Fakultät für Physik - Digitale Hochschulschriften der LMU - Teil 01/05

We study highly excited hydrogen and alkali atoms (’Rydberg states’) under the

influence of a strong microwave field. As the external frequency is comparable to

the highly excited electron’s classical Kepler frequency, the external field induces

a strong coupling of many different quantum mechanical energy levels and finally

leads to the ionization of the outer electron. While periodically driven atomic hydrogen

can be seen as a paradigm of quantum chaotic motion in an open (decaying)

quantum system, the presence of the non-hydrogenic atomic core – which unavoidably

has to be treated quantum mechanically – entails some complications. Indeed,

laboratory experiments show clear differences in the ionization dynamics of microwave

driven hydrogen and non-hydrogenic Rydberg states.

In the first part of this thesis, a machinery is developed that allows for numerical

experiments on alkali and hydrogen atoms under precisely identical laboratory

conditions. Due to the high density of states in the parameter regime typically explored

in laboratory experiments, such simulations are only possible with the most

advanced parallel computing facilities, in combination with an efficient parallel implementation

of the numerical approach.

The second part of the thesis is devoted to the results of the numerical experiment.

We identify and describe significant differences and surprising similarities

in the ionization dynamics of atomic hydrogen as compared to alkali atoms, and

give account of the relevant frequency scales that distinguish hydrogenic from nonhydrogenic

ionization behavior. Our results necessitate a reinterpretation of the

experimental results so far available, and solve the puzzle of a distinct ionization

behavior of periodically driven hydrogen and non-hydrogenic Rydberg atoms – an

unresolved question for about one decade.

Finally, microwave-driven Rydberg states will be considered as prototypes of

open, complex quantum systems that exhibit a complicated temporal decay. However,

we find considerable differences in the decay of such real and experimentally

accessible atomic systems, as opposed to predictions based on the study of quantum

maps or other toy models with mixed regular-chaotic classical counterparts.

In this thesis the properties of D-branes on Calabi–Yau spaces are investigated. Compactifications of

type II string theories on these spaces to which D-branes are added lead to N = 1 supersymmetric

gauge theories on the world-volume of these D-branes.

Both the Calabi–Yau spaces and the D-branes have in general a moduli space. We examine the

dependence of the gauge theory on the choice of the moduli, in particular those of the K¨ahler structure

of the Calabi–Yau manifold. For this purpose we choose two points in this moduli space which are

distinguished by the fact that there exists an explicit description of the spectrum of the D-branes. One

of these points corresponds to a manifold in the large volume limit on which the D-branes are described

by classical geometry of vector bundles. At the other points the size of the manifold is smaller than its

quantum fluctuations such that the classical geometry looses its meaning and has to be replaced by a

conformal field theory. The Witten index in the open string sector is independent of the variation of

these moduli and serves, together with mirror symmetry, as a tool to compare the two descriptions.

We give an extensive and general presentation of these two descriptions for the class of Fermat hypersurfaces

in weighted projective spaces. We explicitly carry out the comparison in many representative

examples. Among them are manifolds admitting elliptic and K3-fibrations and manifolds whose moduli

space can be embedded into the moduli space of another manifold. One main focus is on D4-branes, in

particular on the dimension of their moduli space.

Using the methods developed we are able to further confirm with our results the modified geometric

hypothesis by Douglas. It essentially states that the properties of these D-branes or of these gauge

theories can be determined partly by classical geometry, partly by mirror symmetry. A peculiarity of

these gauge theories is the appearance of lines of marginal stability at which BPS states can decay. We

show the existence of such lines in the framework of this class of Calabi–Yau spaces in two di®erent

ways and discuss the connection to the formation of bound states. Of particular interest is the D0-brane

whose appearance in this framework is explained.

Die vorliegende Arbeit berichtet ueber die ersten atomoptischen Experimente mit Atomlaserstrahlen.

Die Atomlaserstrahlen werden aus Bose-Einstein-Kondensaten, die aus 87Rb-

Atomen bestehen, extrahiert und propagieren ballistisch im Gravitationsfeld. Mit Hilfe

von Hyperfein-Ramanuebergaengen in einem externen inhomogenen Magnetfeld wird ein

Spiegel, ein Strahlteiler und ein Resonator fuer den Atomlaser realisiert. Die Oberflaeche

des Spiegels ist durch eine Resonanzbedingung definiert, die von der Differenz der Frequenzen

der Ramanlaser und der lokalen Magnetfeldstaerke abh¨angt. Die Reflektion findet

an Flaechen konstanten Magnetfeldes statt und somit kann eine extrem glatte Spiegelflaeche

realisiert werden. Die Impulsverbreiterung des Atomlaserstrahls bei der Reflektion betraegt

weniger als 1/30 eines Photonenr¨uckstoßes und die Reflektivitaet des Materiewellenspiegels

liegt bei ¨uber 98%.

Mit dem neuen Materiewellenspiegel wird die zeitliche Kohaerenz von Atomlaserstrahlen

untersucht. Durch die Retroreflektion des Atomlaserstrahls an dem Spiegel erzielt

man eine Ueberlagerung des einlaufenden und des reflektierten Anteils der Welle. Die

Verz¨ogerungszeit zwischen den interferierenden Anteilen haengt von der Entfernung des

Beobachtungsortes zur Spiegeloberflaeche ab. Das resultierende Interferenzmuster dieser

stehenden Materiewelle wird mit einem neuartigen Magnetresonanzverfahren detektiert,

das eine raeumlichen Aufl¨osung von 65 nm ermoeglicht. Der gemessene Kontrast ist ein Maß

fuer die Kohaerenzzeit bzw. die Energiebreite des Atomlaserstrahls. Die Messung zeigt, daß

die Energiebreite des Atomlaserstrahls mit zunehmender zeitlicher Dauer der Auskopplung

abnimmt und Fourier-begrenzt durch die Auskopplungsdauer ist. Außerdem setzt die

Messung eine Untergrenze fuer die Phasendiffusionszeit des Bose-Einstein-Kondensats.

Waehrend des Auskopplungsprozesses des Atomlaserstrahls aus dem Bose-Einstein-

Kondensat streuen die Atome an dem repulsiven Potential des in der Falle verbleibenden

Bose-Einstein-Kondensats. Dieser Streuvorgang wird sowohl theoretisch als auch experimentell

untersucht. Um die resultierenden transversalen Strukturen im Atomlaserstrahl

sichtbar zu machen, wird ein neues Verfahren zur Impulsvergroeßerung eingesetzt: der Materiewellenspiegel

wird in einer Hohlspiegelkonfiguration verwendet, die den Strahl aufweitet

und eine Impulsaufl¨osung von 1/100 eines Photonenr¨ucktoßes ermoeglicht. Damit tritt

die theoretisch erwartete Aufspaltung des Strahls deutlich hervor.

Neben den Eigenschaften der Atomlaserstrahlen wird auch die Kinetik des Wachstumsprozesses

von Bose-Einstein-Kondensaten beim Durchqueren des Phasenuebergangs

untersucht. DasWachstum von Bose-Einstein-Kondensaten besitzt in Bezug auf den Atomlaser

die gleiche Bedeutung wie das Pumpen des Verstaerkungsmediums im optischen Laser.

Fuer eine quantitative Untersuchung wird eine thermische Atomwolke oberhalb der

kritischen Temperatur pr¨apariert und dann kontrolliert in das quantenentartete Regime

gekuehlt. Das Wachstum des Kondensats startet nach dem Beginn des Kuehlens erst mit

Verz¨ogerung, und diese Verz¨ogerungszeit wird erstmals gemessen. Fuer schwaches Kuehlen

durch den Phasenuebergang beobachtet man einen zweistufigenWachstumsprozeß der Kondensatatomzahl,

was moeglicherweise auf Phasenfluktuationen im Entstehungsprozeß hindeutet.

In der Quantenmechanik können freie Elementarteilchen durch irreduzible Darstellungen der Poincare-Algebra beschrieben werden. Im Rahmen der Darstellungtheorie der q-deformierten Poincaré-Algebra untersucht diese Arbeit den Spin von Teilchen auf einer nichtkommutativen Geometrie.

Zunaechst wird eine Uebersicht ueber die Konstruktion der q-Lorentz-Algebra gegeben. Ausgehend von q-Spinoren, wird die q-Lorentz-Gruppe und die zu ihr duale q-Lorentz-Algebra konstruiert. Dabei soll gezeigt werden, dass die q-Lorentz-Algebra weitgehend durch mathematische Konsistenzbedingungen festgelegt ist.

Anschliessend wird die Struktur der q-Lorentz-Algebra untersucht. Ihre Darstellungstheorie einschliesslich expliziter Formeln fuer die q-Clebsch-Gordan-Koeffzienten wird zusammengefasst. Nach einer allgemeinen Betrachtung von Tensor-Operatoren in Hopf-Algebren werden die Vektorgeneratoren der Quantenalgebra der Drehungen berechnet. Zwei weitere Formen der q-Lorentz-Algebra, die vektorielle oder RS-Form (Wess) und die Quantendoppel-Form (Woronowicz), werden vorgestellt. Ein Isomorphismus zwischen beiden Formen wird gefunden.

Die Darstellungstheorie der q-Lorentz-Algebra wird verwendet, um die Algebra des q-Minkowski-Raumes zu konstruieren. Vertauschungsregeln zwischen den Erzeugern der q-Minkowski-Algebra und den verschiedenen Formen der q-Lorentz-Algebra werden angegeben. Die Struktur der von Rotationen und Translationen erzeugten q-Euklidischen Algebra wird eingehend untersucht und dadurch ihr Zentrum bestimmt. Daraus können zunaechst die nullte Komponente und schliesslich alle Komponenten des q-Pauli-Lubanski-Vektor bestimmt werden. Mit dem q-Pauli-Lubanski-Vektor können die Algebren der Spin-Symmetrie, die kleinen Algebren, berechnet werden, sowohl fuer den massiven als auch den masselosen Fall.

Irreduzible Spin-Darstellungen der q-Poincaré-Algebra werden konstruiert. Zunaechst werden Darstellungen in einer physikalisch interpretierbaren Drehimpuls-Basis berechnet. Die Berechnungen werden dabei durch die Verwendung des q-Wigner-Eckart-Theorems stark vereinfacht. Anschliessend wird gezeigt, wie Darstellungen durch die Methode der Induktion gewonnen werden können. Ausgehend von einer darstellungstheoretischen Interpretation von Wellengleichungen werden schlielich freie q-relativistische Wellengleichungen bestimmt. Dazu werden zunächst allgemeine Betrachtungen zu q-Lorentz-Spinoren, konjugierten Spinoren und dem Verhaeltnis von q-Impulsen und q-Ableitungen auf den Spinor-Darstellungen angestellt. Als Beispiele werden die q-Dirac-Gleichung, die q-Weyl-Gleichungen und die q-Maxwell-Gleichungen eindeutig bestimmt.