض او متعدد المعاني. كي أوضح لك الفكرة سأبدأ أولا بمثال رياضي. تأمل تلك المعادلة 2X3+5 .. كيف تعتقد أنه يجب تطبيق تلك المعاملات الثلاثة. هل نضرب ال 2X3 ثم نجمع النتيجة على 5 اى يساوي 11 أم هل نضرب 2 في حاصل جمع 3+5 أي يساوي 16 . كما تلاحظ النتيجة تختلف حسب قراءتك للمعادلة و تطبيقك للمعاملات المستخدمة. لتجنب هذا الغموض الرياضيين طوروا عدة أدوات منها مثلا أسبقية المعاملات operator precedence اى هناك أولية لتطبيق بعض المعاملات قبل الاخرى عند ظهورهم في نفي المعادلة جنبا إلى جنب، لكن الاداة الاخرى هي ترقيم أو تشكيل المعادلة باستخدام الأقواس لتحديد المعنى المراد .. مثلا في المعادلة السابقة قد نعيد صياغتها كالآتي  (2×3( + 5  في تلك الحالة جمعنا عملية الضرب داخل قوسين لنحدد أن معامل الضرب سيتم تطبيقه على الرقمين 2 و3 ثم معامل الجمع سيتم تطبيقة على الرقم الناتج بالاضافة الى الرقم 5. نفس الفكرة تستخدم في المنطق الرمزي مثلا جملة منطقية مركبة على الصورة الرمزية الاتية س . ص V ع جملة غامضة لان ليس من الواضح كيف يجب تطبيق معاملات الربط تلك. قد يكون المقصود تطبيق معامل الاقتران بين س و ص ثم تطبيق معامل الانفصال على نتيجة تلك الجملة المركبة والجملة ع. أو قد تفسر الجملة كالآتي، يطبق معامل الانفصال اولا على الجمة ص و ع ثم يطبق معامل الاقتران على النتيجة والجملة س. لكننا نزيل هذا الغموض ببساطة ان وضعنا قوسين حول (س.ص) V ع .. في تلك الحالة واضح أن المراد هو تطبيق الاقتران على س و ص ثم الانفصال. هذة الفكرة البسيطة قد تصبح معقدة بسرعة عند تركيب عدة جمل مركبة، وفي تلك الحالة تستخدم الأقواس المربعة لدمج تكونيات من عدة جمل .. مثلا هذه الجملة ~[~(A.X) . (Y V ~ B)]  هذة الجملة المركبة من الممكن حساب قيمة الحقيقة لها لو وضعنا قيمة الحقيقة للجمل البسيطة المكونة لها .. لو فرضنا أن الجملتين A و B لهم قيمة حقيقة صواب و الجملتين X و Y لهم قيمة حقيقة خطأ.

(1) نبدأ بتطبيق الاقتران A.X بما ان X خطأ إذن تصبح قيمة الاقتران الكلية خطأ 

(2) نطبق قيمة الانفصال Y V ~ B بما ان B صواب إذن نفيها خطأ وتطبيق الانفصال على نفيها وقيمة Y التي هي خطأ تصبح القيمة الكلية للحقيقة هي خطأ.

(3) تطبيق النفي على النتيجة السابقة .. تصبح القيمة الكلية صواب

(4) تطبيق معامل الاقتران بين النتيجة السابقة والنتيجة من الخطوة 1 .. اى بتطبيق الاقتران على خطأ وصواب تصبح النتيجة خطأ

(5) وأخيرا بتطبيق معامل النفي على النتيجة من الخطوة الرابعة .. تصبح الجملة صواب لأن نفي الخطأ صواب! (أنظر الشكل المرافق).

هذة العملية المنهجية التي تشبه في تطبيقها معادلات الرياضيات تجعل عملية تقييم الحقيقة لاى جملة منطقية في صورتها الرمزية أمر سهل ومباشرة بمجرد تحديد قيمة الحقيقة للجمل البسيطة المكونة لها وتطبيق معاملات الربط على تلك الجمل بصورة اجرائية منهجية نصل لحقيقة الجملة المركبة ككل! .. لكن ليس دائما من الممكن معرفة قيمة الحقيقة للجمل البسيطة المكونة للجملة المركبة، في تلك الحالة أحد الطرق المستخدمة لحساب قيمة الحقيقة للجملة المركبة هو افتراض قيمة حقيقة للجملة البسيطة بداخلها مثلا صواب، ثم حساب قيمة الحقيقة الكلية للجملة المركبة، ثم اعادة حساب قيمة الحقيقة للجملة الكلية المركبة بافتراض قيمة الحقيقة خطأ للجملة البسيطة بداخلها، إن كانت قيمة الحقيقة الناتجة في الحالتين متساوية، إذن وصلنا لقيمة الحقيقة للجملة المركبة لاننا نعلم ان هناك قيمتين ممكنتين فقط لاى جملة بسيطة. وأخيرا اللغة الرمزية لمنطق القضايا كأى لغة بشرية كانت أو صناعية هناك صيغة جيدة التشكيل للجمل well-formed formulas لها. أي أن الجمل يتم تركيبها وصياغتها لغويا طبقا للقواعد اللغوية، مثلا في اللغة العربية جملة “أحمد يشرب القهوة” جملة جيدة الصياغة لكن جملة “القهوة أحمد يشرب” جملة غير صحيحة لغويا. بنفس الصورة جملة منطقية رمزية ك “A ⊃ v B”  او “A . B (v C )” جمل غير سليمة الصياغة. إذن هناك مجموعة من القواعد البسيطة يجب اتباعها عند صياغة الجمل المنطقية الرمزية.

(1) الجمل لا يمكن تركيبها معا بدون معاملات منطقية للربط ما بينها. وبالتالي لايمكن ان نضع رمز س مباشرة بجوار ص لابد من معامل ربط ما بينهم

(2) علامة النفي ~ لا يمكن أن تتبع جملة مباشرة لكن يمكن ان تسبق اى جملة.

(3) علامة النفي لايمكن ان تسبق معامل ربط اخر لابد وأن تسبق جملة

(4) معاملات الاقتران، الانفصال، التبعية، والتكافؤ لابد وان تقع بين جملتين

(5) الاقواس لابد ان تستخدم كي تزيل الغموض والالتباس من الجمل.

دوال الحقيقة Truth Functions

قيمة الحقيقة لجملة مركبة من أكثر من قضية منطقية باستخدام معاملات الربط المنطقية، يقال أنها دالة في قيمة الحقيقة للقضايا المكونة لها. أى أن قيمة الحقيقة لجملة مركبة يتم تحديدها بصورة مُطلقة بناء على قيمة الحقيقة للجمل الجزئية المكونة لها. لو كانت قيمة الحقيقة لتلك الجمل الجزئية معروفة أصبحت مهمة تحديد قيمة الحقيقة للجملة الكلية أمر مباشر بتطبيق معاملات الربط المنطقية. وبالتالي تصبح دالة الحقيقة truth function هى أي قضية مركبة يتم تحديد قيمة الحقيقة بالكامل  لها من خلال قيم الحقيقة لمكوناتها. الكثير من القضايا والأطروحات المركبة في اللغة البشرية الدارجة ليست دالة حقيقة. مثلا جملة “أحمد يعتقد ان نادر ليس أهل للثقة” جملة مركبة تتكون من جملة مركبة وهي “نادر ليس أهل للثقة” لكن قيمة الحقيقة للجملة المركبة لا يمكن تحديدها بناء على قيمة الحقيقة لمكوناتها لأن أعتقاد أحمد في أن نادر ليس أهل للثقة ليس بناء على اى سمة في نادر. سنبدأ أولا بتعريف كيف يمكن تحديد قيمة الحقيقة بناء على الخمس معاملات المنطقية الرمزية ثم ننتقل الى قضايا مركبة أكثر تعقيدا. 

تطبيق معاملات الربط المنطقية في الجمل المنطقية يتم من خلال المتغيرات variables التى نعبر عنها بحروف إنجليزية صغيرة تعبر عن الجملة مثلا المتغير a قد يعبر عن جملة A. متغيرات الجمل تستخدم لتكوين “قالب أو هيئة الجملة statement form”، القالب أو الهيئة هي ترتيب لمتغيرات الجملة والمعاملات المنطقية بحيث يمكن استبدال تلك المتغيرات داخل نفس القالب وتبقى النتيجة كما هي.  مثلا ~ a او a ⊃ b  هي قوالب جمل لأننا إذا  قمنا باستبدال المتغيرات بجمل A و B بالترتيب نحصل على الجمل ∼A and A ⊃ B. مثال أكثر تعقيدا “(p . q) ⊃ (q v r)” قالب جملة، لأن باستبدال المتغيرات بالجمل A B C نحصل على الجملة المركبة (A . B) ⊃ (B v C) أي أن تلك الجملة هي صور تمثيلية لقالب الجملة.

دالة حقيقة النفي Negation Truth Function

الآن بعد أن أوضحنا فكرة هيئة أو قالب الجمل دعنا نبدأ بدراسة دالة الحقيقة لقالب جملة النفي المنطقية. تعريف دالة الحقيقة لاى جملة منطقية يمكن الحصول عليه من خلال جدول الحقيقة Truth Table وهو ترتيب لجميع قيم الحقيقة الممكنة للجملة المركبة بناء على الجمل الجزئية المكونة لها بناء على المعاملات المنطقية المستخدمة في الجملة. مثلا في جملة النفي، هناك جملة واحدة تكون جملة النفي المركبة، وبالتالي احتمالات قيمة الحقيقة للجملة ككل يتوقف على احتمالات قيمة الحقيقة للجملة الجزئية، وبما أن هناك احتمالان فقط لقيمة الحقيقة للجملة الجزئية إذن هناك احتمالان فقط لجملة النفي ككل، وبالتالي جدول حقيقة الجملة المركبة تحتوي على صفين وعمودين، الاحتمال الأول (الصف الأول) في حالة صواب الجملة الجزئية (العمود الأول)، تصبح الجملة المركبة خاطئة (العمود الثاني). والاحتمال الثاني (الصف الثاني) في حالة خطأ الجملة الجزئية (العمود الأول) لابد من صواب الجملة المركبة ككل (العمود الثاني). أنظر الشكل المرافق. مثلا “ليس من الحقيقي أن البشر خالدون” دالة الحقيقة لتلك الجملة هي الصواب لأن دالة الحقيقة للجملة الجزئية “البشر خالدون” خطأ، إذن بناء على جدول الحقيقة، الاحتمال الثاني هو صواب الجملة المركبة في حالة خطأ الجملة الجزئية.

دالة حقيقة الاقتران Conjunction Truth Function 

ثانيا دالة الحقيقة لمعامل الاقتران “.” في حالة الجمل المركبة على صورة الاقتران conjunction قيمة الحقيقة للجملة يتم تحديدها فقط بناء على شقي او مركبي جملة الاقتران.  لو كان كلا من الشقين صواب تصبح الجملة كلها صواب، والعكس صحيح. ولذا يطلق على الجمل المركبة الاقترانية انها مركب حقيقة وظيفي truth-functional compound و شقيها يطلق عليها مكونات الحقيقة الوظيفية truth-functional components. لكن ليست كل الجمل المركبة لها خاصية الحقيقة الوظيفية truth-functional مثلا “أحمد يعتقد أن محمد مخلص لوطنة” قيمة الحقيقة لتلك الجملة لا يمكن تحديدها من خلال مكوناتها، لان من الممكن أن يكون يعتقد أحمد في أن محمد مخلص لوطنه بغض النظر إن كان محمد فعلا مخلص أم لا. وبالتالي المُكون “محمد مخلص لوطنه” ليس مكون حقيقة وظيفي في تلك الجملة وبالتبعية الجملة كلها ليست  مركب حقيقة وظيفي.  لو كان هناك جملتين س وص يكونا جملة مركبة على صورة الاقتران، إذن هناك أربع احتمالات ممكنة لقيمة الحقيقة للجملة الرئيسية بناء على توزيعات قيم الحقيقة للجملتين س و ص. من الممكن التعبير عن تلك الصور كالاتي (1) لو س صواب، وص صواب إذن س . ص صواب (2) لو س صواب و ص خطأ إذن س.ص خطأ (2) لو س خطأ وص خطأ إذن س.ص خطأ (4) لو س خطأ و ص خطأ إذن س.ص خطأ. من الممكن تمثيل تلك الحقائق الاربعة في صورة جدول للتعبير عن حقيقة الجملة الرئيسية في حالة احتمالية الصواب او الخطأ لكل شق هذا الجدول يطلق علية جدول الحقيقة Truth Table (أنظر الجدول المرافق). لو عبرنا عن الصواب بالرمز T وعن الخطأ بالرمز F يصبح الجدول في حالة س = T و ص = F إذن في خانة س.ص قيمة الحقيقة هي T وهكذا.  جدول الحقيقة يمكن استخدامه لتعريف عملية الاقتران أو رمز النقطة لانه يمثل قيمة الحقيقة لكل الحالات الممكنة عند استخدام معامل الاقتران للربط بين جملتين. إذن طبقا لجدول الحقيقة السابق قيمة الحقيقة لجمل الاقتران صواب فقط في حالة ان كان شقي أو مكوني الاقتران صواب. 

دالة حقيقة الانفصال Disjunction Truth Table

ثالثا جمل الانفصال Disjunction بما أن المعامل يربط ما بين جملتين إذن هناك أربع احتمالات لقيمة الحقيقة للجملة المركبة

(1) لو كانت الجملتان صواب، تصبح الجملة المركبة صواب

(2) لو الجملة الأولى صواب والثانية خطأ، إذن الجملة المركبة صواب

(3) لو الجملة الأولى خطأ والثانية صواب تصبح الجملة المركبة صواب

(4) واخيرا لو الجملتين خطأ تصبح الجملة المركبة خطأ. (أنظر الجدول المرافق).

مثلا “القط يرتدي إما قلادة حمراء أو قلادة خضراء، القط لا يرتدي قلادة حمراء، إذن القط يرتدي قلادة خضراء” يعد من نوع القياس الانفصالي disjunctive syllogism لأن الحجة الأولى جملة مركبة على الصورة الانفصالية، أى أنها مركبة من شقين منفصلين بمعامل “أو” .. وبالتالي من الممكن ان يكون احدهما فقط صحيح طبقا لتعريف الانفصال في صورتة الضعيفة. أى أن القط قد يرتدي قلادة واحدة فقط أما خضراء او حمراء. وبالتالي بناء على مقدمة الحجة الثانية التى أيضا جملة مركبة على صورة النفي وتقر بأن القط لا ترتدي القلادة الخضراء، إذن بالتكامل بين المقدمتين لابد إذن أن يرتدي القط القلادة الحمراء اى نتيجة الحجة! أمثلة أخرى “إما نجيب محفوظ أو عبد الحليم حافظ كاتب”، “إما نجيب محفوظ أو يوسف إدريس كاتب”، “إما محمد عبد الوهاب او عبد الحليم حافظ كاتب”. كما واضح لك الجملة الأولى صواب لان على الاقل أحد شقيها صواب، والثانية صواب لأن كلا شقيها صواب، وأخيرا الثالثة خطأ لأن كلا من شقيها خطأ.

Conditional Truth Function دالة حقيقة التضمين 

رابعا، الجمل التضمينية أو الشرطية Conditional قيمة الحقيقة للجملة يتم تحديدها بناء على جدول حقيقة له أربع احتمالات بما ان هناك جملتين

(1) لو الشرط صواب والنتيجة صواب لابد وأن الجملة الشرطية صواب

(2) لو الشرط صواب والنتيجة خطأ لابد وأن الجملة الشرطية خطأ

(3) لو الشرط خطأ والنتيجة صواب الجملة الشرطية كلها صواب

(4) لو الشرط خطأ والنتيجة خطأ، الجملة الشرطية كلها صواب. (أنظر الجدول المرافق).

أي أن الجملة الشرطية خطأ فقط عندما يكون الشرط صواب لكن النتيجة خطأ. تأمل تلك الامثلة “إذا كان أحمد زكي ممثل إذن عادل إمام أيضا”، “إذا كان أحمد زكي ممثل، إذن نجيب محفوظ أيضا”، “إذا كان نجيب محفوظ ممثل، إذن أحمد زكي أيضا”، “إذا كان نجيب محفوظ ممثل، إذن يوسف إدريس أيضا”. طبقا لجدول الحقيقة للجمل الشرطية قيمة الحقيقة للجملة الأولى صواب والثانية خطا. الأمر الذى غالبا سيتطابق مع الصورة البديهية لدى معظمنا، في الجملة الأولى أحمد زكي ممثل وايضا عادل إمام وبالتالي الشرط والنتيجة صواب إذن الجملة ككل صواب. وفي الجملة الثانية، أحمد زكي ممثل، لكن نجيب محفوظ ليس كذلك، إذن الشرط صواب لكن النتيجة خطأ إذن الجملة ككل خطأ. لكن الجملة الثالثة والرابعة قد يصعب على البعض إدراك السبب وراء قيمة الحقيقة لها، بالرغم من أن القيمة متطابقة مع إدراكنا البديهي لحقيقة تلك الجمل لكن ليس من الواضح كيف تم الوصول إلى تلك القيمة. كي أقرب الفكرة لك تأمل هذا المثال “لو تدربت الأسبوع المقبل، إذن ستكسب المباراة النهائية” .. هناك احتمالان قد تتحقق فيهم خسارتك في المباراة النهائية، الاول هو انك لم تتدرب لمدة أسبوع، أي أن الشرط خطأ والنتيجة خطأ والثاني، هو انك تدربت لمدة أسبوع لكنك مازلت خسرت المباراة لأسباب أخرى، أي أن الشرط صواب، لكن النتيجة خطأ. 

دالة حقيقة التكافؤ Biconditional Truth Function

وأخيرا قيمة الحقيقة لجمل التكافؤ Biconditional يتم تحديدها بناء على جدول حقيقة له أربع احتمالات بما ان هناك جملتين

(1) لو الشرط صواب والنتيجة صواب لابد وأن الجملة صواب

(2) لو الشرط صواب والنتيجة خطأ لابد وأن الجملة خطأ

(3) لو الشرط خطأ والنتيجة صواب الجملة كلها خطـأ

(4) لو الشرط خطأ والنتيجة خطأ، الجملة الشرطية كلها خطأ . (أنظر الجدول المرافق).

أي أن جملة التكافؤ صواب فقط في حالتين الشرط والنتيجة صواب أو الشرط والنتيجة خطأ. هذه الحقيقة المنطقية نابعة من الفكرة البسيطة وهي أن جملة التكافؤ “س فقط إذا ص” هي مجرد اختصار منطقي لجملة منطقية مركبة وهي “لو س إذن ص و لو ص إذن س” (p ⊃ q) . (q ⊃ p)  .. او باللغة الدارجة والبداهة العقلية لابد وان يتحقق كلا من س وص كي تصح الجملة او لايتحقق كلا من س وص كي تصح الجملة. تأمل تلك الجمل “هيكل صحفي فقط إذا كان مصطفى أمين”، “هيكل صحفي فقط إذا كان نجيب محفوظ”، “أحمد زكي صحفي فقط إذا كان نجيب محفوظ” … دالة الحقيقة للجملة الأولى قيمتها صواب، لأن شقي الجملة صواب، والثانية خطأ لأن نجيب محفوظ ليس صحفي إذن أحد شقي الجملة “النتيجة” لم تثبت صحته. وأخيرا الجملة الثالثة صواب، لان شقي الجملة خطأ لا أحمد زكي ولا نجيب محفوظ صحفيين. الان بعد قمنا بتعريف جداول الحقيقة لاحتمالات دالة الحقيقة لمعاملات الربط المنطقية الخمسة ننتقل الى جمل مركبة أكثر تعقيدا.

حساب دالة الحقيقة Truth Function Computation

كي نحسب قيمة دالة الحقيقة لجملة مركبة معقدة سنستخدم طريقة تشبه التعامل مع المعادلات الرياضية. سنقوم بالخطوات التالية

(1) نكتب قيمة الحقيقة للجمل الجزئية البسيطة أسفل الحروف المعبرة عنها.

(2) سنستخدم قيم الحقيقة للجمل البسيطة لحساب قيمة الحقيقة للجمل المركبة، ونكتب قيمة الحقيقة للجملة المركبة تحت معامل الربط داخل الجملة.

سنبدأ بمثال بسيط. تصور أن هناك ثلاث جمل فرضية بسيطة غير مركبة A, B, and C قيمة الحقيقة لها صواب. وثلاث جمل فرضية بسيطة غير مركبة D, E, and F قيمة الحقيقة لها خطأ. الآن لو هناك جملة فرضية مركبة (A v D) ⊃ E أولا نكتب قيمة الحقيقة للجمل البسيطة مباشرة تحت الرموز المعبرة عنها (سنعبر ب T اختصار True عن قيمة الصواب، و F أختصار False عن الخطأ) .. إذن نحصل على (T v F ) ⊃ F ثانيا نحسب قيمة الحقيقة للجملة المركبة داخل القوسين ( T v F ) ونكتبها أسفل المعامل. في تلك الحالة طبقا لجدول حقيقة معامل الانفصال قيمة الحقيقة للصواب أو الخطأ هي الصواب. إذن الجملة الناتجة الان T ⊃ F وأخيرا نقوم بتطبيق المعامل الاخير وهو الجملة الشرطية أو معامل حدوة الحصان، طبقا لجدول الحقيقة قيمة حقيقة شرط صواب ونتيجة خطأ هو الخطأ. ثم نكتب النتيجة النهائية تحت رمز حدوة الحصان (أنظر الشكل المرافق). إذن النتيجة النهائية لهذه الجملة الفرضية هي أن قيمة حقيقتها خطأ في حالة ان كانت A صواب، و D E خطأ. مثال آخر بفرض نفس قيمة الحقيقة للجمل البسيطة السابقة، تأمل تلك الأمثلة (B . C ) ⊃ (E ⊃ A) أولا نعوض عن قيم الجمل البسيطة بقيمة حقيقتها (T . T) ⊃ (F ⊃ T) ثانيا نحسب قيمة الحقيقة للجمل المركبة داخل الأقواس نحصل على النتيجة التالية طبقا لجداول الحقيقة لتلك المعاملات T ⊃ T وثالثا وأخيرا نطبق المعامل الاخير ونحسب قيمة الحقيقة النهائية (أنظر الشكل المرافق). هذة الجمل قد تكون شديدة التعقيد مثلا [∼ (D v F) . (B v ∼ A) ] ⊃ ∼ (F ⊃ ∼ C) (أنظر الشكل المرافق) .. لكن باستخدام الطريقة البسيطة السابقة نستطيع التوصل لقيمة الحقيقة بكل بساطة لاى جملة اى كانت درجة تعقيدها.

 اللغة و المعاملات المنطقية Language and Logical Symbols

التصور المبدئي عند ترميز اللغة البشرية الى صورة منطقية رمزية قائمة على معاملات ربط منطقية، هو أن هناك تطابق في المعنى بين الكلمات المستخدمة في اللغة لتكوين الجمل المركبة والرموز المنطقية المستخدمة لنفس الغرض في المنطق، لكن هذة الرؤية غير دقيقة. أولا معامل الاقتران “.” الذي عادة ما يستخدم لترميز كلمات مثل “و” “and” “لكن” التطابق في المعنى بين اللغة البشرية والرمزية كبير لكن يحدث الاختلاف عندما يتوقف معنى جملة الاقتران على ترتيب شقي الجملة، مثلا تأمل تلك الجمل “لقد تزوجت و أنجبت” … “لقد أنجبت وتزوجت” .. الجملة الاولي تتضمن معنى أن الزواج حدث اولا ثم الانجاب لاحقا، في حين أن الجملة الثانية تتضمن المعنى المعاكس الانجاب ثم الزواج. هذا المعنى الضمني في الجملة العربية يضيع تماما عند ترجمة الجملة رمزيا لان لو عبرنا عن الزواج ب س والإنجاب ب ص. تصبح الجملة الأولى س.ص و الثانية ص.س و الجملتين من الناحية المنطقية متساويتين منطقيا! .. صورة أخرى من الخلاف عند الترميز تحدث في جمل الاقتران عندما يكون ترتيب الشق الأول في الجملة  conjuncts يتضمن علاقة سببية. تأمل هذا المثال “لقد وقع من على السلم وكسر ساقة” .. “لقد كسر ساقة ووقع من على السلم”. في الجملة الأولى هناك معنى ضمني أن الوقوع من على السلم سبب كسر الساق، ويمكن التعبير عنها رمزيا ب س . ص .. والجملة الثانية لا تحتوى على نفس تلك العلاقة السببية بين الوقع من على السلم وانكسار الساق، ويتم التعبير عنها منطقيا ب ص . س وقيمة الحقيقة منطقيا للجملتين واحدة لكن المعنى ليس واحدا. ثانيا معامل الانفصال “v” الذى يستخدم عادة للتعبير عن “أو” “or” “مالم” .. المعامل يعبر عن أنفصال شامل inclusive disjunction لكن كلمة أو في اللغة العربية قد تعبر في بعض الأحيان عن انفصال جزئي exclusive disjunction ونفس الفكرة تنطبق على “مالم” .. مثلا  “لن تكسب الجائزة ما لم تشترى تذكرة” … “لن تمطر ما لم يكن هناك غيوم” .. في الجملة الأولى هناك معنى ضمني وهو أن من الجائز أنك قد تشترى التذكرة لكن لن تكسب الجائزة مثلا لأن الحظ لم يحالف رقمك، وفي الجملة الثانية المعنى المتضمن قد يكون هناك غيوم في السماء لكنها لن تمطر، هذا الانفصال شامل ولايفقد اى شئ من المعنى الضمني عند ترميزها. لكن تأمل استخدام نفس المصطلحات لكن في صورة أنفصال حصرية  “هذا الخشب يصلح كوقود للنار ما لم يتم بلة بالماء” .. الجملة تتضمن معنى ان لايمكن ان لا يمكن استخدام الخشب كوقود في نفس الوقت وهو مبلول. وبالتالي لو تم ترجمة تلك الجمل باستخدام معامل الانفصال سيفقد جزء من المعنى. ثالثا في الجملة الشرطية حيث يستخدم معامل حدوة الحصان، قد يحدث أيضا عدم التطابق مع اللغة الدارجة احيانا. تأمل مثلا “إذا ارتفعت درجة الحرارة، فسيبدأ الثلج في الذوبان” .. “إذا كان الشكل (أ) مثلثًا ، فإن الشكل (أ) له ثلاثة جوانب” .. “إذا كانت كل أ هي ب وكل ب ج ، فكل أ هي ج” .. الجمل الثلاثة صواب بالرغم من أن الشرط قد يكون خطأ. مثلا في المثال الأول بالرغم من أن درجة الحرارة لم ترتفع إلا أن القانون الذى يحكم ذوبان الثلج مازال صحيحا، بصورة اخرى، الجملة المعبرة عن القانون صواب بغض النظر عن قيمة الحقيقة للشرط. وفي المثال الثاني، حقيقة أن الشكل أ ليس مثلثا لا تؤثر على حقيقة أن المثلث له ثلاثة أضلاع وبالتالي الجملة المعبرة عن تلك الحقيقة الرياضية صحيحة بغض النظر عن قيمة الحقيقة للشرط. واخيرا الجملة الثالثة تعبر عن علاقة منطقية بين الجمل هذة العلاقة المنطقية صحيحة غير متغيرة بغض النظر عن القيم الثلاثة المستخدمة أ ب ج .. فمثلا لو كانت أ تمثل كلاب، وب تمثل قطط، وج تمثل دجاج ، يصبح الشرط والنتيجة خطأ في الجملة، لكن الجملة الشرطية ككل صحيحة لأن العلاقة المنطقية بين الرموز الثلاثة ثابتة غير متغيرة. 

التضمين المادي Material Implication

رمز حدوة الحصان لايعبر عن معنى الجملة الشرطية لان كما رأينا التبعية في الجملة الشرطية متعددة المعاني. وبالتالي لا يمكن استخدامه للتعبير عن المعنى والا سيسبب نفس الالتباس كما في اللغة البشرية. لتفريق الرمز عن المعاني الأخرى لفكرة التضمين، علماء المنطق يطلقون على التضمين الناتج عن هذا الرمز التضمين المادي material implication حتى يفرقوا عن المعاني الاخرى المستخدمة في اللغة البشرية. لكن يعني ايه نوع اخر من التضمين، او التضمين المادي .. التضمين المادي هو نوع من التبعية أو الشرطية قيمة حقيقتها تعتمد تماما على قيمة الحقيقة للشرط والنتيجة داخل الجملة وليست قائمة بالمرة على اى علاقة استنتاجية أو استنباطية بين الشرط والنتيجة. ومن ثم عند ترجمة الجمل الشرطية من اللغة البشرية الى اللغة الرمزية يفقد جزء من المعنى. تأمل هذه الجملة “إذا كان مبارك رئيس ديموقراطي، إذن القرود بتتكلم” .. التضمين هنا ليس بناء على علاقة منطقية، سببية، او تعريف، ولا يمثل ايضا علاقة بناء على قرار فردي لأن ليس في امكانية المجادل أن يجعل القرود تتكلم. في الواقع لا توجد اى علاقة بالمرة بين الشرط والنتيجة، وعادة ما تستخدم تلك الجملة الشرطية على صورة السخرية لأن النتيجة بكل تأكيد خطأ ومن المستحيل أن تكون ابدا صحيحة، إذن لابد وان يكون الشرط خطأ، أي أن مبارك ليس رئيس ديموقراطي. على اى حال الفكرة التى أحوال إيصالها لك، هو أنه لا توجد علاقة حقيقية بين السابق واللاحق طبقا للتضمين المادي. الآن تأمل هذه الجملة “إذا كان الجليد أخف من الماء ، فإن الجليد يطفو في الماء.” أرجو أن تكون لاحظت العلاقة الاستنتاجية بين الشرط والنتيجة في تلك الجملة، حقيقة أن الجليد أخف من الماء هي السبب وراء أنه يطفو فوق الماء. وعندما يتم تحويل الجملة الى صورتها الرمزية يُفقد هذا المعنى الاستنتاجي في الجملة. ولأن التبعية المادية تتجاهل تلك الوصلة الاستنباطية بين السبب والنتيجة يحدث التعارض بين حقيقة الجملة الشرطية الرمزية وحقيقة الجملة الشرطية في اللغة البشرية، تأمل مثلا هذه الأمثلة “إذا كان أحمد يدافع عن الإرهاب ، إذن فهو مواطن صالح” … “إذا كانت بنها تقع في القليوبية، إذن بنها قريبة جدا من أسوان” … طبقا لتفسير الجمل السابقة طبقا للغة العادية، كليهما جمل خاطئة. المواطن الصالح لا يدافع عن الإرهاب، وبنها بعيدة جدا عن أسوان. لكن عند ترجمة تلك الجمل الى صورتها الرمزية، كليهما صواب! .. لأن الشرط فيهما خاطئ وطبقا لجدول حقيقة الجمل الشرطية الجملة ككل صواب إن كانت الشرط خاطئ بغض النظر عن النتيجة أو الحالة الثالثة والرابعة. في الحالات التى يحدث فيها هذا التعارض بين اللغة الدارجة واللغة الرمزية عادة يكون من الأفضل عدم استخدام رموز الحدوة لتمثيل الجملة.

العلاقات الاستنباطية بين الشرط والنتيجة تلعب دور في الجمل الشرطية الدلالية indicative mood كما في الامثلة السابقة، لكنها تلعب دور كبير ومؤثر في الجمل الشرطية التى يتم التعبير عنها بصيغة شرطية مخالفة subjunctive mood .. تأمل تلك الأمثلة “إذا كنت بيل جيتس، فسأكون ثريًا” .. “إذا كانت الدلافين سمكة ، فإنها ستكون بدم بارد” .. “إذا كان برج القاهرة مصنوعًا من الرصاص، فسيكون أخف من الهواء” .. “إذا كان الرئيس السادات أنتحر، لكان على قيد الحياة الان” …  الجمل الشرطية المعبر عنها بصورة مخالفة عادة ما يطلق عليها الشرطية المخالفة counterfactual conditionals لان الشرط عادة مايكون خطأ، وبالتالي الطريقة الوحيدة لتحديد قيمة الحقيقة للجملة في اللغة العادية يحدث من خلال نوع من الاستنباط، مثلا في الجملة الأولي من خلال معرفتنا ان بيل جيتس غني نستطيع استنتاج اني لو كنت بيل جيتس سأكون غنيا. بنفس الصورة بمعرفة ان كل الاسماك باردة الدم، نستنتج ان لو الدلفين كان سمكة لاصبح بارد الدم أيضا، وفي المثالين الآخرين نستنتج ايضا من معرفتنا العلمية ان الهواء أخف من الرصاص، أو ان الانتحار يؤدي الى الموت وبالتالي كلا الجملتين خطأ. لان حقيقة الشرطية المخالفة مرتبطة بقوة بتلك العلاقات الاستنباطية وليس بصحة أو خطأ شرط ونتيجة الجملة، الجمل الشرطية المخالفة لاتعد دالة حقيقية بالمرة، ولا يستخدم رمز الحدوة لترجمتها الى صورة رمزية، لو مش مقتنع بكلامي، جرب تترجم الجمل السابقة الى صورة رمزية ستجد انها كلها صواب طبقا لجدول حقيقة الجملة الشرطية، الأمر المخالف لبديهتنا ومعرفتنا. هذة الفكرة نفسها كانت أحد الدوافع لظهور نوع جديد من المنطق يعرف بمنطق الموجهات modal logic القائم بالأساس على فكرة العوالم المحتملة كطريقة كاملة ومتسقة للعالم أو كيف يمكن أن يكون. يتم استخدامها على نطاق واسع كأداة رسمية في المنطق والفلسفة واللغويات من أجل توفير دلالات ومعاني مقبولة في منطق الموجهات. وناقشنها بقدر من التفصيل في سلسلة ماوراء الطبيعة (أرجع لحلقة إشكالية العوالم الممكنة). على أى حال نفس حالات عدم التطابق بين اللغة الدارجة واللغة الرمزية في حالة الجمل الشرطية ينطبق بنفس الصورة في حالة جمل التكافؤ biconditionals، بنفس الشكل الذى يعبر بة رمز الحدوة عن تبعية مادية، رمز التكافؤ يعبر عن تكافؤ مادي material equivalence اى انه يتجاهل أي علاقة استنتاج واستنباط بين مكونات الجملة، ومن ثم يحدث تعارض بين المعنى للجمل الدارجة و المعنى الرمزى للجملة. تأمل هذين المثالين “من السهل تسلق الهرم الأكبر فقط إذا كان ارتفاعه أكثر من 100 متر فقط” .. “الهرم مثلث الشكل فقط إذا كان له خمس أوجه” .. طبقا للغة العادية تلك الجملة خاطئة، المرتفعات التى ارتفاعها أكثر من 100 متر ليست سهلة التسلق، والمثلثات أشكال هندسية لها ثلاثة أوجه وليس خمسة. لكن لو ترجمنا تلك الجمل الى الصورة الرمزية اى صورة التكافؤ المادي، الجملتين صواب، لأن في كلا الحالتين الجمل المكونة للجملة خطأ. وبنفس صورة الجمل الشرطية عندما يحدث التعارض في المعنى في جمل التكافؤ بين اللغة الدارجة والرمزية، في تلك الحالة استخدام معامل التكافؤ المنطقي يصبح غير مناسب. وبنفس الصورة الشرطية، جمل التكافؤ المخالف subjunctive biconditionals لا تعد دالة حقيقة في منطق القضايا ولايستخدم معامل التكافؤ للتعبير عنهم، لكن منطق الموجهات هو مجال تطبيق هذة الجمل.

جداول الحقيقة للفرضيات Propositions Truth Table

كما رأينا منذ قليل جداول الحقيقة هي ترتيب احتمالات قيم الحقيقة لمركبات الجملة كي نصل الى قيمة الحقيقة المحتملة للجملة المركبة. كي نبني جدول الحقيقة لأي فرضية، الخطوة الأولى هي أن نحدد عدد الصفوف في الجدول، كل صف يمثل تمثيل لواحد من الاحتمالات الممكنة عند ترتيب قيم الحقيقة لمركبات الجملة بصورة معينة. عدد الصفوف في الجدول مساوي لعدد الاحتمالات الممكنة لترتيب قيم الحقيقة للقضايا أو المركبات الداخلية للجملة المركبة. مثلا لو الجملة مكونة من قضية واحدة أو مركب واحد سيكون هناك احتمالات فقط لقيمة الحقيقة (صواب وخطأ) وفي تلك الحالة هناك صفين فقط. و إذا كانت الجملة مركبة من فرضيتين، س و ص، سيكون هناك أربع احتمالات لقيم الحقيقة للجملة المركبة، لأن هناك قيمتي حقيقة لكل جملة إذن 2 * 2 = 4، وهكذا لو كان هناك 3 جمل سيكون هناك 8 احتمالات للحقيقة، 4 جمل سيكون هناك 16 أحتمال للحقيقة، الخ (أنظر الجدول المرافق). لأصحاب العقول الرياضية العلاقة بين عدد الجمل وعدد الصفوف أو احتمالات الحقيقة للجملة المركبة يمكن التعبير عنها بمعادلة L = 2n حيث L تعبر عن عدد الصفوف في جدول الحقيقة، و n تعبر عن عدد الجمل أو الفرضيات البسيطة المكونة للجملة المركبة. افضل طريقة لفهم هذه العملية هو تطبيقها على مثال عملي كما في المعادلات الرياضية. تأمل هذا المثال البسيط (A v ∼ B) ⊃ B هناك فرضيتين مكونيتين لتلك الجملة المركبة A, B إذن سيكون هناك أربع احتمالات أو صفوف في جدول حقيقة الجملة. في رأس الجدول نضع كلا من الفرضيتين المكونتين للجملة في عمود، وعمود ثالث للجملة المركبة ككل، ثم أسفلهم أربع صفوف تمثل الاحتمالات الاربعة (أنظر الشكل المرافق). الخطوة الثانية نضع تحت الفرضية A اربع احتمالات لقيم الحقيقة سنمثل قيمة الصواب بالرمز T وقيمة الخطأ بالرمز F. سنقوم بقسمة عدد الاحتمالات الممكنة الى نصفين، اى نقسم عدد الاحتمالات الاربعة الى نصفين كل نصف به صفين، في الصفين الأولين نضع T وفي الصفين الثانين نضع F. الخطوة التالية هى احتمالات الحقيقة ل B كي نوزعها على احتمالات A بصورة تبادلية، نقوم بقسمة الصفين الاولين في الاول نضع T والثاني F نتبع ذلك بقسمة الصفين التالين، نصع T في الاول و F في الثاني (انظر الشكل المرافق). هذا التوزيع يضمن كل الاحتمالات الممكنة لقيم A B. الان نبدأ بحساب قيمة الحقيقة للجملة المركبة بتطبيق المعاملات المنطقية كما رأينا سابقا ووضع القيمة الناتجة أسفل العلامة في كل صف. سنبدأ أولا من داخل القوسين ونطبق النفي على B. في الصف الأول قيمة B كانت صواب، إذن نفيها خطأ وبالتالي نضع F أو خطأ تحت علامة النفي في الصف الاول، وهكذا نكمل الخطوة لمعامل النفي لكل الصفوف (أنظر الشكل المرافق). بعد ذلك ننتقل الى معامل الانفصال v داخل القوس ونقوم بتطبيقة على قيمة الحقيقة ل A وقيمة الحقيقة لنفي B الناتجة من الخطوة السابقة نقوم بتكرار تلك الخطوة للأربع صفوف (أنظر الشكل المرافق). أخيرا نقوم بتطبيق المعامل الاخير خارج القوس، معامل التضمين او التبعية ⊃ في تلك الحالة المعامل يتم تطبيقة لكل صف من الصفوف الاربعة على نتيجة الانفصال من الخطوة السابقة التى كتبناها تحت رمز الانفصال، وقيمة جملة B ثم نكتب النتيجة النهائية تحت معامل التضمين. هذة القيمة هي القيمة النهائية للجملة ككل بما أن هذا المعامل كان أخر المعاملات في الجملة (أنظر الشكل المرافق). هذا الجدول يخبرنا الان بقيم الحقيقة للجملة المركبة في كل احتمالاتها طبقا لقيم الحقيقة للجمل المكونة لها A و B. هذه هي الطريقة التقليدية لبناء جدول الحقيقة للفرضيات، وغالبا ما ستجدها في معظم كلاسيكيات كتب منطق القضايا. هناك طريقة بديلة لحساب جدول الحقيقة أقصر وأسرع بعض الشئ. فيها لا نضع عمودين مستقلين لقيم الجمل البسيطة A و B بدلا من هذا نضع قيمتهم مباشرة تحت رموزهم في الجملة المركبة. اى ان الجدول يكون به عمود واحد رأسه هي الجملة المركبة، وتحت القضية A في الصفوف الاربعة نضع احتمالات قيمة الحقيقة لها بنفس الطريقة السابقة، وتحت القضية B نضع تحتها في الصفوف الاربعة نضع احتمالات قيمة الحقيقة لها بنفس الطريقة السابقة (أنظر الشكل المرافق). ثم نتبع نفس الخطوات السابقة بتطبيق المعاملات ووضع القيم الناتجة في الصفوف الاربعة أسفلها حتى نصل الى النتيجة النهائية تحت معامل التضمين او الحدوة (أنظر الشكل المرافق). أنصحك بالتوقف عن إكمال الحلقة وإحضار ورقة وقلم قم بتطبيق إحدى الطريقتين لحساب قيمة الحقيقة للجملة المنطقية التالية بنفسك (C . ∼ D) ⊃ E ..ثم عُد لإكمال الحلقة، المنطق كالرياضيات أفضل طريقة لإستيعابه هي التطبيق العملي.

تصنيف القضايا المنطقية Logical Propositions Types

جداول الحقيقة قد تستخدم لتحديد إن كانت قيمة الحقيقة لجملة مركبة تعتمد تماما على شكل وقالب الجملة، أو تعتمد أيضا على قيم الحقيقة لمركبتها. الجملة المنطقية المركبة يقال انها صحيحة منطقيا logically true أو طوطولوجية tautologous statement إذا كانت الجملة صواب بغض النظر عن قيمة الحقيقة للجمل أو القضايا المكونة لها. ويقال انها خاطئة منطقيا logically false أو متناقضة self-contradictory statement إذا كانت خاطئة بغض النظر عن قيمة الحقيقة للقضايا المكونة لها. وأخيرا يقال انها جملة مشروطة contingent statement إن كانت قيمة الحقيقة للجملة تعتمد على حقيقة مكوناتها. بالنظر الى قيمة الحقيقة تحت المعامل الرئيسي في الجملة المركبة نستطيع تحديد كيف يمكن تصنيف الجملة طبقا للفئات الثلاثة السابقة. أن كانت كل الاحتمالات صواب تحت المعامل الرئيسي في تلك الحالة الجملة صواب منطقيا أو طوطولوجية، إن كانت كل الاحتمالات خطأ تحت المعامل الرئيسي في تلك الحالة الجملة خطأ منطقيا أو متناقضة. وأخيرا لو كان هناك احتمال واحد صواب،و احتمال واحد خطأ يقال إن الجملة مشروطة (أنظر الجدول المرافق). مثلا في المثال السابق، كان تحت المعامل الرئيسي في الجملة المركبة، معامل التضمين او الحدوة هناك أربع احتمالات أحدهم كان صواب وأحدهم كان خطأ، وبالتالي الجملة تصنف على أنها مشروطة. أو بصورة أبسط حقيقة الجملة مشروطة بقيم الحقيقة لمركباتها. قد تكون صواب أو خطأ بناء على قيم الحقيقة للجملة البسيطة المكونة لها. لكن مثلا لو تأملت الجملة المركبة [ (G ⊃ H) . G ] ⊃ H جدول الحقيقة لها يحتوى على اربع صفوف، تحت المعامل الرئيسي في الجملة معامل التضمين، كل الاحتمالات صواب، إذن الجملة طوطولوجية أو صواب منطقيا (أنظر الشكل المرافق). والجملة المركبة (G v H) ≡ (∼ G . ∼ H) جدول حقيقتها له أربع احتمالات، تحت المعامل الرئيسي في الجملة معامل التكافؤ كل الاحتمالات خطأ، إذن الجملة متناقضة أو خطأ منطقيا. وفي كلا المثالين قيمة الحقيقة للجملة المركبة مشروطة بقيمة الحقيقة للجمل المكونة لها. الأولى صواب بغض النظر عن حقيقة الجمل المكونة لها أى أنها صواب ضروريا، والثانية خطأ بغض النظر عن حقيقة الجمل المكونة لها اى أنها خطأ ضروريا. إن كانت القضية إما صواب منطقيا أو خطأ منطقيا، قيمة حقيقتها تعتمد على هيئة الجملة فقط ولا علاقة لها بمحتوى الجملة .. السؤال اللى غالبا بيدور في عقلك الآن، ما أهمية هذا التفريق؟ في الحقيقة هذا التفريق مهم لأن الجمل من تلك النوعية عادة لا تصنع اى تأكيدات جديدة عن الواقع. مثلا هذه الجملة الطوطولوجية أو الصواب منطقيا “اما انها تمطر أو لا تمطر” هذة الجملة صواب في حالة انها امطرت أم لم تمطر. اى انها لا تخبرنا اى شئ عن حالة الطقس. لكنها مازالت جملة صواب منطقيا، بل صوابها حقيقة ضرورية نابعة من هيئتها أو طريقة تركيبها. وبنفس الصورة، الجمل المتناقضة أو الخطأ منطقيا، لا تقدم أي معرفة عن الواقع مثلا “أنا أكون ولا أكون” هذه الجملة لا تقدم اى معلومات عن كينونتي، لانها تثبت وتنفي نفس الشئ في نفس الجملة. وبالتالي هي خطأ بناء على قالبها وليس محتواها، الامر المختلف تماما عن جملة مثل “أنها تمطر في الشتاء” جملة مشروطة بحقيقة ما في الواقع عن الطقس.

الاستخدام الآخر المهم لجداول الحقيقة، هو مقارنة القضايا المنطقية وعلاقتها ببعضها. مثلا قضيتين يقال انها جمل متكافئة منطقيا logically equivalent statements إذا كان لهم نفس قيم الحقيقة في كل صف تحت المعامل الرئيسي في الجملة. ويقال انهم جملتين متناقضتين contradictory statements ان كانت قيم الحقيقة في كل صف تحت المعامل الرئيسي في الجملة متضادة. ان لم تتحقق تلك الحالتين إما أن تكون الجملتين متسقتين أو غير متسقتين. فرضيتين يقال انهم متسقتين consistent statements ان كان هناك على الأقل صف واحد قيم الحقيقة للاثنين صواب. ويقال انهم غير متسقتان inconsistent statements ان لم يوجد اى صف حيث قيم الحقيقة صواب في الجملتين (أنظر الجدول المرافق). مثلا الفرضية K ⊃ L والفرضية ∼ L ⊃ ∼ K متكافئتان منطقيا لو لأن قيم الحقيقة للمعامل الرئيسي في الجملتين متطابقة (أنظر الشكل المرافق). على العكس من جملة   K ⊃ L وجملة K . ∼ L جملتين متناقضتين لأن قيم الحقيقة للمعامل الرئيسي في كليهما متناقضة (أنظر الشكل المرافق). أما مثلا في حالة الجملة K v L والقضية K . L القضيتان متسقتان، لأن الصف الأول لكليهما قيمة الحقيقة للمعامل الرئيس صواب (أنظر الشكل المرافق). على العكس من جملة K ≡ L وجملة K . ∼ L قضيتين غير متسقتان، لان لا يوجد اى صف فية قيمة الحقيقة للمعامل الرئيسي في كليهما كانت صواب (أنظر الشكل المرافق). وعادة ما نطلق على التكافؤ والتناقض بين الجمل علاقة قوية ثم يتبع ذلك العلاقات الضعيفة اى علاقة الاتساق. علاقة الاتساق بين الجمل مهمة جدا لان من الممكن استخدامها لتقييم ان كانت فرضيات الشخص عقلانية أم لا. مثلا “درجة غليان الماء 100 درجة مئوية” وجملة “عدد سكان مصر الحالي 100 مليون نسمة” .. كليهما فرضيات صحيحة في الواقع ولو قمت بتمثيلها في جدول حقيقة ستجد أن هذا الاتساق مُعبر عنه بقيمة الحقيقة حيث القضيتين صواب على الأقل في احتمال واحد، لكنها غير متكافئتين منطقيا لأن قيم الحقيقة للمعامل الرئيسي بهم ليست متطابقة! مثلا عدد سكان مصر في تزايد مستمر وقد يتغير بعد عدة سنوات، لكن الجملة الأولى حقيقة عملية لن تتغير مع الوقت.

جداول الحقيقة للحجج Arguments Truth Tables

جداول الحقيقة هي الطريقة القياسية لاختبار صلاحية الحجج داخل منطق القضايا. وكما اتبعنا طريقة محددة لبناء جدول الحقيقة للقضايا، سنتبع طريقة محددة لبناء جدول الحقيقة للحجج، أتبع الخطوات التالية:

(1) قم بترميز قضايا الحجة

(2) أكتب الصورة الرمزية للحجة وضع خط فاصل بين كل مقدمة، وخطين فاصلين بين المقدمات والنتيجة

(3) قم برسم جدول الحقيقة للحجة الرمزية كما لو كانت القضايا ومجزأة الى أقسام

(4) حدد في الجدول الصف الذي فيه كل المقدمات صواب والنتيجة خطأ، إن وجد هذا الصف الحجة خاطئة، إن لم يوجد، إذن الحجة صواب.

عارف ان الكلام نظري بعض الشئ، لذلك أفضل طريقة استيعابه هو مثال عملي. تأمل الحجة التالية “

(1) إذا كان قتلة الأحداث مسؤولين عن جرائمهم مثل البالغين ، فإن الإعدام يُعد عقوبة مبررة.

(2) قتلة الأحداث ليسوا مسؤولين عن جرائمهم مثل البالغين.

(3) لذلك فإن الإعدام ليس عقوبة مبررة.”

.. نبدأ بالخطوة الاولى وضع الحجة على صورتها الرمزية .. نرمز للقضية “قتلة الأحداث مسؤولين عن جرائمهم مثل البالغين” بالرمز J .. والقضية ” الإعدام يُعد عقوبة مبررة” بالرمز E و بالتالي تصبح “J ⊃ E ..∼J .. ∼E” .. الآن نقوم برسم جدول الحقيقة للحجة بما أن الحجة تحتوى على قضيتين أو رمزين اذن هناك أربع احتمالات للحجة وبالتالي هناك أربع صفوف في الجدول. الان الرموز ستتكرر في كل قضية من قضايا الحجة الثلاث، ضع تحت كل رمز احتمالات قيم الحقيقة موزعة كما رأينا عند صناعة جدول حقيقة القضية. سنكرر قيم الحقيقة تحت كل رمز (أنظر الشكل المرافق). الان نقوم بحساب قيمة الحقيقة لكل قضية بتطبيق المعاملات داخل كل قضية ثم نضع قيمة الحقيقة تحت المعامل (أنظر الشكل المرافق). لاحظ اننا نقوم بتطبيق المعاملات حتى على القضية في نتيجة الحجة. الان اكتمل جدول الحقيقة، بالنظر الى جدول الحقيقة، سنجد الصف الثالث فيه قيمة الحقيقة للقضية الأولى صواب، وقيمة الحقيقة للقضية الثانية صواب، وقيمة الحقيقة للنتيجة خطأ، إذن الحجة ككل خاطئة. الطريقة سهلة وفعالة للوصول لقيمة الحقيقة للحجة، لكنها طريقة غير صالحة في لتقييم حجج تحتوى على مقدمات غير متناسقة inconsistent premises. تأمل هذه الحجة

“(1) السماء زرقاء

(2) السماء ليست زرقاء

(3) إذن، باريس عاصمة فرنسا”

.. لو تأملت جدول الحقيقة للحجة (أنظر الشكل المرافق). بما أن المقدمتين غير متسقتين لن تجد ولا صف في الجدول فيه قيم الحقيقة متساوية،عندما يكون الاحتمال صواب مقدمة لابد وان يكون خطأ للثانية، وبالتبعية لن يوجد ولا صف حيث المقدمات صحيحة والنتيجة خاطئة، اذن طبقا للقواعد السابقة لابد وأن الحجة صواب، لكن بكل تأكيد الحجة غير سليمة unsound لان بها مقدمة غير صحيحة. مثال آخر “القاهرة هي عاصمة مصر، إذن أما أنها تمطر أو لا تمطر” بعد ترميز الحجة ورسم جدول الحقيقة لها (أنظر الشكل المرافق). نتيجة الحجة دائما صواب اى انها قضية طوطولجية اى صواب منطقيا اى دائما صواب بغض النظر عن المقدمات. وبالتالي لن تجد اى صف في الجدول، المقدمات فيه صواب والنتيجة خطأ اذن الحجة صواب، وايضا الحجة سليمة لان المقدمات صواب. 

قوالب الحُجج Argument Forms

الكثير من حجج منطق القضايا له شكل وهيئة محددة ومُتعارف عليها بين المنطقيين بأسماء محددة، وكما ناقشنا في الحلقات السابقة الصور والهيئات المحددة تساعد في التعرف بسرعة على صلاحية الحجة بمجرد تحديد هيئتها. سأعرض عليك بعض من تلك الصور سواء للحجج الصالحة أو الغير صالحة. قالب أو هيئة الحجة argument form هو ترتيب للجمل والمعاملات في الحجة بطريقة تجعل من الممكن استبدالها باى جمل وتظل النتيجة واحدة. مثلا ترتيب الرموز التالية هو قالب لحجة p . q .. p لو قمنا باستبدال الجملة أحمد مهندس ونرمز لها بالرمز A  محل p والجملة محمد طبيب ونرمز لها بالرمز B محل q  إذن تصبح الحجة “أحمد مهندس، محمد طبيب، إذن أحمد مهندس” أو صورتها الرمزية “A . B .. A”. تصور العلاقة بين قالب الحجة وتمثيلها على أنها العلاقة بين الهيكل العظمي للإنسان، والإنسان نفسه. سأعرض عليك ستة صور من قوالب الحجج الصالحة.

(الأولى) القياس الاستثنائي Modus ponens (MP) وتتركب من مقدمة شرطية اولي، ومقدمة ثانية تؤكد الشرط في المقدمة الشرطية، ونتيجة تؤكد النتيجة في المقدمة الشرطية. صورتها الرمزية p ⊃ q .. p .. q  .. اى تمثيل لهذا القالب هو حُجة صحيحة مثلا “(1) لو يموت 12 مليون طفل سنويا من الجوع، إذن هناك مشكلة في توزيع الطعام في العالم (2) 12 مليون طفل يموت سنويا من الجوع (3) إذن، هناك مشكلة في توزيع الطعام في العالم!” ..هذه حجة قياس استثنائي صالحة لانها تمثل القالب.

(ثانيا) النفي الاستثنائي Modus tollens (MT) .. قالب منطقي صالح يتكون من مقدمة أولى على صورة قضية شرطية، مقدمة ثانية تنفي نتيجة المقدمة الشرطية، نتيجة تنفي صحة الشرط .. صورتها الرمزية كالاتي p ⊃ q .. ∼q .. ∼p .. مثلا “(1) إذا كانت الحكومة تهتم بحرية التعبير إذن لابد أن يتوقف الحبس في قضايا الرأى (2) لم يتوقف الحبس في قضايا الرأى (3) إذن الحكومة لا تهتم بحرية التعبير”.

(ثالثا) القياس المنطقي الافتراضي Pure hypothetical syllogism (HS) قالب يتكون من مقدمتين شرطيتين، ونتيجة شرطية تشكل سلسلة تتابعية إلى النتيجة. صورتها القياسية  ” p ⊃ q .. q ⊃ r .. p ⊃ r” .. مثلا “(1) إذا استمر عدد سكان العالم في النمو ، فستصبح المدن مكتظة. (2) إذا أصبحت المدن مكتظة بالسكان، إذن سينتشر التلوث (3) إذن، إذا أستمر عدد سكان العالم في النمو، سينتشر التلوث”.

(رابعا) القياس الانفصالي Disjunctive syllogism (DS) قالب صالح يتكون من مقدمة أولى جملة انفصالية، ومقدمة ثانية تنفى الشق الأيسر في المقدمة الانفصالية، ونتيجة تؤكد الجزء الأيمن .. صورتها الرمزية “p v q .. ∼p .. q” .. صلاحية تلك الحجة من الممكن التأكد منها بسهولة من خلال جدول حقيقتها، جرب تثبتها بنفسك وترسم جدول حقيقتها.  مثلا “(1) إما دبي أو القاهرة تقع في مصر (2) دبي لا تقع في مصر (2) إذن القاهرة تقع مصر” .. الفكرة البديهية في هذا القالب هو أن إحدى شقي الانفصال صحيح، لأن هذا هو معنى الانفصال، وطالما تم نفي أحد الشقين، إذن لابد أن الثاني صحيح!

(خامسا) معضلة البناء Constructive dilemma (CD) .. قالب منطقي صالح يتكون من مقدمة أولى على صورة اقتران بين جملتين شرطيتين، ومقدمة ثانية على صورة أنفصال تؤكد أحد الشرطين في الجملتين الشرطيتين، ونتيجة منطقية تؤكد صحة أحد النتيجتين في الجملتين الشرطيتين. صورتها الرمزية (1) (p ⊃ q) . (r ⊃ s) .. p v r .. q v s .. اى تمثيل لهذا القالب حجة صالحة مثلا “(1) إذا اخترنا الطاقة النووية، فإننا نزيد من مخاطر وقوع حادث نووي ؛ ولكن إذا اخترنا الطاقة التقليدية، فإننا نضيف إلى تأثير الاحتباس الحراري. (2) يجب أن نختار إما الطاقة النووية أو الطاقة التقليدية. (3) لذلك ، إما أن نزيد من خطر وقوع حادث نووي أو نضيف إلى تأثير الاحتباس الحراري.”

(سادسا) معضلة الهدم Destructive dilemma (DD) أيضا قالب منطقي صالح مشابة لمعضلة البناء، يتكون من مقدمة أولى على صورة جملة اقتران بين جملتين شرطيتين، ومقدمة ثانية انفصالية بين نفي نتيجة الجملتين الشرطيتين، ونتيجة انفصالية بين شرطي الجملتين الشرطيتين. اى ان نتيجة الحجة هي نفي أحد شرطي المقدمة الأولى. صورتها الرمزية .. (p ⊃ q) . (r ⊃ s) .. ∼q v ∼s .. ∼p v ∼r .. اى تمثيل لهذا القالب صالح منطقيا. مثلا “(1) إذا أردنا عكس تأثير الاحتباس الحراري ، فعلينا أن نختار الطاقة النووية. ولكن إذا أردنا تقليل مخاطر وقوع حادث نووي ، فيجب علينا اختيار الطاقة التقليدية. (2) إما أننا لن نختار الطاقة النووية أو لن نختار الطاقة التقليدية. (3) لذلك ، إما أننا لن نعكس تأثير الاحتباس الحراري أو لن نقلل من خطر وقوع حادث نووي.” 

الان سننتقل الى قالبين من الحجج مرتبطين بقالب القياس الاستثنائي وقالب النفي الاستثنائي، وتعرضنا لهم في حلقات سابقة في سلسلة المنطق، هذين الصورتين خاطئتين ويعدا من صور المغالطات المنطقية الرسمية.

الأولى معروفة بمغالطة تأكيد النتيجة Affirming the consequent (AC) ويتكون فيها قالب الحجة من مقدمة اولى على صورة شرطية، ومقدمة ثانية تؤكد نتيجة الشرط في المقدمة الأولى، ونتيجة الحجة تؤكد شرط المقدمة الأولى. قالب الحجة الرمزي كالاتي “p ⊃ q .. q .. p” .. اى حجة على تلك الصورة غير صالحة وخاطئة بالضرورة، مثلا “إذا أغتيل جمال عبد الناصر، إذن لابد وانه ميت. جمال عبد الناصر ميت. إذن جمال عبد الناصر اغتيل”.

ثانيا. مغالطة نفي الشرط Denying the antecedent (DA) وفيها يتكون قالب الحجة من مقدمة أولي على صورة شرطية، ومقدمة ثانية تنفي الشرط، ونتيجة حجة تنفي النتيجة في المقدمة الشرطية! .. الصورة الرمزية كالاتي “p ⊃ q .. ~q .. ~p”. مثلا “إذا أغتيل جمال عبد الناصر، إذن لابد وانه ميت. لم يتم اغتيال جمال عبد الناصر. إذن جمال عبد الناصر ليس ميت”. أرجو أن يكون من الواضح لك الهيكل المغلوط لتلك المغالطات المنطقية الرسمية.

القصة التى بدأنا بها، حوار خيالي مقتبس بتصرف من كتاب مقدمة مختصرة للمنطق للفيلسوف الأمريكي المعاصر باتريك هارلي، الحوار احتوى على احدى عشر حجة منطقية في صورة قياسية. مثلا حينما قالت رضوى “إذا كان الروبوت شخصا، إذن سيصبح عقلانيا، لكن لايوجد روبوت عقلاني، إذن لا يمكن ان يكون شخص” . هذه حجة رسمية تتكون من مقدمتين ونتيجة، المقدمة الأولى شرطية، والثانية تنفي نتيجة الشرط في المقدمة الأولى، والنتيجة تؤكد شرط المقدمة. من الممكن صياغة تلك الحجة على صورتها الرمزية كالاتي سنعبر عن  الروبوت شخصا ب p  والروبوت عقلاني ب q إذن تصبح الصورة الرمزية للحجة “p ⊃ q .. ~q .. ~p”. الان تقوم برسم جدول الحقيقة للحجة، بما أن هناك قضيتين في الحجة، إذن هناك أربع احتمالات للحقيقة، نقوم بوضع احتمالات الصواب والخطأ تحت كلا من p و q. ثم نقوم بحساب الاحتمالات لنفي q واخيرا حساب احتمالات قيمة الحقيقة لنفي p وبما أن معامل النفي في النتيجة هو المُعامل الوحيد، إذن هو المُعامل الرئيسي. الان كي نحدد إن كانت الحجة صالحة، نبحث عن صف في الجدول فيه المقدمات صواب، والنتيجة أيضا صواب، لايوجد اى صف به المقدمتين صواب والنتيجة خطأ، إذن هذة الحجة غير صالحة (أنظر الشكل المرافق). لو دققت النظر قليلا في قالب الحجة ستجد أن تلك النتيجة كان يمكن الوصول لها بسرعة، لان قالب الحجة مطابق لقالب مغالطة نفي الشرط الرسمية، وبالتالي اى حجة تمثل هذا القالب غير صالحة وخاطئة دون الحاجة الى حساب جدول الحقيقة لها! .. الآن حاول التعرف على باقي الحُجج وتعرف على حقيقتها إما من خلال رسم جدول الحقيقة، أو البحث عن قالبها المنطقي. وتذكر، المنطق مثل الرياضيات أفضل وسيلة لإدراكه هي استخدامه!

https://archive.org/download/KalamFalsfa_EP63/EP63_2021_04_20.mp3

ودلوقتي .. تأمل صور منطق القضايا وقواعده … هل منطق القضايا كافي للتعبير عن كافة صورة الحقيقة؟ .. ما العلاقة بين منطق القضايا ومنطق القياس؟ … هل من الممكن ترميز الجمل، والوصول لحقيقتها من خلال أدوات رياضية؟ .. أما ان الواقع أكثر تعقيدا كي يتم اختزاله بصورة منطقية رياضية؟ .. فكر تاني

في الحلقة الجاية .. سنكمل رحلتنا في دروب المنطق الرسمي .. ونتعرف على أحد أهم صوره نتيجة للدور المحورى الذى تلعبه في ثورة المعلومات .. بُنيت على الأسس الرمزية والمنطقية التي وضعت في منطق القضايا … عن قواعد الاستدلال .. قواعد التضمين .. قواعد النفي .. ومنطق الإسناد .. هنتفلسف المرة الجاية.

من دلوقتي للحلقة الجاية .. عيش الحياة بفلسفة! 

الحلقة بدون خلفية موسيقية

زود معلوماتك:

المنطق الأرسطي Aristotelian Logic

https://stanford.io/2QR6TVa

رموز المنطق Logic Symbols

https://bit.ly/3xrabCy

حساب القضايا Propositional calculus 

http://bit.ly/36cONCw

دالة الحقيقة Truth function

https://bit.ly/3xpHciH

جدول الحقيقة Truth table

https://bit.ly/2QD2YyJ

منطق الموجهات Modal logic

https://bit.ly/3gFlJwf

طوطولجيا Tautology

https://bit.ly/3xkOrbw

القياس الاستثنائي Modus ponens 

http://bit.ly/30xaDzn

النفي الاستثنائي Modus tollens

https://bit.ly/3xu15Fp

القياس المنطقي الافتراضي Pure hypothetical syllogism

https://bit.ly/2S1sA8N

القياس الانفصالي Disjunctive syllogism

http://bit.ly/30x9oAd

معضلة البناء Constructive dilemma

https://bit.ly/2QD1HYt

معضلة الهدم Destructive dilemma

https://bit.ly/2QsvzXI

مغالطة تأكيد النتيجة Affirming the consequent

https://bit.ly/2R1jzfw

مغالطة نفي الشرط Denying the antecedent

https://bit.ly/3tV1tdN

 Material implication التضمين المادي

https://bit.ly/3xtLCVC

Material Equivalence التكافؤ المادي 

https://bit.ly/3vnjjX7

Counterfactual conditional  الشرطية المخالفة

https://bit.ly/3voXEOu

Possible world العوالم الممكنة

https://bit.ly/2RXFyV4

Music Credit

===========

Naseer Shamma – Happened at All: Amiriyaa

https://goo.gl/r0ijGP

Tomorrow – http://www.bensound.com

https://bit.ly/3tXkPif

myuu – Fernweh

https://bit.ly/2Gu03D

Dark Piano – Liar

http://bit.ly/2Txs6WS

myuu – Angst

http://bit.ly/2rMp2L0

myuu – Suspicious

http://bit.ly/36uUaNI

myuu – Spook Box

http://bit.ly/2PKWoBV

myuu – Bittersweet

http://bit.ly/36EM1GL

myuu – Carmen Habanera

http://bit.ly/36BwDdY

Kevin MacLeod – Pooka

https://goo.gl/lslojY

للتواصل ومتابعة باقى الحلقات تابعونا على:

https://www.facebook.com/KalamFalsfa

https://kalamfalsfa.wordpress.com

https://plus.google.com/u/0/+KalamFalsfa

https://twitter.com/kalamfalsfa

https://archive.org/details/@kalamfalsfa