瑋哥聊高微

例題 2 與例題 3 介紹了兩個有理數集的切割；這兩個切割在大空間是有理數集的情況下，「最小上界」一個存在另一個不存在。這個錄音檔是給予證明。下一個錄音檔就要開始說明這件事情和實數之間的關聯。

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這個錄音檔先證明的是，若集合 E 包含於有序集 S 的最小上界存在，則唯一。特別注意的是
：這個定理是接受最小上界存在，才證唯一性。至於一個集合的最小上界存在與否，這個定理並沒有說明，我們要用別的方法證明。

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認識實數的完備性，第一步是先定義「切割」；第二步是定義集合 E 在有序集 S 的「最小上界」。到時候要用這個概念區分例題 2 與例題 3 切割的最大差異，進而了解實數的意義。

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例題 3 再用一個例子示範何謂有理數集的切割。這個例子除了要細細體會怎麼去造 r" 以完成切割的第三個條件外，到時候我們要花時間比較例題 2 與例題 3 的切割之最大差異，這就會關係到實數的意義。

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從戴德金切割原理認識實數的完備性，第一步是引進有理數集「切割」(cut) 的意思。這個錄音檔會解釋切割的定義，並用一個例題說說何謂有理數的切割。

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在進入戴德金切割原理以建立實數系之前，先問問自己對於實數的認識有多少，不一會兒就會發現自己對於實數一知半解，其實這是台灣數學教育的問題，但似乎短時間內無法徹底解決。

但我們就繼續向前看，重新體會有理數和實數的異同。下一個錄音檔就要開始介紹戴德金切割法。

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實數系的建構是從有理數系而來，單元 1.1 將介紹有理數的基本性質，包括「體」(field) 與「全序關係」(totally ordered relation)。在這門課中，這些條文各位應覺得自然而直接使用。而這些內容是為了下一節建構實數的完備性而做準備。

第一章講義連結: https://bit.ly/339ejZy

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該錄音檔是對第一章的簡介，在學習高等微積分(數學分析)之前必須先了解實數系是什麼。

第一章講義連結: https://bit.ly/339ejZy

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結語，讓我們從結語當作開始，聊開話題，聊聊高等微積分。

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這個小節是分享關於高年級修課同學的心得。

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