Um Zahlensysteme, Zweierpotenzen und vor allem Binärzahlen geht es in der einhunderteinundachzigsten Episode des IT-Berufe-Podcasts. Der Inhalt ist auch als Video bei YouTube verfügbar.

Zahlensysteme, Zweierpotenzen und Binärzahlen

Zweierpotenzen und Binärzahlen begegnen uns in der IT-Ausbildung an vielen Stellen. In dieser Episode erkläre ich die Funktionsweise von Zahlensystemen (Binär, Oktal, Dezimal, Hexadezimal) und gebe Beispiele für den Praxiseinsatz.

Das Video zu dieser Episode findest du bei YouTube hier: Zahlensysteme, Zweierpotenzen und Binärzahlen.

Zahlen vs. Ziffern

Zahlen werden aus einzelnen Ziffern zusammengesetzt. Die Dezimalzahl 123 besteht z.B. aus den Ziffern 1, 2 und 3. Die bekannten Zahlensysteme haben unterschiedlich viele Ziffern:

Dualsystem: 0 und 1

Oktalsystem: 0 bis 7

Dezimalsystem: 0 bis 9 (unsere bekannten arabischen Ziffern)

Hexadezimalsystme: 0 bis 9 und A bis F

Römische Zahlen

Das römische Zahlsystem hat auch mehrere Ziffern:

I = 1

V = 5

X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1.000

Anders als in den anderen Zahlensystemen werden die einzelnen Ziffern hier einfach aufaddiert. So entspricht die Zahl III der Dezimalzahl 3, da I + I + I = 3.

Außerdem können Ziffern abhängig von ihrer Platzierung in der Zahl eine unterschiedliche Bedeutung haben. MCM entspricht z.B. der Dezimalzahl 1900, da das C vor dem M von diesem abgezogen werden muss, also 1000 - 100 = 900 ergibt. MCM = M + (M - C) = 1000 + (1000 - 100) = 1900.

Dezimalsystem und andere gebräuchliche Zahlensysteme

In den anderen Zahlensystemen, die wir in der Informatik häufig verwenden (nämlich Dualsystem, Oktalsystem, Dezimalsystem und Hexadezimalsystem), stehen die Ziffern einer Zahl immer für einen Faktor, der mit der Wertigkeit seiner Stelle multipliziert wird. Die Dezimalzahl 123 steht für 1 * 100 + 2 * 10 + 3 * 1.

Die Wertigkeit der Stelle ergibt sich aus ihrer Potenz mit der Basis des Zahlsystems. Die Basen der Zahlensysteme sind:

Dual/Binär: 2

Oktal: 8

Dezimal: 10

Hexadezimal: 16

Nun werden die Stellen der Zahlen von rechts nach links beginnend mit 0 immer um 1 im Exponenten erhöht, um die Wertigkeit der Stelle zu berechnen. Beispiel im Dezimalsystem:

10 ^ 0 = 1

10 ^ 1 = 10

10 ^ 2 = 100

10 ^ 3 = 1.000

10 ^ 4 = 10.000

...

Dualsystem

Im Dualsystem oder Binärsystem ist die Basis 2, die Wertigkeiten der Stellen der Zahlen lauten also:

2 ^ 0 = 1

2 ^ 1 = 2

2 ^ 2 = 4

2 ^ 3 = 8

2 ^ 4 = 16

2 ^ 5 = 32

...

Sie steigen also deutlich langsamer an als im Dezimalsystem. Mit jeder Stelle verdoppelt sich die Wertigkeit (im Vergleich zur Verzahnfachung im Dezimalsystem). Um den gleichen Zahlwert darstellen zu können, sind also deutlich mehr Ziffern nötig. Das wird noch deutlicher beim Hexadezimalsystem: Mit einer Ziffer können 16 verschiedene Werte dargestellt werden, also acht Mal so viele wie im Dualsystem.

Beispiel: Die Dezimalzahl 256 wird im Hexadezimalsystem als 100 (1 * 256 + 0 * 16 + 0 * 1) notiert, aber im Dualsystem als 100000000, hat dort also dreimal so viele Ziffern.

Im Dualsystem gibt es die Ziffern 0 und 1, die somit die "binary digits" (binäre Ziffern) darstellen. Abgekürzt wird daraus Bit (binary digit).

Kombinationsmöglichkeiten

Oft stellen wir uns die Frage, wie viele Kombinationsmöglichkeiten - also unterschiedliche Zahlen - es für eine gegebene Anzahl an Stellen geben kann. Im Dualsystem haben wir pro Stelle zwei Möglichkeiten: 0 und 1, also ein Bit. Für eine Zahl mit einer Stelle ergeben sich also zwei Möglichkeiten: 0 und 1. Für eine Zahl mit zwei Stellen verdoppelt sich die Anzahl der Möglichkeiten:

00

01

10

11

Und mit jeder weiteren Stelle verdoppeln sich die Möglichkeiten wieder, da vor jede bisherige Kombination wieder 0 oder 1 geschrieben werden kann:

000

001

010

011

100

101

110

111

Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten oder unterschiedlichen Zahlen für eine gegebene Anzahl an Stellen lässt sich berechnen als Potenz aus Basis des Zahlsystems hoch der Stellenzahl.