Streuspanne – Statistik und ihre Kuriositäten

Im heutigen »Streuspanne-Lexikon«-Eintrag

»Eine Figur in jedem siebten Ei!« – Im Beispiel des Lexikonbeitrags interessiert sich das »Streuspanne«-Team dafür, wie oft eine Happy-Hippo-Figur in einem Überraschungsei zu finden ist, wenn jemand einen

Neben Überraschungseiern kann man damit auch

Die Formel für die Binomialverteilung lautet

(N über k) mal p^k mal (1-p)^(N-k).

Auf den ersten Blick sieht das kompliziert aus, aber mit ein bisschen Lesehilfe verliert die Formel ihren Schrecken.

p^k ist einfach zu verstehen: Wenn ich k Erfolge in N Wiederholungen haben möchte, dann muss k-Mal der Erfolg eintreten, was mit der Wahrscheinlichkeit p passiert. Also schlicht die Wahrscheinlichkeit p, k-mal mit sich selbst multipliziert.

Analog lässt sich gut nachvollziehen, wieso (1-p)^(N-k) in der Formel steht. Denn ich muss bei k Erfolgen dann mit genau N-k Misserfolgen rechnen, und jeder einzelne Misserfolg passiert mit Wahrscheinlichkeit 1-p.

Der letzte Bestandteil (N über k) ist etwas

Aber wie sieht diese Binomialverteilung

Wenn N immer größer wird, nähert sich die

Ganz in Kürze: Die Binomialverteilung zählt die Anzahl an Erfolgen in einer festgelegten Anzahl von Wiederholungen. Was das für die Überraschungseier und die Figuren heißt, hört Ihr im »Streuspanne-Lexikon«.

Ihr habt eine seltsame Statistik in den Medien entdeckt und wollt, dass wir sie im Podcast zum Thema machen? Oder Euch ist ein mathematisches Zahlen- oder

Ihr seid gerade aus einer anderen langen, regulären Streuspanne-Folge hierher gesprungen? Dann schnell wieder zurück zur langen Folge!

Erinnert Ihr Euch an den Skandal-Löwen aus Berlin im letzten Jahr? Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die Bilder denn tatsächlich einen Löwen gezeigt? Während jeder Mensch die Frage nach der Wahrscheinlichkeit recht intuitiv versteht, kann man sich damit in der Statistik relativ schwertun.

Vor allem, wenn man zur Denkschule des Frequentismus gehört, will man die Frage so gar nicht verstehen – der Frequentismus ist die am häufigsten verwendete Denkschule wohlgemerkt.

 In der neuen Streuspanne-Folge stehen sich Vertreter der zwei größten Statistik-Denkschulen im Gespräch gegenüber. So bringt das Team dem Publikum die beiden Ansätze zur Wahrscheinlichkeitsberechnung spielerisch näher: Auf der einen Seite schlüpft Jochen Fiedler in die Rolle von Mr. Bayes für die Bayes'sche Statistik und auf der anderen Seite spielt Sascha Feth Mr. Frequentist, der für die frequentistischen Denkschule spricht.

Welche Rolle spielen Vorwissen und Zufallsexperimente? Warum passt der alte Blog zu Losbuden, Gustav Gans und Donald Duck in die Folge und wie viel Querverweise passen in eine Podcast-Episode? Und natürlich: War es denn ein Löwe? Hört selbst!

Alle gesammelten Links und Tipps aus der Folge

 Buchtipp »Die Illusion der Vernunft« von Philipp Sterzer

Blog »Losbude, Corona und Donald Duck«

Beispiel aus dem Blog: Wir besuchen einen Jahrmarkt. Dort gibt es zwei Losbuden. Die erste, von Gustav betrieben, ist für ihre höhere Gewinnchance bekannt. Die zweite, von Donald betrieben, lässt einen deutlich seltener gewinnen. Wir schicken jetzt 100 Personen auf den Jahrmarkt und fragen sie am Ende, wie viele Gewinne sie gezogen haben. Können wir daraus erkennen, wie viele Personen bei Gustav waren?

Blogpost »Gibt es den Zufall wirklich?«
www.itwm.fraunhofer.de/blog-zufall

Podcast »Streuspanne-Lexikon: K wie Konfidenzintervall

Podcast »Streuspanne-Lexikon: »S wie Schätzung«

www.itwm.fraunhofer.de/schaetzer

Der Satz von Bayes im Kontext eines Blogposts aus

Ihr habt ein Phänomen, Paradox oder eine kuriose Statistik entdeckt, die wir in der »Streuspanne« besprechen sollen? Oder Euch ist ein mathematisches Zahlen- oder Gedankenspiel aufgefallen, über das wir podcasten könnten? Dann meldet Euch gerne bei uns.

Heute erklären wir im »Streuspanne-Lexikon« K wie Konfidenzintervall. Oder auch: K wie »kurz und knapp« – in unter fünf Minuten.

Kurz gesagt, ist ein Konfidenzintervall ein Vertrauensbereich. Wenn man bei einem Schätzer einen einzelnen Wert bestimmt, dann ist dieser Wert von der Stichprobe abhängig, und würde sich bei einer Wiederholung des Experimentes ändern. Wie ein Schätzer funktioniert, wird in unserer Lexikon-Folge »S wie Schätzung« erklärt, die ihr am besten vorher hört.

Das Konfidenzintervall ist ein Bereich, in dem ein unbekannter Parameter vermutet wird. Je breiter dieser Bereich – bzw. Intervall – ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass der unbekannte Werte vom Intervall abgedeckt wird. Gleichzeitig verliert das Intervall mit zunehmender Breite an Aussagekraft, wie im Podcast durch das Beispiel der Körpergrößen klar wird.

Wenn das Intervall zu breit ist, muss mehr Aufwand betrieben und der Stichprobenumfang vergrößert werden, um eine genauere Aussage über das Ergebnis zu treffen und damit das Konfidenzintervall schmaler zu wählen. Hier gilt ein Wurzelgesetz – Wenn das Konfidenzintervall halbiert werden soll, wird die vierfache Menge an Daten benötigt.

Oft werden beim Konfidenzintervall noch konkrete Zahlen genannt, wie z.B. 95-Prozent-Konfidenzintervall genannt. Allgemein gilt: Je größer die Konfidenz, desto breiter wird das Intervall. Die Konfidenz ist also ein Maß dafür, ob man einen unbekannten, aber festen Wert zufällig mit einem Intervall erfasst.

Die Intervallgrenzen werden nach einer genauen Rechenvorschrift aus der Stichprobe bestimmt. Sie hängen damit vom Zufall ab und können »gut« oder »schlecht« sein – also den wahren Wert enthalten oder nicht enthalten.

Ihr habt eine komische oder außergewöhnliche Statistik in den Medien entdeckt und wollt, dass wir diese im Podcast diskutieren? Oder Euch ist ein mathematisches Zahlen- oder Gedankenspiel aufgefallen? Welche Begriffe sollen wir im »Streuspanne-Lexikon« erklären? Meldet Euch gerne über [email protected] bei uns mit neuen Ideen.

Ihr seid gerade aus einer anderen langen, regulären Streuspanne-Folge hierher gesprungen? Dann schnell wieder zurück zur langen Folge!

Die Schätzung im »Streuspanne-Lexikon« in unter fünf Minuten erklärt.

Was ist eigentlich die mathematische Definition einer Schätzung? Und wie kann ich so etwas »Unpräzises« überhaupt definieren?

Schätzung meint im Alltag oft cleveres Raten, in der Statistik ist »der Schätzer« aber ein fester Ausdruck und Regel, bzw. eine eigene Rechenvorschrift.

Ein Beispiel: Wir werfen eine Münze, um die unbekannte Wahrscheinlichkeit für Kopf zu ermitteln, und tun dabei so, als

Dann könnten wir einfach die Anzahl an beobachteten Köpfen durch die Anzahl an Würfen teilen und schon haben wir einen Schätzwert für diese unbekannte Wahrscheinlichkeit. Wir schätzen hier auf Grundlage von Daten. Bei der Erhebung der Daten ist der Zufall immer auf die ein oder andere Weise beteiligt, danach gibt es aber keine Variation mehr. Das ist die

Theoretisch kann bei einer Schätzung beliebig viel schiefgehen und der Schätzwert daher um wahren, unbekannten Wert stark

Strategie 1: Der Stichprobenumfang wird angehoben. Die unbekannte Wahrscheinlichkeit einer Münze kann bei 100

Strategie 2: Ein Konfidenzintervall wird bestimmt. Eine Erklärung, wie das funktioniert, findest Du im Streuspanne-Lexikoneintrag »K wie Konfidenzintervall«.

In der Praxis ist eine Schätzung oft nicht – wie in unserem Beispiel – mit einer einfachen Division zu berechnen. Unsere selbst entwickelte Software Jurojin

Ihr habt eine kuriose Statistik in den Medien entdeckt und wollt, dass wir diese in einer regulären Streuspanne-Folge zum Thema machen? Oder Ihr habt einen Ausdruck aus der Statistik, den wir unbedingt im Lexikon erklären sollen? Dann meldet Euch gerne über [email protected] bei uns.

Ihr seid gerade aus von einer anderen Stelle der Streuspanne-Welt hierher gesprungen? Dann schnell wieder zurück zur langen

Auch zu Beginn des neuen Jahres 2024 beschäftigt sich das Streuspanne-Team sich mit einem (vermeintlichen) statistischen Paradoxon. Was ist das Simpson-Paradoxon? Wie kann es eine sinnvolle Datenanalyse beeinflussen? Und wie kann man verhindern, dass man darauf reinfällt?

Das Simpson-Paradoxon beschreibt die Situation, wo eine statistische Bewertung einer gesamten Population ein anderes Ergebnis liefert als eine analoge Analyse auf den einzelnen Teilpopulationen. Ein Beipsiel: So kann es sein, dass das

Wie nun genau lässt sich dieser scheinbare Widerspruch auflösen? Warum muss man sich als Statistiker:in und Fan von Datenanalysen damit überhaupt beschäftigen?

All diese Fragen diskutieren in der neuen Podcastfolge »Irreführende Intuition in der Statistik – das Simpson-Paradoxon« unsere bloggenden Statistiker Dr. Sascha Feth und Dr. Jochen Fiedler mit Moderatorin Esther Packullat. Dabei orientiert

Das Zahlenbeispiel aus der Folge: An zwei Tagen nehmen jeweils 50

Buchtipps, die in der aktuellen Folge angesprochen werden:

Zum US-Wahlen-Beispiel:

Die verflixte Mathematik der Demokratie von George G. Szpiro

Zur Gender Data Gap:

Unsichtbare Frauen –  Wie eine von Daten beherrschte

Ihr habt ein ebenso irreführendes Phänomen, das wir besprechen sollen oder eine Statistik in den Medien entdeckt und wollt, dass wir sie in der »Streuspanne«

Zum Ende des Jahres wird es bei unserem Streuspanne-Team märchenhaft. Was genau ist das Sleeping-Beauty-Paradox und was daran ist eigentlich paradox?

Beim mathematischen Wahrscheinlichkeitsmärchen spielt ein Kuss oder ein Prinz keinen Rolle, sondern es geht um ein märchenhaftes Gedankenexperiment – wie könnte es

Dornröschen – Sleeping Beauty – nimmt an einem Experiment teil. In diesem wird Dornröschen sonntags in den Schlaf versetzt und an einem oder zwei der darauffolgenden Tage geweckt. Wenn sie an einem Tag aufgeweckt wird, dann wird sie am Ende des Tages wieder in Schlaf versetzt – und zwar so, dass sie sich nicht mehr daran erinnern kann, aufgeweckt worden zu sein. Sie vergisst diesen wachen Tag und zudem wird ihr nicht verraten, was für ein Tag es überhaupt war.

Der Clou an diesem Experiment: das Aufwecken erfolgt nach einer bestimmten Regel, denn der/die Versuchsleiter:in wirft eine faire Münze, nachdem Dornröschen sonntags das erste Mal eingeschlafen ist. Fällt »Kopf«, so wird sie montags, aber nicht dienstags aufgeweckt und befragt. Fällt »Zahl«, so wird sie sowohl montags als auch dienstags aufgeweckt und befragt.  Ein Münzwurf entscheidet demnach, ob sie einmal oder zweimal geweckt wird. Am Mittwoch endet dann das Experiment. 

Das Vertrackte an der Geschichte ist die Frage, die der oder die Versuchsleiter:in ihr während der kurzen Wachphasen stellt: »Wie hoch glaubst du ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Kopf gezeigt hat?« Gibt es hier überhaupt eine korrekte Antwort? Was macht die Formulierung der Versuchssituation bei der Antwort aus? Wo spielt die Self-Sampling- und Self-Indication-Assumption eine Rolle? Und was hat Dornröschen hier mit unseren letzten Themen – wie dem Würfel ohne Gedächtnis oder dem Weltuntergang – zu tun? Auch auf die kurze Folge »Z wie

In der neuen Podcastfolge »Dornröschen und Statistik – das Sleeping-Beauty-Paradox« diskutieren unsere bloggenden Statistiker Sascha Feth und Jochen Fiedler mit Moderatorin Esther Packullat ausführlich über alles rund um das Wahrscheinlichkeitsparadox.

Ihr habt ein ebenso seltsames Phänomen, das wir besprechen sollen oder eine Statistik in den Medien entdeckt und wollt, dass wir sie in der Streuspanne zum Thema machen? Oder Euch ist ein mathematisches Zahlen- oder Gedankenspiel

Link https://www.itwm.fraunhofer.de/ziegenproblem

In der ersten Folge der neuen Rubrik »Streuspanne-Lexikon«

Beim Ziegenproblem geht es um eine gedachte Spielshow, in der die Spieler:innen eins von drei Toren auswählen darf. Hinter

Der/Die Moderator:in öffnet anschließend ein Tor, hinter dem eine Ziege steht. Danach wird die spielende Person erneut um eine Entscheidung gebeten: Bleibt es bei dem vorher ausgewählten Tor oder soll die Wahl jetzt auf das andere Tor fallen?

Ändert sich die Gewinnchance nach dem Öffnen eines Tores mit der zusätzlichen Information? Wieso sollte man seine

Das Ziegenproblem gibt es hier im »Streuspanne-Lexikon«

Ihr habt eine seltsame Statistik in den Medien entdeckt und wollt, dass wir sie in der Streuspanne zum Thema machen? Oder Euch ist ein mathematisches Zahlen- oder Gedankenspiel aufgefallen? Dann meldet Euch gerne über ⁠[email protected]⁠ bei uns.

Ihr seid gerade aus einer anderen langen,

Wohl jede:r fragt sich mal, wie lange man eigentlich leben wird. Man kann es zwar nicht auf die Sekunde genau sagen, aber

Die höchste Lebenserwartung in Deutschland liegt laut Statistiken heute in Baden-Württemberg für Männer (79.7 Jahre) und Frauen (84.1 Jahre) sowie die niedrigste in Sachsen-Anhalt für

Es heißt, dass die Menschheit immer älter wird. Stimmt das? Seit wann werden wir älter und woran liegt das? Wie beeinflusst

All diese Fragen und viele mehr rund um »Lebenserwartung«

Ihr habt eine seltsame Statistik in den Medien entdeckt und wollt, dass wir sie in der Streuspanne zum Thema machen? Oder Euch ist ein mathematisches Zahlen- oder Gedankenspiel

In dieser Podcast-Episode beschäftigt sich unser Streuspanne-Team mit dem Ende der Welt. Und zwar nicht, wie es der eine oder die andere vielleicht schon gehört hat, im Zusammenhang mit Klimakatastrophen, Atomkriegen, Pandemien oder ähnlichen

Dr. Jochen Fiedler und Dr. Sascha Feth beleuchten, was man unter dem Doomsday-Argument versteht und wie dieses Klarheit über den Weltuntergang bringen könnte. Dabei führt Esther

Sie untersuchen, welche Auswirkungen das Doomsday-Argument haben könnte, nehmen es mit Gedankenspielen auseinander und schauen sich an, welche anderen Theorien es gibt, die die Gültigkeit der Argumentation in Frage stellen. Zu welchen

Klingt dramatisch, ist es auch, denn zumindest das ist sicher: irgendwann geht die Welt unter.

Trotz Weltuntergang, denkt gerne daran: Wenn Ihr in den Medien auf eine Statistik, spannende mathematische Gedankenspiele oder Zahlen stoßt, lasst es uns wissen, dann diskutieren

Dem Tempolimit statistisch auf die Spur kommen

Dieses Mal beschäftigt sich unser Streuspanne-Team mit einem sehr aktuellen und viel diskutierten Thema: dem Tempolimit auf deutschen Straßen.

Menschen hinterm Steuer sind laut Umfragen gegenüber Tempolimits aufgeschlossen: Umfragen unter Autofahrenden haben ergeben, dass diese eine Geschwindigkeitsbeschränkung auf Autobahnen immer mehr befürworten. Zum Beispiel führt der ADAC 2023 immer wieder Umfragen durch und hat 2023 im Mai zuletzt Ergebnisse veröffentlicht, bei denen knapp 54 Prozent für ein Tempolimit stimmten. 41 Prozent sprachen sich dagegen aus.

Ein kontroverses Thema, zu dem es sehr viele Meinungen gibt, aber weniger Studien, die von allen Seiten akzeptiert werden. Aber warum ist das so? Wie kann man bestimmte Sachverhalte – wie beispielsweise die CO2-Einsparung durch ein Tempolimit – empirisch ermitteln? Wie würde sich ein Tempolimit auf die Klimaziele auswirken? Brauchen wir, um die Klimaziele zu erreichen, zwingend den Verkehrssektor? Wie lässt sich die Anzahl von geretteten Menschenleben ableiten? Komme ich durch Tempolimits wirklich viel langsamer an mein Ziel? Welche Argumente gibt es für und gegen ein Tempolimit?

Viele Fragen, deren Antworten wir in dieser neuen Streuspanne-Podcastfolge mit Dr. Jochen Fiedler und Dr. Sascha Feth diskutieren und mit Statistik auf den Grund gehen. Esther Packullat führt fragend als Moderatorin durch den Podcast.

Nathalie Steil bleibt dem Streuspanne-Team erhalten

Auch in dieser Folge ist die Mathematik-Studentin Nathalie Steil wieder mit am Mikrofon. Sie ist als studentische Hilfskraft in unserem Bereich »Mathematik für die Fahrzeugentwicklung« tätig und unterstützt als Teil des Teams mit Hard Facts und Recherchen im Vorfeld.

Interview mit Gast-Experte

Ein weiteres Highlight und Novum dieser Folge ist das Interview mit Gast-Experte Urs Baumgart zum Thema »Verkehrsfluss und Tempolimit«. Er ist aktuell Doktorand im Bereich »Mathematik in der Fahrzeugentwicklung« und beschäftigt sich u.a. mit mikroskopischer Verkehrssimulation.

https://www.itwm.fraunhofer.de/