Analisi Matematica 2010-11

L’integrale generalizzato della funzione gaussiana e^(-x2) su ]-∞,+∞[ vale π1/2.

Elementi di Calcolo Combinatorio: Permutazioni semplici e con ripetizioni. Disposizioni semplici. Combinazioni semplici. Esercizi.

Funzione integrale. Esercizi. Teorema fondamentale del calcolo integrale (enunciato). Integrale indefinito. Teorema di Torricelli (dim.).

Esercizi con la funzione integrale.

Calcolo dell’area di regioni piane delimitate da grafici di funzioni continue.

Altre primitive ‘quasi’ immediate: ∫ef(x)f’(x)dx= ef(x)+c , ∫f’(x)/f(x)dx=log|f(x)|+c, ∫f’(x) (f(x))ndx= (f(x))(n+1)/(n+1) + c.

Esercizi: calcolo di integrali definiti.

Calcolo dell’area di regioni piane delimitate da grafici di funzioni continue.

Risoluzione di sistemi di equazioni e/o disequazioni (in un'incognita).

Geometria analitica nel piano (ancora un po'): distanza tra due punti. Perimetro di un triangolo.

Equazione generale della circonferenza. Equazione canonica della circonferenza con centro l'origine (o un altro punto del piano cartesiano) e raggio r.

Esercizi vari sull'equazione della circonferenza. Sistemi di disequazioni (in due incognite).

Equazione generale dell'ellisse. Equazione canonica dell'ellisse con centro l'origine (o un altro punto del piano cartesiano). Qualche esercizio.

Studio qualitativo delle seguenti funzionif(x)=1/(x2+1); f(x)= x/(x2-1); f(x)=3x4+4x3; f(x)=(x-1)/x3; f(x)=e^(-x2).

Studio qualitativo (i punti cruciali!!) delle funzioni f(x)=2x2/(x-1); f(x)= log(1+ x2); f(x)= log(x/(x-1)).

Introduzione all’integrazione: Integrale ed area (casi elementari). Simbolo di sommatoria. Esercizi.

Teorema di Fermat (senza dim.). Punti critici (o stazionari). Teorema di Lagrange; sua interpretazione geometrica e suoi corollari:

Cor. 1: f’ ≡ 0 su ]a,b[ implica f costante su ]a,b[ (con dim.).

Cor. 2 (test di monotonia): segno della derivata e monotonia

(sia f derivabile su ]a,b[; f debolmente crescente (risp. debolmente decrescente) su ]a,b[ se e solo se f’≥0 (risp. 0≥f’) su ]a,b[;

se f’ > 0 su ]a,b[ allora f è crescente su ]a,b[ (non vale il viceversa);

se f’ < 0 su ]a,b[ allora f è decrescente su ]a,b[ (non vale il viceversa)).

Cor. 3: punti critici e loro natura.

Schema per lo studio qualitativo di una funzione [dominio, segno della funzione, comportamento agli estremi del dominio, derivabilità e derivata, punti critici, segno della derivata (monotonia della funzione), grafico qualitativo della funzione]. Studio qualitativo di f(x)= 2x3-3x2+1; f(x)=xe-x.

Ricerca di massimi e/o minimi locali (e globali).

Derivate seconde di una funzione. Esempi. Funzione convessa (concava) su ]a,b[. Punto di flesso. Segno della derivata seconda e convessità (concavità).

Funzione integrale. Esercizi. Teorema fondamentale del calcolo integrale (enunciato). Integrale indefinito. Teorema di Torricelli (dim.).

Esercizi con la funzione integrale.

Calcolo dell’area di regioni piane delimitate da grafici di funzioni continue.

Integrale definito per funzioni continue su [a,b]. Somma di Cauchy-Riemann. Interpretazione geometrica dell’integrale definito per funzioni non-negative.

Esempi facili. Proprietà dell’integrale (linearità; additività rispetto all’intervallo di integrazione; monotonia).

Integrale definito per funzioni continue a tratti. Esempi.

Funzione primitiva. Varie osservazioni sulle funzioni primitive.

Tabella delle primitive immediate. Esercizi.

Teorema di Torricelli (calcolo dell’integrale definito per variazione di una primitiva).

Esercizi vari (calcolo di integrali definiti).

L’integrale generalizzato della funzione gaussiana e^(-x2) su ]-∞,+∞[ vale π1/2.

Elementi di Calcolo Combinatorio: Permutazioni semplici e con ripetizioni. Disposizioni semplici. Combinazioni semplici. Esercizi.