Abelegøyer

Ukens nøtt er hentet fra andre runde i Abelkonkurransen 2022 og lyder: Hvor mange positive heltall har sifrene i strengt voksende rekkefølge? I nesten-jøss snakker vi om et veldig stort (men også komplisert) tall!

Stikkord: binomial, Pascals talltrekant, kombinatorikk, utvalg, binomialkoeffisient

Du har en robot som har som spesialitet å stokke kortstokker. Den kan imidlertid bare én type stokking og gjør denne stokkingen om igjen og om igjen. Hvis du begynner med kortstokken med fordelingen av kort slik den er når du kjøper en ny kortstokk, hvor lang tid tar det før roboten har stokket kortstokken tilbake til den første fordelingen? 

Stikkord: Landau, sykel, grupper, gruppeteori, permutasjoner, minste felles multiplum

Tenk deg at du har bakt en stor rektangulær kake (langpannekake) til et bursdagselskap. Så kommer det en kaketyv som skjærer ut et rektangulært stykke inni kaken slik at det som står igjen ser ut som et rektangel, med et lite rektangel inni som er fjernet. Er det da mulig å dele resten av kaken i to deler som har like stort areal?

Stikkord: geometri, sentralsymmetrisk, matematikk, skjæringssetningen, kalkulus, figurer

Her kommer enda en påskeepisode! Vi skal se for oss n påskekyllinger i hver sin bil som kjører rundt på en sirkelformet bane. Alle bilene kjører med samme hastighet, men bilene kan gjøre i forskjellige retninger. Hver gang to biler møtes, snur de momentant. Hvis vi lar påskekyllingene starte i en vilkårlig startposisjon på banen, er det noe tidspunkt der alle bilene er tilbake til sin startposisjon? 

Stikkord: permutasjon, rotasjon, tilfeller, mattenøtt, matematikk, logikk

I ukens episode får vi besøk av Vidar fra podkasten Under Kappa! Han har med seg følgende nøtt om påskeharen: Du skal hjelpe påskeharen med å finne ut av hvilken høyde påskeeggene kan slippes fra før de knuser. For å finne ut dette skal du slippe egg fra ulike etasjer i et 100 etasjer høyt bygg og se om egget knuser eller ikke. Hvis du bare har to egg til rådighet, hva er det minste antall forsøk du kan bruke for at du er garantert å finne ut hvilken etasje som er den høyeste du kan slippe egget fra slik at det ikke knuser? 

Stikkord: dynamisk programmering, aritmetisk rekke, mattenøtt, matematikk, oppgave

Vi løser ukas nøtt om produkt av etterfølgende positive heltall. Kan du finne to etterfølgende tall der produktet blir et kvadrat? Eller hva med tre etterfølgende tall der produktet blir et kvadrat? Vi snakker også om annonseringen av Abelprisen og en ny nesten-jøss!

Stikkord: sfærer, konvergens, algebra, bevis, heltall, volum

Tut tut! Vi skal på biltur på tallinja med en bil som bruker 1 liter bensin på å komme seg fra et heltall til det neste. Hver gang vi er ved et primtall, kan vi fylle bensin tilsvarende primtallet vi er ved. Hvis vi begynner ved 2, kan vi fylle to liter bensin. Så bruker vi 1 liter på å kjøre til 3, og fyller tre liter bensin. Slik fortsetter vi så lenge det går. Spørsmålet er hvor langt vi kommer! Stopper vi eller kan vi fortsette til uendelig? 

Stikkord: Bertrands postulat, primtallsatsen, kryptologi, fordeling av primtall, tallteori, mønstre, Pafnuty

Ukens nøtt handler om en elefant som skriver tallene 1 til 2024 på en tavle. Deretter visker den ut to av tallene og skriver differansen til de to tallene på tavla. Nøtta går ut på å vise at dersom elefanten fortsetter slik til det bare står igjen ett tall på tavla, så er dette tallet et partall. Vi introduserer også en ny spalte!

Stikkord: partall, oddetall, invariant, aritmetisk rekke, sudoku

I ukens episode hjelper vi en pingvin som har gjort en feilbestilling. Pingvinen har en kubeformet fryser som rommer 100 liter. Den bestiller seg en isblokk på 100 liter, men bestiller ved en feiltakelse en blokk som har form som et tetraeder. Kan pingvinen kutte opp tetraederet i biter og få plass til det i fryseren? 

Stikkord: dehn-invarianten, areal, volum, trekanter, firkanter, rektangel, Riemannhypotensen, Hilbert, Wallace-Bolyai-Gerwien-teoremet

Ukens nøtt går ut på å finne ut hvilke tall som kan skrives som en sum av etterfølgende tall. For eksempel er 1+2+3=6 og 2+3+4=10. Kan du skrive alle tall på denne måten? John Christian blir utfordret i en ny versjon av Charter-Svein-spalten. 

Stikkord: oddetall, partall, primtall, Crafoordprisen, Crafoord Prize, faktorer, ledd