Mutiples and Least Common Mutiple倍数和最小公倍数
在讲倍数和最小公倍数的时候，我还是要先说一下因数和倍数是不分家的，如果你不懂因素也不会懂倍数，你懂了倍数也自然要知道因素。因为几个整数相乘能够组成得出一个数，数就是它们的倍数。那有了倍数以后，只要相乘能得出它的这些整数都是它的因数。
再说一个，再往前说就是倍数和因数概念都是和整数相关的，整数又是什么？在小学学真正学整数概念之前，我们就是知道它没有小数点没有分，分母是一，说白了不是说他没有分，它的分母是一，那这样的数？就是整数了，其实这样说的话是从形象上看，我看着你是整数，它不是一个从数学语言上说怎么样，它是整数。
用数学语言来说，一直到我们学了除法以后，我们才能够说什么叫整除？除法，我们在除的时候是从左边的位一直往右边去除，对吧？每次除完以后要把余数和后面一位加起来，再再和除数相除。除完以后一直除到个位的时候，如果它的余数为0的时候，那也就是说没有余数，没有余数就是整除了。那如果还有余数？那我们会再再把小数点后面的那个十分位再加上继续出，那你再出的时候也就意味着它小数点后面是有得数的。
有也有数位了，有数位它不就成小数了，那它就不是整数，所以在我们学学数学的时候先认识了数种，认识数种的时候，当然有些数种是要通过学习加减乘除的除法的时候才能够真正的定义，我们是说非得按照顺序去学嘛，等学了除法再说整数其实不是我们先把不需要定义整数的时候，先把整数的性质先学了是没有问题的，整数就是在英语里，我们先要懂得整数，像我们说现在说的因素和倍数，都说的是整数之间的事情，不能涉及到分数，小数它就没有意义了。
再说因素的时候，一定要理解到什么是就是质数，你可以说核数你不是特别了解没关系，你必须得知道质数，因为如果你知道质数以后，不是质数，它绝对它就是合数，你把它每一个200以内的每一个数都会因式分解，也就是说你会分解它，你就会了很多的除法，你算除法绝对是可以算对的。再一个一定要对每一个质数非常熟悉，特别是十一以内的质数，熟悉以后，你要把他们的皮尔布拉他们家的纯血统的人都认识到，比如说二对吧？你要一直认识到至少认识到128，这样的话你对二他们家就很熟，我跟你说一遍，比如24、86 32 64对吧？128这样都是一直乘以二下去的，也就是说我说的这些数，你把它因式分解以后，它里面只有二，没有别的。
三的话你其实记到27就差不多了，一般来说也就是用到27，才三次，很简单。33×39对吧？3再×9是27，也就是39和27。
这三个数都是三，他们家的皮儿不烂，下一个志书是5对吧？当然我在说的时候，你最好找一张纸单独把它写下来，每天没事看一下。熟悉质数和质数它的皮尔布拉是你学数学先要记得一个很重要的一个一个部分，你把三他们家几何再记一下，55然后是25，然后125，记到125，基本上你小学是够用。然后下一个只数是几？是7对吧？7你只需要记一个7，再记一个49可以了。
基本就用这么多，那你记的时候相当于其实和你背乘法口诀没什么区别，只不过你这样背的更实用一些。记完期以后你可以再记一个，下一个是1111×11是121，机会了以后基本上就够用了，剩下的13呀什么的，再往后它基本也就是在你因式分解的时候能分解出一个13来，你知道它是质数就可以了。那到此为止你会发现其实你要找到质数，也就是他们的是非常简单非常好，记的最多的就是二，那你记忆三天肯定是记住了。
记住以后，再开始找他的2和3的。然后？2和5的对吧？3和5的，这样你都找到，还有235一起的对吧？你把235说白了你弄熟了，那基本上就可以了大部分的数，然后你再把81以内先因式分解，弄得非常快，而且没有没有卡壳非常快，没有错误，这样的话你小学足够了。然后如果你时间还有赋予你80以内已经非常纯熟了，你可以弄到200以内。
那这样的话基本上你遇见题的话对吧？你遇见整数和分数的约分的时候，基本上是没有阻碍的，就是说别人找到一个最大公约数，它需要很久你能看见就已经知道，为什么？你也我也不知道，因为你你就是对他熟对吧？东西就是要熟，所以说这是第一个要背的，还有很多需要背的，比如你背会以后很多题你就不用再算了。比如说1/2它是0.5对吧？它也是50%，它还是5折，那这些东西你要是背会了以后你就不需要再算了了但是其实你要不被你算，你说也是每次算也很麻烦，你比如说1/4是0.25，3/4是0.75这些东西，你就不要再去算了，每次算的话是很耗时间的，其实它考的几率是特别高的，你背会了只需要很短的时间，说白了你每天读一遍，写在一张纸上就可以了，这就是一个事情。
我们现在说倍数某体某体投资对吧？
某体投资其实已经讲过了，不用再重新再使劲的阐述，其实在讲因素的时候就说了倍数，因数和倍数都是在银泰的范畴内去说，就是整数范畴内去说，对吧？然后说的时候基本上我们都一直在说正整数，说整数范畴内，因素互相去乘，成就是几个几？两个3三个2都可以，它有一个可以交换的过程，对吧？个个。这都是乘法乘的过程中新组成的那个数就是它的倍，他们俩的倍数。
如果你三个数相乘，先组成的那个数就是他们三个的倍数，只有他们三个能成出数吗？不一定，还有其他的数也可以盛出来。有可能那只要有那这这些数的倍数就是它那倍数就是里面这些成熟他的这些数的一那个倍数，那些小的是乘出来的数的因数，它们是相辅相成的，有了因数就必然会有了倍数，有了倍数就必然会有了因数。
所以说因素我们花了很长时间去讲，倍数就学完因数以后倍数就很快，说因数的时候说了公因数，对吧？然后有了最小最大公因数，倍数也一样，有了倍数会有公倍数，而且会有了最小公倍数，而且说罪的时候不是说非得限制在两个数之间，它可以是多个，但如果我说互为什么？互为相反数，互为倒数对吧？互为质数的时候，那它指的就是两个了。
所以说我们再重新推一下概念的演化的过程，先有了谁后有了谁，其实先有了除法，有了除法以后有了整除概念，有了整数的概念，有了整数的概念整数之间进行相乘，得出了其他的数，那我说的得出的数就是倍数，那相乘的这些数就成为了因数。
有了因素以后，我们会发现我们把倍数进行拆解以后，就是所谓的因式分解，有的数只能拆成一和他自己有的时候还可以继续拆，而且里面会有不同的有密斯布拉德，有皮尔布拉德对吧？拆出来的数，如果他只能拆成一和他自己的时候，那他就是质数合数的概念就出来了。
下一个有了质数的概念以后，就出了核数核数其实不重要，因为荷数太多了，质数是有限的。你有了质数概念以后，这又出了互为质数，互为质数是什么？就是说两个数之间它的公因数如果只有一，那它就互为指数，如果除了一，还有也就意味着它可以在分数的分子分母上的时候，它可以进行约分。说白了互为质数，是用在了最简分数上，因素主要用在了约分上。
再接下来就是说有了公因数的概念，对吧？有了最大公因数的概念，因为你约分你用最大公因数一下就约完了。紧接着下来，他们组成的倍数又可以做什么？对吧？
共同组成的备注其实做的事情也是很多的，那最主要最初是用来一个分数，加减法中如果分母不一样的时候，我们要进行一个通分，使用的分数的什么性质？分数的分子分母同时乘以或者除以同一个数的时候，分数的大小是不变的，通分的时候肯定是要给分数的，分子和分母同时乘以一个数，对吧？把他们都变成。两个分数不一样，分母的分数变成相同分母，而且这两个分数并没有变化大小，那这样的时候你就可以进行分数的加减了。
所以说然后最倍数求出用倍数，概念的时候是为了知道什么叫公倍数，知道公倍数又是为了知道最小公倍数，那你说。你再算一个分数加减法的时候，对吧？你没找到最小公倍数，你用了一个比他大的公倍数可不可以？其实是可以的，只不过你运算量要大一些，所以都不是最严格的。所以就是倍数公倍数它的产生的一个过程，产生以后怎么用？就是用用于同分主要是用于同分，除了同分以外，当然也有很多的题都可以提醒，都可以去使用公倍数，也有使用公因数的都有。
那我们来看一下英文的讲解的比如说倍数是，你比如说乘法是对吧？你要是一个整个说成把运算就是毛主席开始审对吧？它都是用了同一个词的猫体对吧？倍数也好，乘法也好，乘法运算也好，它指的都是几个几的问题，对吧？几个几还可以？调换座位，比如说两个3也可以，三个2他是调过来也是可以的。
。就是倍数。公倍数就是卡门马蒂普，如果说最小的公倍数就是NIST come，what？是最小是最大的，这是咱们正常说的。
我们来看一下 moto用英文怎么来说？就是VR毛坯拉一个蓝本。Bye A number。The一个是治理能力很强。List of person。这块要注意一下，就是说我们在说因数和倍数的时候说的是整数，但是我们一般说的是正整数，而且基本上没有去说领。因为凌对于乘法毛体来说是很危险的，他一来所有的人就都变零了。这是。所以说0是一定要小心的在惩罚你，所以任何一个数他都说倍数的时候不要去乘以0，乘以0以后不管它是几，它就变成0了。
所以说当我们把那个一个整数和另外一个整数相乘，但是这两个都不能有0，但得出了数就是那说白了另外那两个数就是什么？就是法则就是因素。所有的数都有无数个毛体跑它不像因素是有限的，你再多你也能分解到是有限的因素，锚头你乘以你给我一个2，我可以乘以1×2×3，可以一直乘到无限大，所以它的它的倍数是无限的。
。但是既然是无限，它可以无限大，但是它有最小的公倍数，两个数或者多个数之间它们有一样的倍数，一样的倍数你比较的话它总有一个最小的，是唯一的，所以最小公倍数的概念也就出现了。我们现在复习一下的概念，说我知道的，没错。说4的倍数有哪些？倍数好找。你先从一开始会数数就继续往上乘就可以了，这都是它的倍数。4×4×24×3算就可以了。
所以说4的倍数有四自己，对吧？80 26都可以，他自己也是一定要注意乘以一也是自己也是自己的倍数。Any more more people stay for two of man？Come what poss，这是come people公倍数的一个概念。我再说一遍，这么多年以后的话，这些东西都是一样的。
有了公倍数以后，我们就可以说公倍数是图网猫，就是两个或者更多的数，他们有都有倍数，倍数里面有一样的的时候，那这些一样的数就是它们的公倍数，这些公倍数你可以去对比大小，找到那个最小的就是最小公倍数。
比如说我们说一下莫迪普、卡门莫迪普我这儿的了了我们把2和5的倍数找一下，比如说二的倍数，的某一个部分就是说阿尔及国际机场等等，某个地方的话，就是说我们我们找一下它们的公倍数有哪些？比如说不用记录这些东西，这样的发展还有很大的变化。看安团体就是说他们都有10和20再往上还有3040对吧？这些都是他们共同的一个备述，这些共同的倍数可以说是以非立体的也是无限多，对吧？
可以一直往上乘，但是最小的却只有一个，所以我们看一下2和5，我的意思是的。的报纸的斯莫里斯的摩托车是天然的。We call this的NIST come to ol C M of to F F就是说10就是2和5的最小公倍数。最小公倍数用英文来说是用了他每一个单词的首字母就是最小公倍数。
那我们再看一个例子，比如说你要找9和11的最小公倍数，就发LCM to O man sir NIST吗？Tips add是什么意思？就是说我们现在有一个很大的变化就是说你要是找最小公倍数一个最基础的一个方法，对吧？比如说当然有其他的方法，到时候我会慢慢的介绍，在串讲里面我再慢慢的介绍那第一步你要是想学新的方法，你必须得按我说的把先熟悉，把因式分解熟悉一下，否则你只能按照这种土办法，土办法就是什么？就是找呗，你要找9和11的最小公倍数嘛，你先把9的公倍数找着，11的倍数找着，对吧？
然后看哪些一样找着那个最小的就这么一个顺序对吧？那比如说我们来看一下，我们找酒和翻译成找9和11的最小公倍数。那我们一个一个找吧。的的倍数耐要记住每一个数他自己也是他自己的倍数。一定要不要忘了，那9的倍数有9，先别忘了，别从18开始。
说白了也容易记，你先乘以1嘛然后你再乘以2，你别先乘以2，那就是锚地poss nice night，kiss the left for us。的6/3等等。很多。当然了，因为他找11和9，说白了是11×9是他们的最小公倍数，所以他前面都是白找。。一直得至少找到99，你才能够找到最小公倍数。在找11 11，你要从从乘以一开始找，那你也得找很久，你得成9次才能找到99对吧？
就说马蒂普萨皮莱文阿姨来文团体to the sea for for sc X11 22 33 44 77 88 99你找到99以后，你会发现他们俩都有99，我说了这是一个土办法土办法，更好的办法，我慢慢的再告诉你，但是我说了你必须先把因式分解和方法引进质数和制住她们家相乘，得出谁谁而不辣。然后一个是不是要去熟悉一下，熟悉完以后才能用更高级的办法。但是说了找9个10一的时候，你干嘛非从一开始找，其实你可以差不多从大一些开始找。
所以说我们先看一下用图办法找出来，用英文怎么去回答？说的投入夫妻之间的关系是什么样的？关系。Of man文哈尔滨com。99是第一个9和11的倍数公倍数，所以说它就是最小公倍数的了了了。。所以说有的时候你不是要非得从一开始成，如果我让你找9的倍数，那你从一开始成没错，对吧？但是你要找公倍数，你要看看情况，不要非得从一开始两个质数的倍数，是很容易说两个字是复制的书，它们已经互质了，那它们的公倍数就是它们俩相乘，很简单。
像9个11你就不要1个1个找，你先乘一下，对吧？或者你随便两个数，你把他俩先乘大概你也知道，不要不要讲从一开始找对吧？那所以说有的时候some time this is it to SB格兰本从大一些的数开始找，找倍数嘛，应该是按照规则来做的。Of my first best player one I Q self。维持到1/10左右的一个位置。你可以从那个数大的那个开始找他，也是一种办法，所以说找倍数要灵活一些，不要从最小的开始。
然后有没有其他的方式？有，我们要先从熟悉数字开始。下面来说再举一个例子，例子就是说在现实生活中背书的一个使用，倍数的使用和因数的使用，在现实生活中例子记住例子是非常有用的，因为你在遇到题的时候经常就是遇到这样的题。你比如说因素，我们再回忆一下，其实我们说的一个题是什么？是一个电影或者是举行一个活动对吧？
有几排几座，对吧？其中几排几座事儿还要注意。他比如说他是那个是30个人，我记得，一排就是一排那一排坐30个人和一排坐一个坐30排，这是两种做法。对吧？唉所以说如果你仅仅是找因数，你找到1×30和30×1，其实你找到的因数是一样的，你会忽略，但是如果是在实际应用的时候，排数对吧？就是30排，30排，每排有一个座位和一排有30个座位不一样，是两个方案。所以一定要注意，这是因素的时候我们的一个实际问题，这种实际问题我们说一个就会记一个，到时候告诉你，那你一说你熟了一遍记不住，说10遍，20遍100遍，你一见东西你就知道这跟因素有关，对吧？
说倍数跟倍数有关的，比如说什么？我给你说一道题，说so see some to print E A D A谋杀txt，绿色三尺就是我们企业有限公司的业务，一个就是我们现在的，一个就是说温馨是一个很好的机会，大家休息，早点回去吧。说苏西和卢萨这两个人他们都一起就是签签约也好呀，就是去这一个地方去去工作，至于他说的这么说的什么你都不用去管，因为你做的是数学题对吧？
你又不是那个翻译，你就我说的翻译不是说我把英文翻译给你成中文，而是你看中文题的时候你也用不着翻译，你只是知道他们一起在做一个事情，苏醒6天去一次，卢萨5天去一次，他今天已经一起去了，那他下一次一起去又在什么时候？对吧？他说他6天去一次，他比如说他去了三次是多少天？这是。
很明显的一个乘法，对吧？你首先要知道这是跟乘法相关的，乘法相关就是几个几？对吧？一天6天去一次去三次，那就是3×6，去4次就是4×6，对吧？5天去一次去3次就3×5，去6次就6×5，这是乘法，对吧？他们这一天同时去了，但是他们的频繁程度不一样，一个人6天才再来，一个人5天才再来，他们就这样来。。就这样开始。按他们的频率来来对吧？什么时候他们再能遇见？这是一个非常经典的锚的题，也就是倍数的题。
问倍数其实它有无数次可以碰见，他说最近的一次，最近其实就是最小公倍数，所以说这道题其实就是在说5和6的最小公倍数是几？其实就是AC C M S印发一定的LCMFX只要你看到这里，我们这道题其实就解开了5和6的倍数，那慢慢找就可以，不会找我们可以未来有新的办法，对吧？
如果你认识的话，5和6它是一个相挨着个数，这两个数是互质的，互质你1×30我可以求出来对吧？你要不知道你就慢慢找呗，我的倍数6的倍数找到30，30也不大，很快就找到，对吧？所以说苏C位up follow in death我先找素C6的倍数，有CX txt传递forced对吧？我在找对吧？乏的我找到了以后我就知道的这么一个事情的是你随便找一个数把它的倍数找到，找到以后看哪个可以背另外一个说整出。
那那个数就是最小的公倍数，你找到了第一个那个就是最小的公倍数。我再说一遍，他找5和6的公倍数，一个笨办法就是你先找6的或者先找5的，比如说我先找到6的，找到6的所有的倍数，找着找着你看见找到一个数，你一个一个找对吧？你找到了一个数以后，突然发现它能够被5整除，那数必然就是它的最小公倍数了，找到了最小公倍数，这道题也就解开了是30，所以说 east也找到了30，我们今天可能因数倍数只是说这么两下的，你听一遍，你可能就像听天书一样，你听两遍你可能好像唉有的词有点熟，对吧？
我建议你多听使劲听，我也没专门给你放慢速度，因为你要是听熟了以后，你还得放快的速度听的。你知道咱们是可以喜马拉雅你是可以调快速度的，你可以调到最多两倍速度对吧？如果两倍速度你都跟得上，也就是说你的熟练程度了，是到了对吧？下接下来你还还没结束，不是说你两倍你听懂了你就学会了，听懂了。是你会了吗？是你还没是我会了对吧？你要是想用上，你得自己能说出来，什么时候你能用两倍的速度把你从你嘴里说出来，那就是你会的对吧？
那我再回到正题上说一下，我们说了一下因数和倍数常见的文字题，对吧。在讲英语数学的时候和讲知识点的时候，我重点不是并不是去讲题，所以但是在过程中，只要涉及到什么题，它必然是非常基础的，那个基础的东西你必须得熟，而且基本上像背诗一样背会。你学语文的背诗，你学数学你的背题吗对吧？因素的时候，经常会涉及到什么？就是唉有这么多的座位，对吧？
有这么多的人，我怎么排做为几百几几排几列，他是一个乘法，对吧？唉说白了你求面积不也是得用用那个正方形面积用邻边相乘吗？对吧？唉正方形的时候一样也出过这种题，你只要会了座位的问题，几排几列？等你到了正正方形长方形的时候是一模一样的，你也会正方形长方形这种最大公因数的题不就是贴砖吗？
贴砖头我一个屋子就这么大，我能放几个砖头，现在是我一共这么多人对吧？我我能排几排排几列，有哪几种办法对吧？这就是因数和最大公因数常用的一种题型，你现在听着好像唉记不住，你多听几遍，你就记住了。再说倍数，倍数它常出的题就是类似这种，它的频繁程度是6天，它的频繁程度是5天，他们今天碰在一起了那就是一个起点，最最早在什么时候又碰在一起，对吧？这种题太多了，不是说非得去一个像这里是艾尼莫小特对吧？
说说的是苏西和卢萨，我明天改成张三和李四对吧？我去做别的对吧？我说现在说的时间我后面改成跑步对吧？变成路程问题，他也一样是这样的，也是求的是最小公倍数，最小公倍数还更容易被发现一些，因为他总是会说最快什么时间，对吧？最少几圈对吧？最早什么时间会再次一起工作？会碰上之类的，这样的话他说最早最快那不就是最小的嘛，最小的就是最小公倍数。这就是今天的课程，主要是复习了一下前面的因数整数，然后才说的倍数，因为他们是一讲对吧？你你光会个倍数，你不会整数，白打所以一起要会。

最小公倍数 

小学初中网络课程 

中英文双语学校课程 

中小学考试考点