Analisi Matematica 2010-11

Studio qualitativo delle seguenti funzionif(x)=1/(x2+1); f(x)= x/(x2-1); f(x)=3x4+4x3; f(x)=(x-1)/x3; f(x)=e^(-x2).

Studio qualitativo delle seguenti funzionif(x)=1/(x2+1); f(x)= x/(x2-1); f(x)=3x4+4x3; f(x)=(x-1)/x3; f(x)=e^(-x2).

Teorema di Fermat (senza dim.). Punti critici (o stazionari). Teorema di Lagrange; sua interpretazione geometrica e suoi corollari:

Cor. 1: f’ ≡ 0 su ]a,b[ implica f costante su ]a,b[ (con dim.).

Cor. 2 (test di monotonia): segno della derivata e monotonia

(sia f derivabile su ]a,b[; f debolmente crescente (risp. debolmente decrescente) su ]a,b[ se e solo se f’≥0 (risp. 0≥f’) su ]a,b[;

se f’ > 0 su ]a,b[ allora f è crescente su ]a,b[ (non vale il viceversa);

se f’ < 0 su ]a,b[ allora f è decrescente su ]a,b[ (non vale il viceversa)).

Cor. 3: punti critici e loro natura.

Schema per lo studio qualitativo di una funzione [dominio, segno della funzione, comportamento agli estremi del dominio, derivabilità e derivata, punti critici, segno della derivata (monotonia della funzione), grafico qualitativo della funzione]. Studio qualitativo di f(x)= 2x3-3x2+1; f(x)=xe-x.

Ricerca di massimi e/o minimi locali (e globali).

Derivate seconde di una funzione. Esempi. Funzione convessa (concava) su ]a,b[. Punto di flesso. Segno della derivata seconda e convessità (concavità).

Teorema di Fermat (senza dim.). Punti critici (o stazionari). Teorema di Lagrange; sua interpretazione geometrica e suoi corollari:

Cor. 1: f’ ≡ 0 su ]a,b[ implica f costante su ]a,b[ (con dim.).

Cor. 2 (test di monotonia): segno della derivata e monotonia

(sia f derivabile su ]a,b[; f debolmente crescente (risp. debolmente decrescente) su ]a,b[ se e solo se f’≥0 (risp. 0≥f’) su ]a,b[;

se f’ > 0 su ]a,b[ allora f è crescente su ]a,b[ (non vale il viceversa);

se f’ < 0 su ]a,b[ allora f è decrescente su ]a,b[ (non vale il viceversa)).

Cor. 3: punti critici e loro natura.

Schema per lo studio qualitativo di una funzione [dominio, segno della funzione, comportamento agli estremi del dominio, derivabilità e derivata, punti critici, segno della derivata (monotonia della funzione), grafico qualitativo della funzione]. Studio qualitativo di f(x)= 2x3-3x2+1; f(x)=xe-x.

Ricerca di massimi e/o minimi locali (e globali).

Derivate seconde di una funzione. Esempi. Funzione convessa (concava) su ]a,b[. Punto di flesso. Segno della derivata seconda e convessità (concavità).

Funzione integrale. Esercizi. Teorema fondamentale del calcolo integrale (enunciato). Integrale indefinito. Teorema di Torricelli (dim.).

Esercizi con la funzione integrale.

Calcolo dell’area di regioni piane delimitate da grafici di funzioni continue.

Altre primitive ‘quasi’ immediate: ∫ef(x)f’(x)dx= ef(x)+c , ∫f’(x)/f(x)dx=log|f(x)|+c, ∫f’(x) (f(x))ndx= (f(x))(n+1)/(n+1) + c.

Esercizi: calcolo di integrali definiti.

Calcolo dell’area di regioni piane delimitate da grafici di funzioni continue.

L’integrale generalizzato della funzione gaussiana e^(-x2) su ]-∞,+∞[ vale π1/2.

Elementi di Calcolo Combinatorio: Permutazioni semplici e con ripetizioni. Disposizioni semplici. Combinazioni semplici. Esercizi.