数学最大公因数 

数学公因数 

数学因数 

Factors and Greatest Common Factor 因数和最大公因数
因为因数和最大公因数呢其实特别的重要，不管我们学乘法也好，学除法也好，这个因数和倍数的概念呢在整个贯穿我们一个学这个乘法除法也好呢，学未来的一些运算也好呢是非常重要的。
首先我们上一讲主要讲了一个因数，它可以它主要是因数和倍数呢主要是在entire范畴内去讲的，就是整数。另外呢这个因数里面有prime，就像变形金刚里的那个晴天柱一样，它是产生其他数字的一个最初的一种数字，这种数字叫做prime。用中文来说就是质数。
那么这是我们规定了0和1都不能算质数或者和数，第一个质数，质数呢是从二开始的。
那么二呢是最小的质数，也是唯一的偶数质数。嗯然后呢在网上所有的质数都会是奇数，但是不代表说是技数肯定是质数。那我们再另外去说，另外呢我们说了这时候会碰出所有的数字所有的in tiger，那么所有的in tiger呢加一个符号都会组成了一个复数，对吧？
那有了所有的整数以后呢，正整数负整数0以后呢，我们只要加一个分数线，对吧？我们在分数线里面呢本来整数它的分数下面是有一的是invisible的，是他是它是隐藏起来的。不用不用写的，说白了你写的也可以。你比如说有一个2对吧？你写个2/1可不可以？可以，你写1/1×2可不可以？也可以，你写一个1/1×2再乘以一个a的0次方，2的0次方都可以，他们都是invisible的对吧？然后呢我说包括小数点什么都是invisible的，包括小数点后面的0也是隐藏起来的，只有当你用的时候才会去用。
对吧？那么我们说了，你当你推出所有的整数以后，只要你把这个分数线下面不是一你改成其他的integer，那么也就是出来的分数，那么这个分数只要你相除，有的除开了，那它还是整数，除不开的呢？你就可以小学的时候三年级之前都是得出一个整数有余数，我们说对吧？那么如果学了小数以后呢，你可以点上小数点继续去除，继续除的时候你就会用到小数点后面的0了，那你再往下除的时候，说白了你的得数是一个小数，也就是说分数它包含了整数和小数，也就是说你通过 prime得到了所有的integrity，你通过质数得到了所有的整数，通过整数把分母下面不是一又变成其他的整数，得到了更多的数种，也就是分数和小数。
当然你不能得到的那就是无理数。那么也就是说你用双眼皮得出了所有的有理数，您prime得到了所有的 rational number，所有的rational number都是一个ratio，因为rational rational的词根就是ratio。所以说你用prime得到了所有的rachel，得到了所有的rational number，然后得到了以后，这个概念你清楚了，那你怎么去用呢？对吧？
进这一节主要就讲怎么去用。当然了我们在小学初中在学因数的时候，其实主要是学什么呢？怎么去用因数去约分对吧？然后怎么通过因数去理解最小公倍数，再去给分数去通分对吧？这些概念我们慢慢的会去讲，你现在听的时候你只要听到它了，你知道有这么回事就很重要。那么我今天讲的主要你怎么去用呢？你去学习乘法，很多人学习乘法的时候，先是去背乘法的口诀，对吧？那么背乘法的口诀你会发现背完以后呢你学乘法算除法，算这个一个数的时候，小学也好，初中也好，你还是单独去乘单独去除，包括分数，你也要单独去除变成小数，小数变成百分数等等。
那么如果你知道了一个factor的概念，你知道了因数，那么你把所有的200以内的所有的数全部找到他们所有的factor。你说。那不是太多了嘛，其实不多。你第一不光要找，而且要把他们分家，我上一章说了，上一节说了讲factor，这是我第二节讲fact。你我第一节说了factor里面有price，对吧？你把prime的pure blood找到你把这个质数的纯血统的，你比如说二是最小的指数对吧？
你把由二碰出来的所有的指数纯血统的找到，24 86 32对吧？你把他们家的人全部找到，一直找到很大。找到64就差不多，然后你再把三的找到，39 27对吧？你把他们都找到，你再把武的找到，40二他们家，对吧？你把我的找到，你再把这个7的找到，中间有个66是谁家？它不是一个pure blood，six呢6呢是一个 mix，block它是2×3，它就是2，他们家的也是3他们家的。那么你把这个先总结出来，这就是我留的第一次的家庭作业。
那么这个家庭作业我一般来说都不会留，除非他非常重要，你在总结一个数的时候，你要把这个学完factor，学完因数以后，你先不要着急往后学，你先像你学加法，你要背加法口诀，对吧？2+3=5，对吧？3+5=8，背法慢慢我再交给你。那么你现在先要把factor找到，你要找把它们分成家，分成不同的纸分出来。二他们家对吧？三他们家的5他们家的这些prime的，他们家的pure blood，你要找到每一个质数，他自己的纯血统的人要找到，找完以后你再去找他的mix blood，比如说2和3的 mix blood。
那么二有两次，4 cosine that makes blood。。8和3的mixed blood你找到对吧？你找到他们以后，也就是说你很清楚的可以找到200以内的所有的数的他们哪些是pure blood，哪些是mix，mix是跟谁mix的？对吧？跟哪些prime minister然后呢这个prime自己又有多少次，比如说有多少个2，多少个11，多少个7？对吧？你弄清楚以后呢，你把它们分完家以后每天去看一遍，每天去看一遍，看完以后呢，你再把它们能够进行因式分解，比如我给你一个81，你要把它因式分解，1×81对吧？
九九八十一三×二十七八11，你要把它们全部能够按照顺序进行因式分解，分解完以后呢，第一有分家谁是谁家的，它是pure的呢还是mixed？再一个呢他怎么去进行因式分解，那么在这一块不光是解说完以后呢，我会给你一个已经分解清楚的一个东西让你去看，当然了你必须得自行的去进行一个总结和发现，发现完以后你再去用我给你这个东西去核对，看你做的对不对？对吧？那么这些完了以后呢说白了你在数学答题的时候，你再碰到一个任何一个乘法除法，你看这些数你会发现都非常眼熟。
眼熟完以后呢，你比如说小学你学一个除法，你看完以后可能你不需要算，你基本知道答案也非常清晰。再一个呢你学完约分以后呢，你看到一个数你想约分，你看到上面下面一个数，你基本你最大的那个公因数你就找到了，找不着。你两下也找找出其他的了。所以说呢你只要把200以内的我说的按照我说的找到prime，找到他们pure blood mixed blood，然后把所有的这个数的因数都反复的找过，那么你整个小从小学到初中，所有的这些整数范围内的东西呢就到手了。
那么分数和小数范围内的东西呢，除了这些以后可以下一步的进行去数和背诵后面我再说。所以今天的factor和greatest common factor这一课呢我们主要先说了上面的一个家庭作业。根据从上面说的，我们再举一个例子，你比如说你要找这个what are the factors of10？你说你找一下10的这个factor对吧？其实你要找因数对吧？这是一个除了我上面说的找pure blood mixed blood把它们分家找清楚以后，找因数呢是一个非常重要的一个工作，你每天找这个因数比你背乘法口诀要好，因为你背完乘法口诀你还是不会找因数，如果你会找因数了，你绝对是会背了乘法口诀。
那么你把200以内都背会，在200之前你可以先把80亿的背回，这个东西每天去做就可以了。那么这个找实的factor，最先你先啥也不用说，先把1×10找出来，那剩剩下就从23从这个prime开始去找，对吧？你2×5就有，那么再往上就没了，对吧？再再往上就变5×22×5和5×2其实是一个乘法交换律，它们涉及到的factor是一样的，所以呢这个10的因数就是1二五十，对吧？所以说呢你think先想what can be multiplied together to give me time。
对吧？The factor of 10 are one to five and10。所以说even though five multiply two also equals10，5×2也=12×5也=10。These numbers have already been listed，2和55和2这个这俩数呢已经被列入到factor了，你就不用再重新列了。factor不需要重复的去列。So we don't need to list them again。
我们再举一个例子，这个因数的其他的应用，那么其他的应用我说了在中国教学体系里面对因数倍数的应运用的太多了，那个题型也很多，那么我们今天用英语只是讲一个便于你从不同的语言方面去理解因数和倍数。Example。
Envelope needs to arrange chairs for a drama club meeting at his school，there are 30 students coming。What are the different ways we can arrange？The chairs？So so that each row has the same number of chairs。
说这个艾贝勒这个同学呢对吧？需要给他们一个活动，在读题的时候，你不要说把drama club meeting at his school什么意思，你不懂你就不算这个题了，你在算中文的时候，你在看到一系列不懂的字，你不要先去纠结什么意思，你就知道他要给他的班里呢一个活动去安排座位，对吧？然后呢there are 30 students coming，一共有30个学生，对吧？这是学生的总数。What are the different ways he can arrange the chairs so so that each rose rose就是排对吧？
Has the same number of chairs，每一排都要是一样数量的，对吧？说白了你这横排和竖排相乘将会得30，这是一个乘法的一个基本的一个概念。那么乘法的概念可能说唉我现在上小学一年级没学过，没关系，你先不用去理解乘法的概念，乘法说白了，我说前面我都用游戏来形容就是说二和三碰，其实它代表什么呢？两个3或者三个2，只要你说几个几，那它就是乘法。那么你理解到一个横排竖排的时候呢，对吧？横排有每一排有3个，一共有5排，那就是3×3个5或者5个3，对吧？
这就是乘法。这个东西一次可能很难理解。你比如说一个很聪明的孩子对吧？他上三年级了，他就能理解，但是你让一个一年级的人他可能很难理解第一次，但是你可以通过多次的去说3个5个3，你甚至你不用去想什么意思，你就明摆着让他背下来3个5个3都是3×5或者5×3的意思就可以顺便告诉他，3×5和5×3是一样的就可以了。那么我们说了这个横排竖排这种问题，把椅子这是很明显的几个几几个几就是很明显的一个乘法，对吧？
那么一共有30，只要你得这个30就可以，也就是说说白了它是让你找到得30的所有的组合，你找到所有组合，说白了就是找到了所有的factor，对吧？他说有这个同样的这个这个每一排有同样的椅子，只要是同样的椅子就可以，那么有几种可能呢？对吧？有哪些可能呢？那其实就是在找它的因数对吧？比如说第一个找因数不用说的，一和他自己比如说对吧？有30个椅子有一排，那就是一排，它就是一样的对吧？这是一个。
那我在网上找，我们说找因数怎么找呢？先找一盒，他自己马上就找下一个质数，下一个指数就是二，看他有没有二对吧？你比如说你要找三的一个因数，那二就没有没有就过呗。对吧？你再找下一个，从技数里面先去找一个一个往上排。找因数你必须要找的就是一、23、五对吧？你找了二里面，你2乘以几等于这个数，对吧？如果里面还有2，那就有4，那你四必然要找，你乘完司以后那个另外那个数 factor里面如果还有2，那它就有8了，对吧？
那二找完以后，如果你除了有二，另外那个数里面除了有二还有三，对吧？那他就有6了，对吧？如果乘完3以后还有3，那它就9，所以呢我们这一步一步可以挖出它所有的一个fact。
。我们就说找这个30对吧？
一和30首先写出来这是first这个位对吧？First位，那么在找二的时候它必然是有的，2和15对吧？这又是一个我说了你说。有的同学说这个三，我说二的时候想不出15没关系，第一次你就是慢，那你先找没关系，我说了200以内你都得熟，你慢慢去找。这个东西没有什么那个就是说不用担心，你只要是一次一次去找，有一年肯定熟了，聪明的人有一个月就熟了，找完二以后我们去找33的话3×10=30，那么3和10必然都是它的一个 factor。
那么我们找其实我在找2和15的时候，15里面有三，我就知道它有三了，对吧？有了2和3它必然就有6了吧？那3和10对吧？有10的话它必然有5，那我也就知道他有武了。所以说在找factor的时候，我先找的这些prime最基础的prime，我基本上已经找到他必须会有谁？
首先用30作为一个一个sample对吧？我找了1和30，我马上找二找二有15了以后，首先要看15里有没有二，你说我不知道，那你慢慢背就可以了。对吧？15里面没有20就意味着这个30的prime里面30的factor里面没有4，但是15呢是35 15也就意味着它又有3又有5，对吧？那3和5已经是prime，也就是说呢它不会有3的plus里面载有9甚至更大，也不会有5的Q不啦？里面甚至有25对吧？都不会有。
他只是有2359235呢必然有2和3的一个合起来的一个multiplication，就是它的倍数就是有6，也有2和5的倍数，也有3和5的倍数，这是一个组组合。所以找因数的时候就是一个对惩罚的一个熟悉过程。我也早说了一下找因数的一个方法通过这一个例题，首先我们说了最基础的一个怎么理解乘法呢？就是几个几几个几的一个最最常用的一个概念，就是说你去几排每排有几个椅子有几排，它就是一个几个几的一个用法，那么你再找说一共有30个学生做几排，每一排都一样对吧？那他就是几个几几个几的话呢就是在找因数的组合的可能性，找因数组合可能性的一个方法，先是必须把一盒他自己列出来，然后呢接下来顺着从prime去往下理，从2357 10一去往下捋。
那么二是最重要，你只要二的时候你分，分出来以后呢2×15，比如30这个15就很小了，对吧？你有了15以后，你看这里面15你先看有没有二，还有二就说明他也有4对吧？没2那他就这个prime里面就是二，他们家最大的就是二了，对吧？然后呢你再找3和5，有没有？有3，那就说明有3，你再看有没有9，对吧？你在如果3分出来里面还有3，那就有9，对吧？没有，那就只有3，就这么一个顺序去捋。所以说1和3是找到，2和15找到，3和10找到对吧？
那我就是下一个。没事，我已经分析出来了，对吧？
那5和谁呢？5和6到了5和6的时候，你会发现这两个是factor已经挨在一起了，对吧？中间不会再有。In，tiger不会再不会再有整数了，也就是说5和6的时候呢，你已经找到了所有那么再往上呢就只剩重复的，那么所以说它的factor呢就是12356 10 15 30，这样就找完了，所以找尹tiger的找这个factor的时候，你只要找到了最中间两个挨着的 factor，对吧？它们相乘得这个数，那么也就是说你找到找到最近的距离就可以了。
嗯嗯。所以说呢有了这么多种组合以后，你一数一三十二15三十五六对吧？嗯还有一个椅子的话你还要小心，每一组有一个椅子有30排也是一种可能，所以30和1呢虽然和1和30找factor是重复的，但是在摆椅子的时候呢它不重复，这个也一定要注注意这个题型这个这一点是需要注意的。那么找到这些所有的可能性以后，你数了一共一共有5种可能，对吧？所以呢这个就是有5种可能。
那么我们再举一些其他的例子，比如说你找一些factor，具体数种的factor，比如说呢 uh here are some short cards to find the factors and integrity is divisible uh by two。If it ends in an even number，你要找二的法，如果这个factor里面有二，如果一个数的因数里面有二，那它必然它的尾数个位数的尾数呢是一个偶数，这也是我们在学奇数偶数的时候，我们再说今天我们主要是死死死背一下就是说你在找一个数的因数，如果他的尾数是偶数，它必然是有二这个因数的，这也是我们在进行约分也好呀，其他运算中经常会使用。
比如说实他是一个10的尾数是09 12，它的92的尾数是2，对吧？44它的尾数是4，只要它的尾数是一个even number，even number就是偶数，那么它必然它的因数里面我们在找因数的时候也是先找了一个，他自己马上就会找二，你看他有没有二，很简单，你只需要看他的尾数，是不是是不是偶数就可以了？。
那么接下来呢就是an integrity is divisible by three if the sum of the digits is divisible by three。。Some of the digits digits就是数位它每一个数位上的那个数就是第几次，如果他每一个数位上的数加起来能够被三整除呢？那么这个数必然能够被三整除。
三是一个prime，所以我们在找prime，我们在找factor的时候也是找完二就会找三了，对吧？那个他这个数能不能被三整除，你只需要把所有的数位加起来，看能不能被三整除就可以了。
这是一个那个什么，这是一个非常有用实用的一个技巧，那么是不是你必须得把所有的设备都真正加起来呢？其实不是比如说一个325对吧？那个320 500位数是三，你还用加吗？不需要，因为三本身就已经可以被三整除了，你只需要加那个2和5就可以。也就是说他哪个数位，他本身这个数位这个digits已经可以被三整除，你就不需要再加到里面了，你只需要加那些不可以被三整除的数位，加起来以后看这个整体能不能这个和这个sumsam是和的意思。
。Some of the digits。这些说白了不是some of the digits，应该是some of the digits which cannot be division by three。不能够被三整除的这些数位加起来，看能不能被三整除，如果能够被三整除呢，它就能够这整个这个数就能够被三整除。当然了这个这个方法它是有证明的方法的，我们未来再说。这是一个被三整除的一种判断方法，所以说an integrity is divisible by three。
判断方法就是看他的 the sum of the digits，it's digits。是不是divisible by three？那么拜五呢？拜舞其实很简单，只要他的个位数是5或者0，那它就能够被5整除，所以说呢and integrity is divisible by five。你就看if it ends vs0 a zero or five。
你比如说10，65，或者你说一个很大的数，2320它也是2325只要是0或者5来结尾，个位数你就看它的个位数就可以。什么叫个位数呢？销售点前面的左边的那个第一个位就是个位，当然要有小数点就不在咱们的讨论范围内了，咱们现在说的一直都是整数范围，那他就可以被五整除。所以说呢这是被五整除的。那么再往后说，其实还有很多，比如说被九整除的，我们可以说一下。
An integrity is divisible by night if the sum of the digits is divisible by night，和三一样，如果你要看一个数能不能被9整除，只需要你把它所有的数位上的数字加起来，这个和能够被九整除，他就能够被九整除。那么和三一样，如果某一个数位上的数是9，那你就不用再加了，酒本身能够被她整出，你只需要加其他不是9的数为就可以了。
比如说你要算297能不能被9整除，对吧？你只需要把这个百位数的二和个位数的7加起来，然后看一下它能不能被九整除就可以了。至于10位上的酒呢它本身已经可以被9整除了，就不用再加入了。那么我们知道2+7是等于9的，他可以被九整除，那么也就是说297这个数呢是可以被9整除的，也就是说297is divisible by nine because two plus nine plus seven is 18and18 is divisible by nine，那么这个27 two hundred797或者是你说two279都可以，三分哈这种团体团体耐都可以，你这个数位怎么变都可以，只要你这个数胃的数字加起来能够被结构整除，那么这个数就可divisible by night。
Invisible就是可以被整除整除的概念。当我们学除法的时候才能知道，那么你只要知道我们现在说整除也好，都是在跟整数在做。在打交道，如果不能整除，也就是说整除，不能够用整数来表示了这个商这个除法，最终会进入到小数，小数的话他就不能够被整除了。因为小学小学三年级只要三年级以上的人都知道，就是说你在除的时候有余数呢就没有被整除，对吧？没余数，到了除了个位的时候，余数为0，那就已经是整数了。
就这么简单。那么接下来说被10整除的吧。An attacker is divisible by divisible by10。If it ends with a zero，只要是个位数是0的，它都可以被10整除。是不是？1001000 1万，这个我们单独还要再继续多讲。因为11百 1100万它是10进位的，十几位呢也就代表了我们的数为R我我们这个数数学的一个数字我们先学了对吧？包括其他的数字种，但是我们还没有学数位，数位呢就是10进位的。
那只要你最后一个数位是个位数是0，那么它必然可以被10整除。那你其他数位是什么？就无所谓了，被十整除，我只需要看你个位是不是零被100整除，我只需要看你后两位是不是失灵，对吧？就这么简单，能不能被1000整除，我只需要看你后三位是不是0就可以。所以说比如说50，110，或者我说跟你说一个31,330，只要我说到最后，他这个个位数是0，他就可以被食整除，也就是说他divisible摆摊，为什么呢？因为他的digits，arms，vista，对吧？
它的个位数是一个0。