The Mortality of Doctors in Relation to Their Smoking Habits

כדי להבין רגרסיה לוגיסטית נצטרך להבהיר שני מושגים.

Odds

המונח "אודס" הוא דרך לבטא סיכון או סיכוי לאירוע מסוים. בכך הוא דומה מאוד לסיכון ("ריסק"). הוא מציין חלוקת שני מספרים: אלו עם האירוע חלקי אלו ללא האירוע, לדוגמה מספר האנשים שנפטרו חלקי מספר האנשים שלא נפטרו. בניגוד לסיכון, "ריסק", שיכול לקבל רק ערכים קטנים מ 1, אודס יכול להיות כל מספר חיובי. כאשר מדובר באירועים נדירים, האודס והריסק יהיו קרובים מאוד. (סליחה על הכיתוב באינגליש, אך האתר מסדר מלים באנגלית מחוץ לשורה) אך באירועים נפוצים הם יהיו שונים מאוד.

Odds ratio

אם יש לנו שתי קבוצות ובכל אחת מצאנו מהו ה"אודס", נוכל לבצע חלוקה בין שני אלו ולקבל את היחס ביניהם. זהו האודס רשיו, יחס הסיכויים. כאשר מדובר באירועים נדירים, יחס זה יהיה קרוב ל"רלטיב ריסק", יחס הסיכונים.

האודס מאפשר לעשות פעולות שלא ניתן לבצע עם ריסק, כיוון שתמיד יהיה אפשר להכפיל אודס באודס רשיו ולקבל אודס חדש. למשל, אם ידוע לנו מהו האודס לסרטן ריאה במעשנים קלים יחסית, נוכל להכפיל את האודס הזה באודס רשיו שחושב עבור עישון כבד ולקבל את האודס (הסיכוי) לסרטן ריאה במעשנים כבדים.

Odds

Odds ratio

Risk

Relative risk

Associations of Amyloid Burden, White Matter Hyperintensities, and Hippocampal Volume With Cognitive Trajectories in the 90+ Study

רגרסיה לינארית מצריכה קשר לינארי בין המשתנה המסביר למשתנה החזוי. מה קורה כאשר לא זה המצב?

ניתן לבצע טרנספורמציה (ביטוי מחדש) לאחד המשתנים, כפי שהסברנו בפרק "ביטוי מחדש"

ואז להכניס את המשתנה (לאחר הביטוי מחדש שלו) לנוסחת הרגרסיה. לכן לעתים כאשר נקרא מאמר שהשתמש ברגרסייה לינארית, ניתקל במושג טרנספורמציה. שיטה זו מקובלת ורצויה אך גוזלת מאתנו הקוראים את הבנת המשמעות הקלינית של מקדם הרגרסיה.

linear regression

log-transformation

assumptions

Prediction Factors in the Determination of Final Height in Subjects Born Small for Gestational Age

רגרסיה לינארית מנסה לחזות עבור משתתפי המחקר מהו ערך המשתנה החזוי אצלם, בעזרת המשתנים המסבירים. עד כמה היא עושה את זה טוב? מדד פשוט הוא היחס בין השונות של המשתנה החזוי המוסברת על ידי נוסחת הרגרסיה, חלקי השונות הכללית של אותו משתנה חזוי. זהו ערך ה R בריבוע.

R squared

Total variation

Variation explained by the regression

Overfitting

Prediction Factors in the Determination of Final Height in Subjects Born Small for Gestational Age

ברגרסיה לינארית מרובה, תוצאת המחקר היא נוסחת רגרסיה עם מקדמים. אותם מקדמים הם הדבר שמעניין אותנו, כיוון שהם יראו לנו מהי השפעת משתנה מסוים, כששאר המשתנים נשארים קבועים. כאשר מדברים על תיקון (adjustment) למשתנים נוספים או שליטה (control) עליהם, הכוונה היא חישוב מקדם הרגרסיה של המשתנה שמעניין אותנו כאשר הרגרסיה כוללת גם את המשתנים הנוספים האלו.

מקדם הרגרסיה ברגרסיה לינארית אומר בכמה יחידות יעלה המשתנה החזוי כאשר יש עלייה של יחידה אחת במשתנה המסביר. אך כאשר יש משתנה מסביר קטגוריאלי (שהוא לא כמותי ולכן אין לו יחידות), צריך למצוא פתרון כדי לתת למשתנה הזה ערך מספרי. קטגוריה אחת בדרך כלל תקבל את הערך 0, וקטגוריה שניה את הערך 1, וערכים אלו יוכפלו במקדם. לכן עבור משתנה קטגוריאלי  מקדם הרגרסיה אומר לנו בכמה יחידות יעלה המשתנה החזוי אצל משתתף בקטגוריה 1 יחסית למשתתף בקטגוריה 0 כאשר כל שאר המשתנים נשארים קבועים.

R squared in linear regression

Regression coefficients

Controlling/adjusting for other variables

 ברגרסיה לינארית מרובה יש יותר ממשתנה מסביר אחד, ולעתים קרובות משתנים מסבירים מרובים. כל משתנה מסביר מקבל מקדם משלו בנוסחת הרגרסיה, ואותו מקדם מייצג את השפעת אותו משתנה על המשתנה המוסבר, לו היינו שולטים על כל שאר המשתנים האחרים ("מנטרלים" אותם). מבחינת תיאור גרפי, המעבר מרגרסיה לינארית פשוטה לרגרסיה עם שני משתנים מסבירים דורש מעבר מקו על דף למרחב תלת ממדי, והמעבר לרגרסיה עם יותר משני משתנים מסבירים ניתן לדמיון רק בעולם בעל ממדים מרובים.

Multiple linear regression

Regression coefficients

Controlling for other variables

Effects of Exposure to Road, Railway, Airport and Recreational Noise on Blood Pressure and Hypertension

קו הרגרסיה הלינארית הוא קו ישר שמייצג "דרך אמצע" ולא ייצוג מדוייק של קשר בין שני משתנים, אלא רק תיאור מקורב של הקשר הלינארי ביניהם. עבור משתתף בודד במחקר, הערך של המשתנה המוסבר לא ייפול בדיוק על קו הרגרסיה, כיוון שמלבד המשתנה המסביר ישנם תמיד עוד גורמים מסבירים וגם מרכיב של אקראיות. במלים אחרות, עבור אותו ערך של המשתנה המסביר, אצל שני משתתפים שונים במחקר הערך של המשתנה המוסבר יהיה שונה. למשל, גם לאחר קבלת קו הרגרסיה הלינארית המסבירה בעזרת רמת רעש באזור המגורים את לחץ הדם הדיאסטולי, אצל כל משתתף נותרת שארית, residual, בין המדידה של לחץ הדם אצלו לבין הערך שהיה צפוי אצלו לפי קו הרגרסיה. כדי שקו הרגרסיה ייצג בצורה הטובה ביותר את מירב המשתתפים במחקר, הוא נבנה בצורה כזו שתצמצם ככל האפשר את אותן שאריות, את ה residuals. הדרך המקובלת לעשות זאת היא על ידי מציאת הקו עבורו סכום ריבועי השאריות הוא הנמוך ביותר.

regression line

least squares

residuals

Effects of Exposure to Road, Railway, Airport and Recreational Noise on Blood Pressure and Hypertension

משוואת קו ישר מייצגת קשר בין שני משתנים. הקשר הזה מבוטא בעזרת מקדם (המספר בו מוכפל המשתנה הראשון) ועוד קבוע. ברגרסיה לינארית, המקדם נקרה "בטא". הערך של המקדם הזה תלוי גם בעצמה של הקשר בין שני המשתנים וגם בקנה המידה שבו מדדו את המשתנים עצמם.

Y=mX+n

ובצורה המקובלת לכתיבה ברגרסיה לינארית

Y=beta(X)+beta 0

Simple linear regression

Beta (regression coefficient)

בפרקים הקודמים דברנו גם על תפקידי הרגרסיה וגם על נוסחת הרגרסיה. בפרק זה ננסה לחבר בין שניהם ולהבין איך נוסחת רגרסיה עוזרת להבין השפעה של מאפיין מסוים של מטופל, בעזרת המקדם שאותו מאפיין מקבל בנוסחה, איך היא עוזרת לנטרל ערפלנים, כאשר מכניסים לנוסחה משתנה שהוא ערפלן, ואיך היא יכולה לעזור לחיזוי עבור מטופל מחוץ למחקר.

Regression formula/equation- נוסחת הרגרסיה

Confounder- ערפלן

Prediction- חיזוי

בחיים הרגילים, המח שלנו מבצע משהו קצת דומה לרגרסיות, בפעולה של חישובים ותחזיות. הוא מתחשב במשתנים שונים, שכל אחד מהם מקבל חשיבות שונה. למשל, יכול להיות שהמשתנה "כמות האננסים" יקבל חשיבות שונה מ"כמות המלפפונים" כאשר אנחנו חוזים את התשלום הסופי בקופה אצל הירקן. המח מעריך את החשיבות (מקדם) של כל אחד מהמשתנים, ומבצע תחזית של הסכום הסופי. זו פעולה מוחית שדומה לרגרסיה לינארית. אפשר לחשוב על פעולה מוחית שדומה לרגרסיה לוגיסטית: איך העונה, כיסוי העננים בשמיים ומה שקרה אתמול עוזר לנו לחיזוי הסיכוי לגשם היום, ועל פעולה מוחית דומה לרגרסיית קוקס: איך סוג המכונית, כמות העליות הצפויה בדרך והמהירות בעליה יעזרו לנו לחזות את קצב צריכת הדלק.

(וגם: מפת דרכים לפרקים הבאים)

בנוסחאות הרגרסיה מאפיינים שונים של המשתתפים במחקר מקבלים חשיבות שונה. המאפיינים נקראים "משתנים", והחשיבות נקראת "מקדם". הרעיון המרכזי בנוסחה הוא שערך של משתנה מוכפל במקדם שלו, למשל, המשקל בק"ג מוכפל במקדם מסויים, וכאשר מבצעים את זה עבור כמה משתנים ואז מסכמים את התוצאות מקבלים מספר שהוא בסיס לחיזוי. עם המספר הזה אפשר לעשות כל מיני דברים שנציג בפרקים הבאים- למשל להוסיף לו קבוע מסוים, ולקבל תחזית למשתנה כמותי כמו לחץ הדם סיסטולי של מטופל. נוסחת הרגרסיה מופקת מתוך מחקר, והעיקר בה, השונה מנוסחאות רגרסיה אחרות, הוא המקדמים. בעזרת נוסחה זו אפשר לבצע תחזית: לקחת מאפיינים של משתתף במחקר, כמו המשקל והגיל, ולחזות מה יהיה לחץ הדם הסיסטולי שלו. במקרה של רגרסיה לוגיסטית או רגרסיית קוקס, נצטרך להפוך את המספר את אותו מספר (סכום המכפלות של המקדמים וערכי המשתנים) לסיכוי או לקצב. בהמשך הפרקים נסביר איך זה מתבצע. נדגיש כבר עכשיו שנוסחת הרגרסיה מייצרת תחזית, אך זוהי תחזית שאינה מדויקת.

בפרק הזה נסביר גם מה הולך לקרות בפרקים הבאים. מעין מפת דרכים להמשך. כדי לדבר על רגרסיות נצטרך לבנות את ההבנה בהדרגה ולהסתכל עליהן מכיוונים שונים. תחילה נבין באופן כללי ופשטני את נוסחת הרגרסיה, זו המשותפת לכמה סוגי רגרסיות, אחר כך נבין איך הנוסחה הזו עוזרת לרגרסיה לבצע את תפקידה. בהמשך נדבר בנפרד על שלושת סוגי הרגרסיות שכבר הזכרנו, וכל אחת מהן תדרוש פרק מבוא שיוצר בסיס להבנה של המתמטיקה שמאחורי אותה רגרסיה.

Regression

Regression coefficients- מקדמי הרגרסיה

Prediction- חיזוי