Analisi Matematica 2010-11

By Anneliese Defranceschi

Dispense del corso (e moltissimi esercizi con soluzione) sono disponibili sul sito del corso: http://latemar.science.unitn.it/Analisi. NOTA. LE PRIME DUE LEZIONI SONO SVOLTE ALLA LAVAGNA CHE NON E' LE... more

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Analisi Matematica 2010-11 episodes:

December 29, 2010 Analisi Matematica - 28ma lezione - 02/12/10
Studio qualitativo delle seguenti funzionif(x)=1/(x2+1); f(x)= x/(x2-1); f(x)=3x4+4x3; f(x)=(x-1)/x3; f(x)=e^(-x2).
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1h 36min
November 29, 2010 Analisi Matematica - 26ma lezione - 29/11/10
Punti angolosi (x=0 per f(x)= ⎢x); cuspidi (x=0 per f(x)= radice cubica di ⎢x); punti a tangente verticale (x=0 per f(x)= radice cubica di x).
Se f è derivabile in un punto, allora f è continua in quel punto. Non vale il viceversa (f(x)= ⎢x è continua in x=0, ma non derivabile).
Algebra delle derivate. Esercizi. Derivata della funzione composta. Esempi.
Massimi (minimi) locali (o relativi). Definizione ed esempi. Massimi (minimi) locali: lettura del grafico.
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1h 35min
November 25, 2010 Analisi Matematica - 25ma lezione - 25/11/10
Introduzione alla derivata. Rapporto incrementale, derivata in un punto.
Interpretazione geometrica della derivata. Equazione della retta tangente al grafico di f in (x0,f(x0)) (se f è derivabile in x0). Funzione derivata.
Derivata delle funzioni elementari. Esercizi: eq. retta tangente al grafico di varie funzioni.
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1h 38min
November 24, 2010 Analisi Matematica - 24ma lezione - 24/11/10
Teorema del confronto e teorema dei 2 carabinieri. Limite della funzione composta mediante esercizi (senza enunciato).
Limiti notevoli in 0 per le funzioni [log(1+x)]/x e (ex-1)/x.
Limite della funzione composta. Esercizi.
Asintoti: verticali, orizzontali. Esercizi. Asintoti obliqui. Esercizi.
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1h 28min
November 22, 2010 Analisi Matematica - 23ma lezione - 22/11/10
Forme indeterminate: ∞-∞, 0(∞), ∞/∞ , 0/0. Esempi. Limite del logaritmo e del esponenziale agli estremi del loro dominio.
Confronto di velocità di crescita (log_ax < < x^n < < a^x per x tendente a +∞, con a>1). Esercizi.
Continuità di funzioni definiti a tratti.
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1h 35min
November 18, 2010 Analisi Matematica - 22ma lezione - 18/11/10
La retta reale estesa: R∪{-∞,+∞}. Alcune definizioni rigose di limite destro, limite sinistro.
Limite. Esercizi. Funzioni definite a tratti (continue o con punti di discontinuità). Esercizi.
Unicità del limite. Proprietà algebriche del limite (limite destro, limite sinistro, limite).
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1h 51min
November 17, 2010 Analisi Matematica - 21ma lezione - 17/11/10
Teorema di esistenza degli zeri. Applicazioni. Teorema di Weierstrass. Esempi e applicazioni.
Limiti di funzioni mediante esempio:
a) per descrivere il comportamento agli estremi del dominio di una funzione definita su ]a,b[ (a numero reale oppure -∞; b numero reale oppure +∞): limite destro, limite sinistro;
b) per descrivere il comportamento vicino ad un punto c di una funzione definita su ]a,c[∪]c,b[; limite destro, limite sinistro;
c) per descrivere il comportamento vicino ad un punto c ∈]a,b[ di una funzione definita su ]a,b[, ma discontinua in c; limite destro, limite sinistro
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1h 36min
November 15, 2010 Analisi Matematica - 20ma lezione - 15/11/10
Funzioni continue: funzione continua in x0∈A (con ε e δ), funzione continua in A. Esempi: funzione costante e f(x)=x su R. Esempio di funzione non continua in un punto.
Teorema: se f e g sono funzioni continue in x0∈A, allora anche f+g (f-g), fg, f/g (se g(x0)≠0), ⎢f sono continue in x0 (continuità in A).
Ulteriori esempi di funzioni continue.
Continuità della funzione composta e della funzione inversa.
Funzioni continue: funzioni polinomiali, funzioni razionali fratte (dove non si annulla il denominatore), funzioni radici, funzioni esponenziali, funzioni logaritmiche.
Funzioni continue su [a,b]: Teorema di esistenza degli zeri. Esempi. Metodo di bisezione.
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1h 36min
November 11, 2010 Analisi Matematica - 19ma lezione - 11/11/10
Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali.
Funzione logaritmo in base a (a>0, a ≠ 1): definizione, proprietà, rappresentazione grafica. Proprietà del logaritmo.
Esercizi: calcolo di logax per diverse basi a e diversi punti x. Determinazione di insiemi di definizione per funzioni con il logaritmo.
Risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche (utilizzando la monotonia e le proprietà algebriche del logaritmo).
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1h 42min
November 10, 2010 Analisi Matematica - 18ma lezione - 10/11/10
Ancora qualche esercizio con il valore assoluto.
Funzioni potenze. Funzione esponenziale in base a (a>0, a ≠ 1): proprietà, rappresentazione grafica. Confronto dei grafici con basi diverse. Il numero di Nepero e.
Rappresentazione grafica di funzioni contenenti la funzione esponenziale.
Determinazione di insiemi di definizione per funzioni contenenti la funzione esponenziale. Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali.
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1h 32min

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