Esta expresión viene del mundo de la música, donde los directores utilizan una batuta para dirigir a los músicos de una orquesta o banda. La batuta consiste en una vara fina, generalmente de madera, cuya extensión se asemeja a la distancia entre el codo y la punta del dedo anular. Para los directores, la batuta es una extensión del brazo que hace que los movimientos rítmicos sean más visibles para los músicos. A través de la batuta el director coordina la armonía de los distintos instrumentos. Por esta razón, la expresión se usa, metafóricamente, cuando alguien asume la dirección de una actividad o grupo de personas. Existen muchas acciones que pueden estar asociadas con "llevar la batuta" o "tomar la batuta", algunas de ellas son: dirigir, ordenar, guiar, organizar o decidir. En cambio, "pasar la batuta" denota la transferencia de liderazgo o autoridad de una entidad a otra. También podemos encontrar otras expresiones con el mismo significado, tales como: "tomar el timón" que hace referencia al dispositivo que se utiliza para guiar una nave, o "tomar las riendas", la cual habla de las correas que usan los jinetes para dirigir a los caballos. En inglés también hay varias frases que tratan con este concepto. La que más se asemeja a tomar la batuta es, simplemente: "to take the lead". Pero si en cambio uno quiere decir pasar la batuta, una buena frase sería: "to pass the torch".

https://www.newsinslowspanish.com/latino/series/expressions/2/149/transcript/1