Factors and Greatest Common Factor因数与最大公因数
因数与最大公因数是一个非常重要的概念，它的用途非常广泛，所以我们呢通过了很多次去讲解。
首先我们复习一下前两节的一个内容，首先我们说了因数对吧？因数它的概念就是说如果因数和倍数我们说的都是一个整数范畴内的一个概念，如果两个整数或者多个整数相乘得出了另外一个整数，对吧？那么对被得出的这个整数其实就是倍数。那么这个倍数得出这个倍数的所有的那个因数呢就叫做因数。那么用英语来说呢这个因数就是价值那个倍数怎么说呢，我现在可以提前说一下，就是moto K身。
说白了就是说嗯赛特是整数，你用一个整一一个两个或者多个整数相乘得出了另外一个整数。
那么这个得出这个整这个整数的其他的所有的这些整数都是那么需要注意的第一个呢比如说一是一个经常的一个隐身的一个所有的数对吧？比如说除了1以外的所有的书，他的他都肯定有一一这个范畴，而且有他自己，那么一本身这个数呢就是依自己这个其实他也是依依和他自己，但是呢依和他自己都是依，所以呢一的法克就是一，但除了一以外，其他的所有的数的法克特，不管他有什么发给他，他必然会有的就是一和他自己。那么这就是一个发展的概念。
用的概念呢我们说了用这个整数里面一些最初最初的这个数数字，它可以拼成所有的数字，也就是这个数字，这个整数可以被拆开，其他因数除了他自己一和自己以外，如果不能够被拆了，那它就是质数。也就是说质数的概念，就是说如果它的因数除了一和他自己以外，没有其他的因数，那它就是质数，那么质数用英文来说就是批。那么我们说了，我们要把整个的这个因数的这个概念当成一个游戏去看待，这个游戏就是说数和数之间去碰撞，得出其他的数这个碰撞就是惩罚。
乘法就是说几个几的意思，我们上节也说了，那么这个乘法的意义概念在于什么呢？就是数和数之间碰撞，然后得到其他数。那么也就是说一个数都可以拆成其他的数他是被其他数碰撞来的，当然他一和他自己不能够被算，那么我们在拆的过程中一直拆到一定的情况下，有些数就不能够再被拆了，它只能是拆成他只有一和它自己，那么这种数据叫做质数，也就是叫做那么我说了，如果你在理解质数的时候，用中文很难理解，说话就很容易理解，因为呢你在变形金刚的时候对吧？
这个你看一下这个擎天柱他的名字里就有，因为所有的其他的汽车人都是被他给生出来。那么比如说质数二3对吧？那么其他的你能找到的2，他们家的4八16对吧？32 64都是二碰出来的，二自己碰出来的。
那么二自己碰出来的这些其他的数呢，就叫做二他们家的票就是纯纯学的。那么如果是三他们家纯血的，比如说39 27对吧？这些数都是三他们家纯血的。那比如说他也有密克布拉，比如二他们家和三他们家混血，比如说二三得6对吧？那就是6的一个六是一个2和3的对吧。那如果说你说12其实是2和3他们家的，但是呢它里面这个二呢有两回碰撞，那么也就是4和3在碰，4又能够拆成2和3。那也就是说除了我们知道这个银泰葛就是整数，他们互相碰触了所有其他整数之外，我们还要知道有一些数呢是最初的这个数字的一个基础，那么这个最初的数字基础就叫做那么重碰上的数呢也分成了有飘波和觅波拉，就是纯纯雪的河，那个混血，对吧？
有了这些指导以后呢，我们上一节留了一些家庭作业，就是说把200以内的如果你很忙，你把81以内的所有的皮尔布拉和那个米格拉德找到进行一个区分，区分完以后呢再把它们进行了一个音质分解。因式分解的话呢就是说把一个数字它到底有哪些法则，有哪些因数找到？那么在这个顺序中，我们会从一和他自己开始找，然后从二开始去捋，对吧？
这个方法呢上一节进行了一个详细的阐述，对吧？有了这个阐述以后呢，我们就得出了一些你怎么看它会不会有二，怎么看？会不会有三？这个对吧？我们讲了一些特殊的数字，这些数字呢主要是从这个入手的，2和3对吧？
五说完235以后，我们再说一些特殊的相关的这个的数字，比如说9和10上一节都讲了，讲完这些以后呢我们讲了一些因为性就是和乘法在做工作，对吧？那么你必须得理解乘法，乘法就是几个几，那么几个几呢？他有一些非常经典的案例，那比如说就是你看电影也好你的排座位也好，它几排对吧？
每排有几个座位这么一个案例，我们说了一共有30个学生对吧？那道题呢如果我读这个英文的话它是很长，但是不管你读什么，你说你看电影也好呢，你有30个学生看电影，你有30个学生去做活动，你只要你不管做什么，你只要说你要排成几排每一排，学生的数量是一样的，那它就是几个几的问题，对吧？我们说了几个几，就是这几个几都必须得是一样的，几个二它都得是二，你不能是一个二一个三。所以说他说每一排只要他的数量是一样的，学生椅子的数量一样，学生数量一样，那它才能成为几个几几个几？
就是乘法，另外来说呢几个几可以互相调换？你说。几排几座几座几排30个一一个30是可以互相调换的，这也是你去明明白的一个道理，两个三三个2它是一样的。那么这个几个几排每一排有几个座位的问题呢，其实就是一个标准的乘法。那么他说这个只要每一排座位一样，对吧？那30个学生究竟有几种排法？那其实呢就找他有几组？因数组对吧？比如1×30=30，那就是一组，2×15呢？等于30就是第二组对吧？有几种这种可能？
那么我说了排座位它有一个特殊情况，1和30代表一排有30个人，我只排一排，那么1×30对吧？那30×1呢是另外一种排法，一排只坐一个人，我有30排也是另外一种排法，所以这个一定要注意。那么嗯。嗯。所以说呢这几种排法呢其实就是一个找因数的一个过程。那么找因数的一个过程呢，我们要学会找因数的一个方法，首先一个数给你了，你先要把这个一和他自己找出来，然后我们去看，对吧？
看二有没有二。很简单，我们说了是去看它的个位数有没有偶数。因为英语来说呢就是说看这个阴安txt Facebook白兔am in N1份单本。那如果我们找到二以后有二对吧？那2乘以谁等于它那个乘以谁的那个性，你再看它还有没有二？这就是下一步对吧？如果还有那么也就是说它有4这样往下找，你就把二他们家到底有几个找出来，找完以后你再去找三，对吧？
三的话你要知道怎么才能找出三呢是按 is some what is the best？就是说它这个数所有的数，数位上的数字加起来，如果能够被三整除，它就能够被三整除。那他如果能够被三整除，你就马上三就是它的，你再找到三乘以几是它，你找到那个几以后呢，你再看里面还有没有三？如果还有3，那就说明他还有酒，对吧？如果用完酒以后，你再还有三，它就是还有27，那这样一步一步的你能够挖掘出它他们家所有的三他们家所有的他们家到底有三他们家的谁，对吧？
你找完二他们家三他们家，你再找5他们家对吧？我说4是2，他们家的，你找二的时候你就能确定，那么你把前面这几个指数全部找了，这个方案全部找了2357，11对吧？找到这儿就差不多了，最多找到13对吧？也差不多了，基本上所有的数呢你能够在考试里碰到的所有书，也就都找齐了，你找齐了以后呢你再看到有哪些？当你找到最后比如31找到五6三十的时候，你这两个枢已经挨在一起了，中间已经没有了。那有的时候不是完全挨在一起，中间确实还有，但是它不可能再组成30的时候，组成那个数的时候，也就是说你这个已经找完了，如果你再往下找，你把5再往上涨就变6了，那他的那个发展是变五六五三十五六三十其实是一样的，那也就是说你找的菏已经重复了，那也就是说呢你的已经找完了。
嗯。所以说呢这就是一个找的一个过程，找的过程你重点要熟悉怎么找二，怎么找三，怎么找5。然后呢有时间再看看怎么找酒，怎么叫食对吧？找完这些以后就召开了。那么整会了这些以后，其实现在来说一直说是前几节的一个总结，对吧？
那么总结完前面以后呢我们说了我们要对这个质数有一个非常熟悉的认识和数，你认不认识无所谓，因为数是有无限个对吧？所以你先要认识质数，认识质数，他们家皮尔布拉，然后再认识一些米克拉就可以了。也就是说质数你首先要认识，我们说了0和1既不是质数，也不是合数。再一个呢你现在认识质数的时候，你先要说，你要知道发展和质数了全部是针对于阶段来说的就是说这个因数和质数都是针对于整数来说的，这个你必须先知道，再一个下一步就是知道0和1既不是质数，也不是合数。
那么从二开始往下说二就是第一个指数，而且他是唯一一个偶数质数也就是说在往后的所有的指数都将会是奇数。那么我们用英语来说一下，看一下那个普拉米南北就是质数是怎么定义的呢？的话我不知道你们有没有看到过这样的一个情况。The self M Y就是说如果一个数它的这个factor它的因数只有一和它自己的话呢，那么也就是说它是一个指数。
所以说用这个概念确实可以排除一因为一除了一以外，还是以他们没有，其实也有他自己，但是这个说起来就是不太符合它这个概念，所以一既不是质数，也不是合数，0呢也不是质数，也不是合数，这个死背就可以了。
Sam is up up the first 237 S N E来vincent，这些都是PCI。那么耍你必须得熟，你不能仅仅是了解一些X兰剖，你不光要知道有谁，而且你知道它的皮尔布拉就是说他自己想成成熟哪些这些都是非常有用的。所以呢你还要知道二是唯一一个偶数指数，那么知道12米以后呢，你们咱们下一个就是学一下这个治疗法则，治疗方案这么一个顺序对吧？你要知道必须先知道，对吧？直到引才可知道的发展，然后直到下一步该知道也就是说你知道***了以后呢知道因数了，那如果有两个他们你都可以找他们的因数，找到他们因数，如果有这个因数有一样的数，那么这个时候就就叫做公因数。
那么用英文来说呢就是所以呢and the sea for two man靠靠门萨X那么在中文学习的时候，学习因数的时候主要说的是两个数，那么你说三个数有没有可能有因数？供应商的是绝对可以的。
你别说3个数，你8个数10个数无数个数，它都是可以有公因数的，那么到时候说公倍数的时候也是一样的。因为我说了你理解因数的时候可以连倍数一起去理解，因为你因数是怎么产生？是因为你产生了一个倍数，对吧？那么倍数你产生了，那底下必然有因数，这是相辅相成的两个概念。。那么咱们说了因数如果几个数都有因数，它们的因数有一样的，那它就是公因数。那所有的数肯定都有一这个公因数了，对吧？所以这个一是压根不用找的一个公因数，对吧？
也就是充分发展。那既然有了公因数，那公因数之间还可以比较大小，对吧？那这个公因数呢？最大的那个公因数呢就叫做最大公因数。就是great is come ***。
那么是干啥用的呢？一般来说最最初学这个咱们数学小学学的这个学这个公因数就是为了约分，把一个分数的分子和分母同时除以它的最大的公因数呢，就能够把这个分数化简成为最简分数。比如我给你一个2/4对吧？你要把它画成1/2，就要上上下同时除以一个2，你就得到了1/2。那么在这个过程中主要用到了一个分数线或者除号的两边或者比号的两边呢，你只要同时乘以或者同时除以一个相等的数呢，这个这个这个书是这个这个本身这个分数或者这个除号做出的这个数比号做出的这个数它的大小是不变，用了这么一个概念，但这个概念因为相除的时候，如果你除了它的最大公因数，也就是说把它画成了最简分数，也就是说分子和分母将会互质，那么这个互制是什么意思？
我们学了制书了，对吧？但是我没有学互制，但是我们学了互为相反数，互为倒数，对吧？Whoo为什么指的是确实只能是两个数？我说的公因数可以是两个多个，但是互为什么只能是两个数？如果你把分子和分母说白了也是两个数，你把任意的两个数如果相除了它的最大公因数，对吧？也就意味着他们之之间呢不会再有那个除了一以外的因数，那么只有依了他们的因数，公因数只有一了，那么这个时候呢他们就叫互质了，所以互质的概念就是说如果两个数它是针对两个数而言，也是整数，如果两个整数它们之间的公因数只有一了，那么它就互为质数。
反过来，如果它们的公因数除了一以外，还有其它的数，那么从互为和数对吧？互为荷数的话，也就意味着他们除了一以外还有公因数如果有一个那这个一个就是它的最大公因数，如果有多个，你要比较哪个最大找到最大的一除呢？那也就是说他们之间除完了就在又没有公因数，没有公因数呢就只剩一是公因数，那也就是说他们俩互为质数，会置数以后，如果你放在一个分数里，它的分子分母已经互质了，对吧？已经没有除了一以外没有公因数了，那也就是说它成了一个最简分数，这就是最简分数的概念。
它有什么用呢？你给你给我个因数，你给我个分数对吧？2/44/8全是1/2，那你总不能给我无数个让我看的眼花缭乱吧，所以你总得给我一个最简单，这样我便于去观察看，这就是他的主要的一个目标，所以说你在答数学题的时候，未来你当然你要给人家一个最简单的，分数作为答案，你不能给人一个本来是1/2，你给人家一个50/100或者100/200对吧？这样的东西它都是1/2。
那么给人家看的时候人家怎么判呢对吧？这个理解了吧？人怎么判这个题呢？我答案是1/2，你给我一个100/200，我怎么看出来你是对的还是错的，难道你想让老师去约分吗？对吧？就是这么一个概念。所以说我们现在讲了一个这个com site和right pack。
那么我来举一些这个卡门发展的案例。Water come first say of two of day T是2和18的一个公因数，那么前面我说了，你一定要把这个质数和质数他们加的皮尔布拉德梅克斯布拉找到然后，然后同时呢学会找到每一个数的因数，找完以后呢如果你再找公因数的时候，你会发现很很快就可以发现，如果是笨的办法，你就很简单，你找到12的公因数，你再找到18 18的因数，然后你再看哪些一样把它找出来就可以了，这是最笨的办法。
那我用英语来说一下，是500万元每年的25%，你自己往出列就可以了。那么taste this is next，那么你把这些数列出来以后列到一个草稿纸上，对吧？那么你看哪些一样你就找到了。所以呢 of two of AA T N也就是说就是都有你看问题是都有的。
是谁呢？就是123SX你就找到了他们的公因数。我说了找公益人数，也就是你学的时候让你找一下你找这个没有什么太大的用，但是约分的时候，如果你找不到最大公因数的时候，你就要随便一个因数，那这个还用专门这么找吗？不用。你看有没有二？都有没有二，你不需要都列出来，有二你就约就行了，就是很简单。那么找最大才是最重要。当然了有些书你一下找最大的也没那么容易，你都是有2的约2，有3的约3有6，就别远了对吧？就这么一个一个原则，你能发现大一点的就不要约小的，发现不了大的小的就直接开约，就这么简单。
所以说只要不重要，最重要的是怎么找的各个方面都有很大的不同。
那么是什么呢？它是建立在基础上来说的，也就是说个人的经历和经历也是一样的。Right，com site。那么过他们的他用了这个然后康本和菲克特这三个词的最初的首字母就是就是那个最大公因数的一个简称。
TCF the gates com site，所以呢这是一种方法。
高尔夫球场那个地方是458的公因数，有123和6，对吧？那他的最大的公因数就是6。也就是说如果你把他们12和8同时÷以6，他们就会变得变成了一个互致的书。估值的数有什么用呢？最重要的就是在这个如果12和18同时作为分子和分母，谁当分子分母都可以。那么你如果除以不是最大公因数，你除完二你还得除3对吧？如果你除了3还得除2，那如果你除以6呢就一次性搞定。因为除了是最大的公因数，就一项他们俩之间的公因数呢就只剩一了，也就是说呢他们这个分子和分母就互致了，分子分母一旦复制呢，这个分数就成为了最简分数，那么我们在答卷的时候，你答上去最简分数呢，老师就便于查看你的得数是否正确。
因为这个我说了一个分数，还有无数多种变形的形式，比如说1/2还是可以是2/4一502% 100%对吧？都是他你让老师怎么判对吧？他有无数个老师怎么拍？老师想怕只能让你共同写一个唯一的答案，这个唯一答案就把它化到最简，这样就达到了唯一，对吧？就是这么一个概念。所以说呢你就是去写一个1/2，当然你要写0.5，那其实也是可以这个老师是是可以认识的，他都是最简。所以说呢那你只要写到最简，就是咱们数学现在这个学这个规定是靠南发展的一个主要的一个目标，他能够把一个分数化简成最简。
那我们再举一个例子，比如说我提的4和10的最最，小公倍数是多少呢？那么我们还是用一个最简单的最常规的方法，你找到4的因数，再找到10的因数，对吧？然后你看哪些一样？我说了如果你按照我前面的方法去练过，有可能你一下就能看出4和10它只有对吧？那具体的因数和倍数的公因数，公倍数最大公因数最小公倍数的一个找法，我会在讲完这个话题不可以省就是倍数的时候呢，我们再找一些一个常用的一些技巧。嗯。
那么现在这道题找4和10的最大公因数，我们用常规的方法来找一下，常规的方法就是分别找出它们的因数，然后找到一个公因数最大的，去比一个大小。
The for I to F4的公因数，4的因数呢就是1和2还有4。价格是百分之30%的因数，就是125十。一和他自己就不用说了，中间是靠你自己去找的。那么你对比完以后呢，的jc F txt R就找到了，这个我读的时候可能觉得有点快，你自己写一下，写出来以后跟着我去看就懂了。那么嗯所以说呢这个比如说吧他自己可能说椰牛OK，他知道二他看到8看到2了说耶你有2，问题是我们是不是不同的方式 is not so great，阿巴看不起二，因为八感觉有好几个二对吧？
其实二呢是一个那个数在我们学习过程中28我们都是要重视的，其中二是一个必须的了解。嗯。我们再看一个例子，比如说你要找这个我的对吧？如果你熟的话，像我一下就能找到，我知道89 72 2 98对吧？
唉我一下就能找到9，那怎么找到的呢？慢慢的我这个凭感觉也能找着，然后凭一些技巧也可以找。那么在这个之前你必须得先学会分解它也就是我们先用正常的办法，一个一个找找完以后去对比哪些一样，再从对比这个一样的里面找到最大的，最终找到他的就最大公因数，这个还是必经的一个路程，一定要多训练，那比如说 askedthe first two are 1234 S X txt团体佛尔，教育社会主义核心价值观。
所以呢嗯所以说呢这个就是一个通过三讲我们讲的一个因数，整通过因数是整数概念里对吧？然后讲了因数，讲了因数以后讲了公因数，公因数讲了最大最最大公因数。
那么下一节我们就开始要讲这个倍数，讲完因数和倍数以后，我们再去讲找最大公因数，找最小公倍数有哪些方法？有没有技巧。但是这个技巧是建立在你先把前面的这个我说叫每一个的找质数和他们的瓶你先要会找，特别是皮尔布拉，如果你连皮尔布拉都找不到，但也没有什么技巧可以谈，你只能是用老笨的办法一个一个去找。嗯找熟了以后，说白了你不知道技巧，也基本上很快就可以完成。那个约分虽然你可能不能找到最大公因数，但是你约两次三次也完事了，那也是很快的。
所以这就是一个最终的目标的实现。所以呢知道技巧并不是最终最重要的事情，你必须得先学会熟悉就是质数所有的质数，然后熟悉他们的批捕啦，就是他们自己组成的那些书，这是最重要。然后呢把200以内的数进行因式分解，找到它们所有的熟悉他们，认识她们，而且每次找非常的快，非常的那个准确就可以了，做到这个以后呢就了这就是通过三讲三讲讲解的这个因数问题。看到了。

数学最大公因数 

数学公因数 

数学因数 

Factors and Greatest Common Factor 因数和最大公因数
因为因数和最大公因数呢其实特别的重要，不管我们学乘法也好，学除法也好，这个因数和倍数的概念呢在整个贯穿我们一个学这个乘法除法也好呢，学未来的一些运算也好呢是非常重要的。
首先我们上一讲主要讲了一个因数，它可以它主要是因数和倍数呢主要是在entire范畴内去讲的，就是整数。另外呢这个因数里面有prime，就像变形金刚里的那个晴天柱一样，它是产生其他数字的一个最初的一种数字，这种数字叫做prime。用中文来说就是质数。
那么这是我们规定了0和1都不能算质数或者和数，第一个质数，质数呢是从二开始的。
那么二呢是最小的质数，也是唯一的偶数质数。嗯然后呢在网上所有的质数都会是奇数，但是不代表说是技数肯定是质数。那我们再另外去说，另外呢我们说了这时候会碰出所有的数字所有的in tiger，那么所有的in tiger呢加一个符号都会组成了一个复数，对吧？
那有了所有的整数以后呢，正整数负整数0以后呢，我们只要加一个分数线，对吧？我们在分数线里面呢本来整数它的分数下面是有一的是invisible的，是他是它是隐藏起来的。不用不用写的，说白了你写的也可以。你比如说有一个2对吧？你写个2/1可不可以？可以，你写1/1×2可不可以？也可以，你写一个1/1×2再乘以一个a的0次方，2的0次方都可以，他们都是invisible的对吧？然后呢我说包括小数点什么都是invisible的，包括小数点后面的0也是隐藏起来的，只有当你用的时候才会去用。
对吧？那么我们说了，你当你推出所有的整数以后，只要你把这个分数线下面不是一你改成其他的integer，那么也就是出来的分数，那么这个分数只要你相除，有的除开了，那它还是整数，除不开的呢？你就可以小学的时候三年级之前都是得出一个整数有余数，我们说对吧？那么如果学了小数以后呢，你可以点上小数点继续去除，继续除的时候你就会用到小数点后面的0了，那你再往下除的时候，说白了你的得数是一个小数，也就是说分数它包含了整数和小数，也就是说你通过 prime得到了所有的integrity，你通过质数得到了所有的整数，通过整数把分母下面不是一又变成其他的整数，得到了更多的数种，也就是分数和小数。
当然你不能得到的那就是无理数。那么也就是说你用双眼皮得出了所有的有理数，您prime得到了所有的 rational number，所有的rational number都是一个ratio，因为rational rational的词根就是ratio。所以说你用prime得到了所有的rachel，得到了所有的rational number，然后得到了以后，这个概念你清楚了，那你怎么去用呢？对吧？
进这一节主要就讲怎么去用。当然了我们在小学初中在学因数的时候，其实主要是学什么呢？怎么去用因数去约分对吧？然后怎么通过因数去理解最小公倍数，再去给分数去通分对吧？这些概念我们慢慢的会去讲，你现在听的时候你只要听到它了，你知道有这么回事就很重要。那么我今天讲的主要你怎么去用呢？你去学习乘法，很多人学习乘法的时候，先是去背乘法的口诀，对吧？那么背乘法的口诀你会发现背完以后呢你学乘法算除法，算这个一个数的时候，小学也好，初中也好，你还是单独去乘单独去除，包括分数，你也要单独去除变成小数，小数变成百分数等等。
那么如果你知道了一个factor的概念，你知道了因数，那么你把所有的200以内的所有的数全部找到他们所有的factor。你说。那不是太多了嘛，其实不多。你第一不光要找，而且要把他们分家，我上一章说了，上一节说了讲factor，这是我第二节讲fact。你我第一节说了factor里面有price，对吧？你把prime的pure blood找到你把这个质数的纯血统的，你比如说二是最小的指数对吧？
你把由二碰出来的所有的指数纯血统的找到，24 86 32对吧？你把他们家的人全部找到，一直找到很大。找到64就差不多，然后你再把三的找到，39 27对吧？你把他们都找到，你再把武的找到，40二他们家，对吧？你把我的找到，你再把这个7的找到，中间有个66是谁家？它不是一个pure blood，six呢6呢是一个 mix，block它是2×3，它就是2，他们家的也是3他们家的。那么你把这个先总结出来，这就是我留的第一次的家庭作业。
那么这个家庭作业我一般来说都不会留，除非他非常重要，你在总结一个数的时候，你要把这个学完factor，学完因数以后，你先不要着急往后学，你先像你学加法，你要背加法口诀，对吧？2+3=5，对吧？3+5=8，背法慢慢我再交给你。那么你现在先要把factor找到，你要找把它们分成家，分成不同的纸分出来。二他们家对吧？三他们家的5他们家的这些prime的，他们家的pure blood，你要找到每一个质数，他自己的纯血统的人要找到，找完以后你再去找他的mix blood，比如说2和3的 mix blood。
那么二有两次，4 cosine that makes blood。。8和3的mixed blood你找到对吧？你找到他们以后，也就是说你很清楚的可以找到200以内的所有的数的他们哪些是pure blood，哪些是mix，mix是跟谁mix的？对吧？跟哪些prime minister然后呢这个prime自己又有多少次，比如说有多少个2，多少个11，多少个7？对吧？你弄清楚以后呢，你把它们分完家以后每天去看一遍，每天去看一遍，看完以后呢，你再把它们能够进行因式分解，比如我给你一个81，你要把它因式分解，1×81对吧？
九九八十一三×二十七八11，你要把它们全部能够按照顺序进行因式分解，分解完以后呢，第一有分家谁是谁家的，它是pure的呢还是mixed？再一个呢他怎么去进行因式分解，那么在这一块不光是解说完以后呢，我会给你一个已经分解清楚的一个东西让你去看，当然了你必须得自行的去进行一个总结和发现，发现完以后你再去用我给你这个东西去核对，看你做的对不对？对吧？那么这些完了以后呢说白了你在数学答题的时候，你再碰到一个任何一个乘法除法，你看这些数你会发现都非常眼熟。
眼熟完以后呢，你比如说小学你学一个除法，你看完以后可能你不需要算，你基本知道答案也非常清晰。再一个呢你学完约分以后呢，你看到一个数你想约分，你看到上面下面一个数，你基本你最大的那个公因数你就找到了，找不着。你两下也找找出其他的了。所以说呢你只要把200以内的我说的按照我说的找到prime，找到他们pure blood mixed blood，然后把所有的这个数的因数都反复的找过，那么你整个小从小学到初中，所有的这些整数范围内的东西呢就到手了。
那么分数和小数范围内的东西呢，除了这些以后可以下一步的进行去数和背诵后面我再说。所以今天的factor和greatest common factor这一课呢我们主要先说了上面的一个家庭作业。根据从上面说的，我们再举一个例子，你比如说你要找这个what are the factors of10？你说你找一下10的这个factor对吧？其实你要找因数对吧？这是一个除了我上面说的找pure blood mixed blood把它们分家找清楚以后，找因数呢是一个非常重要的一个工作，你每天找这个因数比你背乘法口诀要好，因为你背完乘法口诀你还是不会找因数，如果你会找因数了，你绝对是会背了乘法口诀。
那么你把200以内都背会，在200之前你可以先把80亿的背回，这个东西每天去做就可以了。那么这个找实的factor，最先你先啥也不用说，先把1×10找出来，那剩剩下就从23从这个prime开始去找，对吧？你2×5就有，那么再往上就没了，对吧？再再往上就变5×22×5和5×2其实是一个乘法交换律，它们涉及到的factor是一样的，所以呢这个10的因数就是1二五十，对吧？所以说呢你think先想what can be multiplied together to give me time。
对吧？The factor of 10 are one to five and10。所以说even though five multiply two also equals10，5×2也=12×5也=10。These numbers have already been listed，2和55和2这个这俩数呢已经被列入到factor了，你就不用再重新列了。factor不需要重复的去列。So we don't need to list them again。
我们再举一个例子，这个因数的其他的应用，那么其他的应用我说了在中国教学体系里面对因数倍数的应运用的太多了，那个题型也很多，那么我们今天用英语只是讲一个便于你从不同的语言方面去理解因数和倍数。Example。
Envelope needs to arrange chairs for a drama club meeting at his school，there are 30 students coming。What are the different ways we can arrange？The chairs？So so that each row has the same number of chairs。
说这个艾贝勒这个同学呢对吧？需要给他们一个活动，在读题的时候，你不要说把drama club meeting at his school什么意思，你不懂你就不算这个题了，你在算中文的时候，你在看到一系列不懂的字，你不要先去纠结什么意思，你就知道他要给他的班里呢一个活动去安排座位，对吧？然后呢there are 30 students coming，一共有30个学生，对吧？这是学生的总数。What are the different ways he can arrange the chairs so so that each rose rose就是排对吧？
Has the same number of chairs，每一排都要是一样数量的，对吧？说白了你这横排和竖排相乘将会得30，这是一个乘法的一个基本的一个概念。那么乘法的概念可能说唉我现在上小学一年级没学过，没关系，你先不用去理解乘法的概念，乘法说白了，我说前面我都用游戏来形容就是说二和三碰，其实它代表什么呢？两个3或者三个2，只要你说几个几，那它就是乘法。那么你理解到一个横排竖排的时候呢，对吧？横排有每一排有3个，一共有5排，那就是3×3个5或者5个3，对吧？
这就是乘法。这个东西一次可能很难理解。你比如说一个很聪明的孩子对吧？他上三年级了，他就能理解，但是你让一个一年级的人他可能很难理解第一次，但是你可以通过多次的去说3个5个3，你甚至你不用去想什么意思，你就明摆着让他背下来3个5个3都是3×5或者5×3的意思就可以顺便告诉他，3×5和5×3是一样的就可以了。那么我们说了这个横排竖排这种问题，把椅子这是很明显的几个几几个几就是很明显的一个乘法，对吧？
那么一共有30，只要你得这个30就可以，也就是说说白了它是让你找到得30的所有的组合，你找到所有组合，说白了就是找到了所有的factor，对吧？他说有这个同样的这个这个每一排有同样的椅子，只要是同样的椅子就可以，那么有几种可能呢？对吧？有哪些可能呢？那其实就是在找它的因数对吧？比如说第一个找因数不用说的，一和他自己比如说对吧？有30个椅子有一排，那就是一排，它就是一样的对吧？这是一个。
那我在网上找，我们说找因数怎么找呢？先找一盒，他自己马上就找下一个质数，下一个指数就是二，看他有没有二对吧？你比如说你要找三的一个因数，那二就没有没有就过呗。对吧？你再找下一个，从技数里面先去找一个一个往上排。找因数你必须要找的就是一、23、五对吧？你找了二里面，你2乘以几等于这个数，对吧？如果里面还有2，那就有4，那你四必然要找，你乘完司以后那个另外那个数 factor里面如果还有2，那它就有8了，对吧？
那二找完以后，如果你除了有二，另外那个数里面除了有二还有三，对吧？那他就有6了，对吧？如果乘完3以后还有3，那它就9，所以呢我们这一步一步可以挖出它所有的一个fact。
。我们就说找这个30对吧？
一和30首先写出来这是first这个位对吧？First位，那么在找二的时候它必然是有的，2和15对吧？这又是一个我说了你说。有的同学说这个三，我说二的时候想不出15没关系，第一次你就是慢，那你先找没关系，我说了200以内你都得熟，你慢慢去找。这个东西没有什么那个就是说不用担心，你只要是一次一次去找，有一年肯定熟了，聪明的人有一个月就熟了，找完二以后我们去找33的话3×10=30，那么3和10必然都是它的一个 factor。
那么我们找其实我在找2和15的时候，15里面有三，我就知道它有三了，对吧？有了2和3它必然就有6了吧？那3和10对吧？有10的话它必然有5，那我也就知道他有武了。所以说在找factor的时候，我先找的这些prime最基础的prime，我基本上已经找到他必须会有谁？
首先用30作为一个一个sample对吧？我找了1和30，我马上找二找二有15了以后，首先要看15里有没有二，你说我不知道，那你慢慢背就可以了。对吧？15里面没有20就意味着这个30的prime里面30的factor里面没有4，但是15呢是35 15也就意味着它又有3又有5，对吧？那3和5已经是prime，也就是说呢它不会有3的plus里面载有9甚至更大，也不会有5的Q不啦？里面甚至有25对吧？都不会有。
他只是有2359235呢必然有2和3的一个合起来的一个multiplication，就是它的倍数就是有6，也有2和5的倍数，也有3和5的倍数，这是一个组组合。所以找因数的时候就是一个对惩罚的一个熟悉过程。我也早说了一下找因数的一个方法通过这一个例题，首先我们说了最基础的一个怎么理解乘法呢？就是几个几几个几的一个最最常用的一个概念，就是说你去几排每排有几个椅子有几排，它就是一个几个几的一个用法，那么你再找说一共有30个学生做几排，每一排都一样对吧？那他就是几个几几个几的话呢就是在找因数的组合的可能性，找因数组合可能性的一个方法，先是必须把一盒他自己列出来，然后呢接下来顺着从prime去往下理，从2357 10一去往下捋。
那么二是最重要，你只要二的时候你分，分出来以后呢2×15，比如30这个15就很小了，对吧？你有了15以后，你看这里面15你先看有没有二，还有二就说明他也有4对吧？没2那他就这个prime里面就是二，他们家最大的就是二了，对吧？然后呢你再找3和5，有没有？有3，那就说明有3，你再看有没有9，对吧？你在如果3分出来里面还有3，那就有9，对吧？没有，那就只有3，就这么一个顺序去捋。所以说1和3是找到，2和15找到，3和10找到对吧？
那我就是下一个。没事，我已经分析出来了，对吧？
那5和谁呢？5和6到了5和6的时候，你会发现这两个是factor已经挨在一起了，对吧？中间不会再有。In，tiger不会再不会再有整数了，也就是说5和6的时候呢，你已经找到了所有那么再往上呢就只剩重复的，那么所以说它的factor呢就是12356 10 15 30，这样就找完了，所以找尹tiger的找这个factor的时候，你只要找到了最中间两个挨着的 factor，对吧？它们相乘得这个数，那么也就是说你找到找到最近的距离就可以了。
嗯嗯。所以说呢有了这么多种组合以后，你一数一三十二15三十五六对吧？嗯还有一个椅子的话你还要小心，每一组有一个椅子有30排也是一种可能，所以30和1呢虽然和1和30找factor是重复的，但是在摆椅子的时候呢它不重复，这个也一定要注注意这个题型这个这一点是需要注意的。那么找到这些所有的可能性以后，你数了一共一共有5种可能，对吧？所以呢这个就是有5种可能。
那么我们再举一些其他的例子，比如说你找一些factor，具体数种的factor，比如说呢 uh here are some short cards to find the factors and integrity is divisible uh by two。If it ends in an even number，你要找二的法，如果这个factor里面有二，如果一个数的因数里面有二，那它必然它的尾数个位数的尾数呢是一个偶数，这也是我们在学奇数偶数的时候，我们再说今天我们主要是死死死背一下就是说你在找一个数的因数，如果他的尾数是偶数，它必然是有二这个因数的，这也是我们在进行约分也好呀，其他运算中经常会使用。
比如说实他是一个10的尾数是09 12，它的92的尾数是2，对吧？44它的尾数是4，只要它的尾数是一个even number，even number就是偶数，那么它必然它的因数里面我们在找因数的时候也是先找了一个，他自己马上就会找二，你看他有没有二，很简单，你只需要看他的尾数，是不是是不是偶数就可以了？。
那么接下来呢就是an integrity is divisible by three if the sum of the digits is divisible by three。。Some of the digits digits就是数位它每一个数位上的那个数就是第几次，如果他每一个数位上的数加起来能够被三整除呢？那么这个数必然能够被三整除。
三是一个prime，所以我们在找prime，我们在找factor的时候也是找完二就会找三了，对吧？那个他这个数能不能被三整除，你只需要把所有的数位加起来，看能不能被三整除就可以了。
这是一个那个什么，这是一个非常有用实用的一个技巧，那么是不是你必须得把所有的设备都真正加起来呢？其实不是比如说一个325对吧？那个320 500位数是三，你还用加吗？不需要，因为三本身就已经可以被三整除了，你只需要加那个2和5就可以。也就是说他哪个数位，他本身这个数位这个digits已经可以被三整除，你就不需要再加到里面了，你只需要加那些不可以被三整除的数位，加起来以后看这个整体能不能这个和这个sumsam是和的意思。
。Some of the digits。这些说白了不是some of the digits，应该是some of the digits which cannot be division by three。不能够被三整除的这些数位加起来，看能不能被三整除，如果能够被三整除呢，它就能够这整个这个数就能够被三整除。当然了这个这个方法它是有证明的方法的，我们未来再说。这是一个被三整除的一种判断方法，所以说an integrity is divisible by three。
判断方法就是看他的 the sum of the digits，it's digits。是不是divisible by three？那么拜五呢？拜舞其实很简单，只要他的个位数是5或者0，那它就能够被5整除，所以说呢and integrity is divisible by five。你就看if it ends vs0 a zero or five。
你比如说10，65，或者你说一个很大的数，2320它也是2325只要是0或者5来结尾，个位数你就看它的个位数就可以。什么叫个位数呢？销售点前面的左边的那个第一个位就是个位，当然要有小数点就不在咱们的讨论范围内了，咱们现在说的一直都是整数范围，那他就可以被五整除。所以说呢这是被五整除的。那么再往后说，其实还有很多，比如说被九整除的，我们可以说一下。
An integrity is divisible by night if the sum of the digits is divisible by night，和三一样，如果你要看一个数能不能被9整除，只需要你把它所有的数位上的数字加起来，这个和能够被九整除，他就能够被九整除。那么和三一样，如果某一个数位上的数是9，那你就不用再加了，酒本身能够被她整出，你只需要加其他不是9的数为就可以了。
比如说你要算297能不能被9整除，对吧？你只需要把这个百位数的二和个位数的7加起来，然后看一下它能不能被九整除就可以了。至于10位上的酒呢它本身已经可以被9整除了，就不用再加入了。那么我们知道2+7是等于9的，他可以被九整除，那么也就是说297这个数呢是可以被9整除的，也就是说297is divisible by nine because two plus nine plus seven is 18and18 is divisible by nine，那么这个27 two hundred797或者是你说two279都可以，三分哈这种团体团体耐都可以，你这个数位怎么变都可以，只要你这个数胃的数字加起来能够被结构整除，那么这个数就可divisible by night。
Invisible就是可以被整除整除的概念。当我们学除法的时候才能知道，那么你只要知道我们现在说整除也好，都是在跟整数在做。在打交道，如果不能整除，也就是说整除，不能够用整数来表示了这个商这个除法，最终会进入到小数，小数的话他就不能够被整除了。因为小学小学三年级只要三年级以上的人都知道，就是说你在除的时候有余数呢就没有被整除，对吧？没余数，到了除了个位的时候，余数为0，那就已经是整数了。
就这么简单。那么接下来说被10整除的吧。An attacker is divisible by divisible by10。If it ends with a zero，只要是个位数是0的，它都可以被10整除。是不是？1001000 1万，这个我们单独还要再继续多讲。因为11百 1100万它是10进位的，十几位呢也就代表了我们的数为R我我们这个数数学的一个数字我们先学了对吧？包括其他的数字种，但是我们还没有学数位，数位呢就是10进位的。
那只要你最后一个数位是个位数是0，那么它必然可以被10整除。那你其他数位是什么？就无所谓了，被十整除，我只需要看你个位是不是零被100整除，我只需要看你后两位是不是失灵，对吧？就这么简单，能不能被1000整除，我只需要看你后三位是不是0就可以。所以说比如说50，110，或者我说跟你说一个31,330，只要我说到最后，他这个个位数是0，他就可以被食整除，也就是说他divisible摆摊，为什么呢？因为他的digits，arms，vista，对吧？
它的个位数是一个0。

数学因数 

中英双语课堂 

小学初中 

Factors and Greatest Common Factors因数和最大公因数
呃前几章我们先讲了什么呢？数的体系，数的体系主要先是从数的种类，然后呢正数负数和0以及绝对值是呃讲解一个数的总体的一个体系。那么就好像我们认识一个人，先知道他叫什么名字，他们都有男的和女的，然后我们后面呢可能会涉及到他有什么性格呢，他有哪些朋友呢对吧？他和谁是一家的对吧？那么这个就好像我们开始认识到了法特和卡门为txt come back，啊这个因数就好像是呃这个因数和公因数，包括后面我们会涉及到呃倍数和公倍数，那么它们是相辅相成的，有了因数乘完以后形成了倍数，有了倍数它分开了，形成了因数，对吧？
那么有两个数它们都有因数，那么有一样的呢就叫公因数。那么三个数他们都有一样的，是不是公因数也是公因数啊？那么有了公他们这些因数有了都有了倍数，有两个数都有的倍数就叫公倍数，三个数都有的倍数也叫公倍数。啊不数个数，它们共有的因数共有的倍数也叫公因数公倍数。那么它是一个有他也有他有他也有他，那么他们这个游戏是在我们可以把它当做是一个游戏，这个游戏是在什么范畴内玩儿的呢？
是在的范畴内玩儿的，是什么呢？就是整数，啊正整数负整数零啊这样一个呃范畴内去玩，也就是说嗯我们可以把数字当成是人类啊这个人类首先是有了引泰戈尔这些引泰戈尔互相去碰撞，碰撞就是说乘法乘法是什么意思呢？就是我跟你碰出另外一个数，我再跟他又碰出另外一个数，这种碰有的是二指根二胖，啊三指跟三碰，我说这个是皮尔布拉就是纯纯的一个血血统，啊中国人只跟中国人结婚，美国人只跟美国人结婚，他是皮尔布拉。
啊那如果中国人跟美国人结了婚，二跟三碰碰出了一个6，那它是一个就是一个文学对吧？那么数字里面也是一样的，在这个引胎格在这个整数范畴内，它里面先碰出了所有的整数，嗯也就是说你随便找一个整数，它可能是一个皮儿，布拉格就是某一个数碰出来的，也有可能是某两个数或者某三个数碰出来的，啊他们可能这个这三个数对吧？某三个数碰出来，这三个数中的某一个碰了一次，另外一个碰两次，另外一个碰三次或者更多次。总体来说通过这种碰撞，他得出了所有的啊你先得出了正的所有的印台歌，那个0呢本身就是一个什么都没有，它就是一个支撑点啊那么有了所有的正的引才格加一个负数，就是所有的负的引才格，对吧？
所以说数是怎么产生出来的呢？它你你在发现的过程中，你先发现了几个数，然后这些数互相碰，形成了所有的引泰格尔，其实引泰格尔呢如果再有一个分数线，啊分数线我可以用一个帽子来作为比较呃比喻，就是说这个帽子是一个人带了一个帽子，他的帽子下面有人上面也有一个人都是引才哥。
这个饮泰格尔呢用一个帽子作为中间的这个隔断，这个帽子就是我们所说的分数线，对吧？那它就形成了所有的分数，分数也是由组成的，是由部分的数碰出来的，对吧？那么这些碰触其他数的数，啊他总有一个罪基础的，你比如说4对吧？它可以拆成两个2，那这个二才是比它更基础的一个数。
啊那么二还能拆吗？其实二就拆不出来了，二只能拆成1×2，那么这个一可以和任何数的相乘，一和一承认和一个那个数字几，它还是自己对吧？啊所以说这个不算。那除了1×一个数自己以外，一个整数啊我们说的是整数范畴内，我刚才说了一成一个整数范畴内的数以外呢，啊如果他还有其他的可以拆开的可能，那他就不是一个最基础的书，啊我们再往开拆再往开拆，一直到他拆不了为止。那到这个程度上啊一不能算，我们就从二开始说，啊这个二本身他也拆不出来了。
三还能拆吗？你也拆不成2和1了，对吧？乘法啊我们说的是乘法，所以说我们这个英才格尔之间的这个整数的一个游戏呢，我们是从乘法开始说的，当时我们从小学去学数学的时候是从加法开始学的，其实我们在认识数的时候，首先是从数轴认识的，如果是数本身单单纯去认识呢，其实从乘法呢更容易理解。所以我今天再说的时候，我这个首先要说一个乘法，啊重返做出了菏，这个骇呢找到了你最基础的一个数，就是这些数呢是组成碰出其他数的一个基础的数字，那么这个基础的数字就叫质数。
啊当然了我们用中文来说的话，这个质数可能你不太容易理解它的意思，如果你用英文来说呢是这个其实就容易理解一些，你比如你要是看变形金刚的话啊，那个晴天柱它就是对吧？因为因为所有的汽车人都是从布莱尔，他给做出来的，啊就好像你这个所有其他的引才格尔都是由不安给碰出来的。
当然了我说了有米格拉特，也有皮尔布拉特，就是你就是纯的呢就是复合的。啊你在听的这个过程中，你只需要跟我说，你就慢慢就熟悉了。那么呃碰这个概念只要你知道，也就是碰我是从乘法开始说的，碰到里面有一个基础的书啊就像秦天柱一样，它是最初冒出来的，在他之前再没别的了。
啊那么他们碰以后通过自己碰和别人碰啊和别人家碰，自己家碰和别人家碰，形成了所有的有了以太格尔以后呢加一个负号，形成了所有的负的音太格尔对吧？有了负的正的引才个以后呢，再加一个帽子，就是分数线上面放一个，下面放一个，就形成了所有的分数，那么这些所有的分数都是由上面一个台个下面一个tiger组成的，也就是组成了所有的分数，分数也就换算换算成了所有的小数，那么也就组成了所有的有理数有理数。是可以通过去表示的。
任何一个最终来说一个整数它的分母是一，啊就是说这个分数线下面是一个一，啊呃有了这个概念以后呢就是说所有的就是有理数的，其实它都是一个分数。
分数用英语来说呢，我们可以说服X但是呢在这个现在这个讨论范畴内，我们可以说它是一个需求，它是一个比所有的书都是一个笔，什么形成的比呢？
是与形成的比，就是整数形成的比啊我们说到这个概念以后呢，就是呃很清晰的把把我们所讨论的范围呢说到了乘法上。啊乘法这个乘法呢碰出了，用碰出了所有的数字，啊包括了所有的嗯瑞斯诺南本啊，但是无理数是不能够不能够被碰出来的，啊无理数就是不能够被碰出来的，不能用需求来表示的，不能用比和分数来表示的数，那就是无理数了。所以说额一人一份儿。是不能够被碰出来的。
啊那么我们现在先讨论这个瑞士诺南本就是有理数，有的书里面呢我们先不说生成分数的和小数的过程，我们只说整数过程，整数过程在他在碰的过程中对吧？有一系列最初的就像晴天柱一样，这样的数他们叫重，那么就叫做质数。那么这些质数碰上了其他数那么你只要碰出一个数对吧？那么这个数呢就叫做这些质数的倍数。啊那当然了，碰完了这个倍数以后，可以这个倍数再继续碰，它成为了碰触了其他的他自己的倍数。啊那么这个倍数以后呢碰触一个倍数，那么呃碰触她的这些书都是他的因数，那么碰触的这些因数呢都叫那么呃价值就是说一个数只要是他碰触了其他数，那么碰触他的这个数就叫智。
啊那么发克特尔斯呢呃一个数就会有很多的factor，如果是一个prime number呢，他就只有一和它自己，因为它是一个拍对吧？我说了就像秦天柱一样，它是生成所有其他汽车人的人对吧？那他是他自己本身是不能够在分开了。
啊那么如果有两个这样的数它们都有，如果有一样的，那么它们这个一样的这个***就叫康门cat。啊用中文来说呢就是有两个数它们都是和数，他们和数就是说它可以被分解成为不同的质数，除了一和它自己以外，还有其他的对吧？
那么就有它它就有其他的菏有其他的因数，那么这个因数如果有一样的，啊那它就叫公因数，啊这个公因数就叫啊卡门，就是说我们有共同的话题啊危害something come就是说我们在某件事上有共同的一个利益所在，对吧？那在数学上说就是你们有共同的发展就叫那如果有充分发展，啊超过一个以后你就可以去比了，哪个是最大的？包括一个那一个就是最大的对吧？有最大的那我们就可以说有他们的发展。
那么我们现在来说一下英语的概念，什么叫*** the rest？就是菏主要说的是范畴内，我们就可以把这些东西都给它解决掉了。首先整数乘以整数得出的必然是整数，啊也就是说从最初的prime相乘得到了其他的数，这个其他的数再相乘得到更多的数，我们可以得到所有的英特尔。那么嗯这所有的只要相乘得出另外的数，那这些就是那个数的啊是吧？
比如说呢呃这个6对吧？62和3成。啊只要背乘法口诀，23就得6，对吧？那2×3得6呢？2和3呢就是6的。啊至于23是不是不是二，另外说你要看二能不能再分，对吧？另外只要它是6，只要它是一个数，那1乘以它自己也是它自己，对吧？1×6就=6，那么1和6也是它的。对吧？啊如果一个数它的法克斯只有一和它自己，那它就是它就是质数。啊也就是说呃从我们我们要规定一个清晰的范畴啊，零既不是质数也不是合数，一既不是质数，也不是合数，我们第一个质数范畴或者核数范畴是从二开始，这个二是一个质数啊，它只是1和2相乘得2，再没有其他的整数可以乘÷2，那么2就是最小的质数，而且是一个唯一的偶数指数。
啊再往上，如果他还有偶数，他必然可以为二啊整除，也就是说它的它的因数必然有二，那它绝对不是一个质数了，所以呢唯一的一个偶数指数就是二，啊在网上所有的指数都会是奇数，啊这是我们第一个先说的。
那么我们再返回来说6啊我们用英语来说6的因数有哪些呢？Tools for us speak to。
What the this course to sex Y C X I X X txt Y moto S X这么一个过程当中。所以我们就的价值是多少钱？
一个平方厘米。啊那么我们说呢嗯当你要找一个数，然后如果有你遇到了一个题，他说让你找一个数的因数，你首先可以把一盒他自己找出来，那么剩下的怎么找？你就看有没有什么数相乘能够得出这个数。当然了必须得是英太克斯，就是说必须得是整数，对吧啊？我们这个因数和倍数都是在整数范畴内去探讨的。你说这个一个小数或者一个分数相乘，它能不能得出另外一个整数也能。得出另外一个分数也能，但是那个呢就不是我们现在讨论的范畴啊，我们不用不用去看它。
啊所以说one fighting理发txt of南门ask C of what the me this number。啊他给你一个6你，就看除了一个他自己以外，还有没有其他的书呢？能够相乘得到这个6，如果有的话，那他们都是这个流的范畴，那么你找的必须得是因特尔整数，啊这里面有一部分就是这里面有一部分有一部分有一部分有一部分就是，看D yy、ndsl，啊一那他的的只有一，啊那么比一大的那就有两至少有两因数了，那就是一和他自己啊呃所以说0和1啊既不是质数也不是合数，但是但是它你说它有没有性，它有啊你它可以是有因数的，但是这是个核数的概念，是从二开始讨论的。
啊然后二是最小的呃质数，而且是唯一的偶数质数，只要你记住这个了，就可以了。啊另外呢这个一也就被显示出来了，我我们前两节说了有的数是的，比如说正号我们在教正负数的时候，我们说正号是我们给了他一个像超人的那个内裤上面有一个标叫标对吧？那么呃这个一呢也像超人一样，也穿着一个裤衩儿，上面也有，因为呢任何一个数其实它都是比如说给你一个6对吧？它其实是1×6，对吧？啊那这个一和称号呢是它是藏起来的，当你要找因数的时候就用上它，对吧？
1和6都是它的因数，对吧？有一。那么其实这个一除了一和乘号被引以外呢，其实还有很多，你比如说除以也是他下面的一个我们说有一个分数线，下面再写一个一，那个分数线和下面那个一也是藏起来的，对吧？还有没有影微子波能其实还有很多，我今天随便说一下，比如说小数点对吧？你这个所有的整数的小数点都是藏起来的，对吧？
那么小数点后面的0呢也都是对吧？那么你一个整数6你，6左边的那个10位数啊，百位数上面的0是不是也是以的？也是。那么这些数呢呃是不是有用呢？其实有用的。啊当你学到那个位置的时候，你需要用的时候都要把他们再拿出来去使用，所以呢我们会把所有隐蔽C波的未来呢进行组成。啊我们在讲这个呃知识点的时候呢，碰见了我们才说对吧？那么你需要准备一张纸把这个所有银杯子包的标呢碰上了你就写，碰上你就写写进去，然后你写详细一些，什么时候它是我们可以的就可以了啊，那慢慢的你就会组织出所有的引杯子报的人，那么你就会去学会去慢慢去使用它们了。

数学绝对值概念 

中英双语讲堂 

小学初中数学 

Absolute Value绝对值
今天我们讲一下绝对值，呃从我们去讲数的种类再去讲负数正数，再来到绝对值，其实都是在讲我们去认识数字，认识数字的目标是什么呢？就是我们学数学对吧？说白了文字题不说啊，就是说这个数数字的一些题对吧？啊是我们数学要学的一个最基本的一个目标，那么这个目标如果想实现的话，你首先得认识数字，这个数字呢它有一个体系，说白了这个体系是人为规定的，啊那么有的同学说，唉我不太理解为什么会是这样，其实你也不用去理解，有些东西就是定下来。
啊饺子为什么叫饺子呢？它是定下来的，你说说白了，如果当初你是发明饺子的人，你给他叫包子，那他就是叫包子了，对吧？所以我们在使用这个整个数学的一系列的体系和概念的过程中，我们首先要接接受啊他的这个所有的概念和他所创造的体系。
那么呃我们从树的种类再到负数，正数的这个认识再到绝对值都是在讲一个数字的体系，讲了数字的体系以后呢，其实说白了我们为的是什么呢？是在计算的时候我们先认识了数字，啊比如说我们要呃先认识小朋友或者先认识人，啊那么我们再用这个人呢再去啊组成一个社会，组成一个团队，啊漩我们再去工作，如果你连人都不认识，你说你叫一个狗啊叫一个猪过来跟你一起工作，啊那你其实是不可能的，做人的工作对吧？所以说呃不是说你跟猪不能工作，但是你要说你跟猪一起做一个人的工作，其实呢呃是不现实的，所以说现在我们是要认识一个呃这个那么这个数字就是说我们要认识这个数字的一个体系，当我们认识了数字的体系以后呢，我们才能够去算题。
那么这个数字的体系在说绝对值之前，我给大家总体的说一下啊，其实呢总体来说你要先认识数都有哪些分类啊它是怎么样组成的，或者说有哪些种，比如说如果你只认识整数对吧？那么你不认识、分数小数，啊那你就没有你见到分数的题，比如说我一个给你一个加法很正常的，对吧？
啊我今天吃两个饺子，明天吃三个饺子，我一共吃几个，你很容易能够算出来2+3等于5。啊你觉得你会了数学了，但是明天我不给你2+3，我给你一个两个半角子，三个又1/2个饺子是3又2/3个饺子。这个时候你即便是知道你要用加法，但是呢你家的时候你就是不会回家了，对不对？
啊你首先要认识这个分数和小数，你才能够知道分数和小数在加法的时候又有哪些规则？那么我要告诉你这个规则的时候，那你首先得认识这个数，如果你不认识这个数，我就没有办法告诉你规则，所以呢第一步是认识数和数位以及符号，认识了符号，认识了数和数位以后呢，我就可以告诉你规则，说白了，啊说白了规则是什么？就好像是法律一样，你在玩儿那个过家家的时候对不对？你先找齐了你的小朋友，然后你说你要玩怎么样一个游戏，你规定好你的规则，然后呢大家开始玩，只要大家执行你的规则，你这个游戏就可以玩，对不对？
所以说呢我们学数学对吧？先要认识它的一个数字的体系，啊认识这个数字是10进位，有哪些位数，然后都认识完以后呢，我们再去认识它的符号，加减乘除啊正号负号，都认识完了以后呢，我们再看加法，减法有什么规则，乘法有什么规则，除法有什么规则？啊成方有什么规则，开房有什么规则？啊我们都认识完以后呢，唉那这样的话我就可以讲完规则，我就可以给你讲运算了4则运算，啊是小学的。那么到初中以后它又涉及到乘方开方的运算，啊涉及到呃带了等式以后的这种啊方程也好呀，函数也好呀，啊那么这些东西全部都是跟规则去打交道，啊说白了你只要认识了事，我说的这些呃体系啊数字体系，数位的体系是为了呃实际未体系，你知道了这些以后呢，剩下的只是我去告诉你规则，告诉你规则以后，你只需要了解完把他备注，说白了你是一个小律师，对吧？
你作为一个小律师，你把这个这一套东西先认识完以后呢，你把他们之间的法律学清楚，那剩下的事情就是你怎么去用它去解决问题。啊解决问题的话主要涉及到你熟不熟练，对吧？啊你用对了没？
啊这些东西呢我们会通过实际的一些讲解啊做一些题啊，对吧？解决一些实际问实际的问题啊，再去去练习。那么他们的所有的这些基础就是你去认识他们的数字体系，认识数字体系以后呢，你再去认识他们的数位体系，然后再去了解他们的规则，就是这么一个顺序。
啊那么今天我们去说一下这个绝对值，啊绝对值的话呢叫X note外溜啊X路就是说你完全绝对的怎么怎么样啊，我说你这个人啊很聪明很笨啊就是说你真的是真的很笨，很聪明啊就是这么一个概念。那么用在数学里面，数学是一个科学，我们用在这个里面的时候，我们也用了日常生活中我们所用的词，啊但是呢我们会给他一个专门的呃界限去规定它。
比如说说的时候呢指的就是说这个数字啊他有了正数和负数以后呢，但是呢它们和0的一个距离啊总是固定的，比如说相反数，我们上一节说了，比如说正2和-2，他们虽然是两个不同的数，但是他们距离零的一个距离呢都是二，对吧？啊所以说不管他是证书呢还是负数，它总有一个和0的距离，再一个呢如果是相反数呢，它和0的距离呢又是相等的，啊所以说这是有一些可可用到的途径。那么这些除了用的相反数以外呢，它可以在计算过程中使用到绝对值，但是我说了在我们真正最终考试的时候，我个人认为这个绝对值这个概念呢仅仅是你理解它的概念就可以了，真正用的时候呢有的时候你真用绝对值去计算的时候呢，反而会把有一些问题变得复杂。
所以说今天我主要是介绍一下它的概念，那么在未来我们在遇到题的时候，如果遇见的绝对值的一个题，我们再单独去处理，那么如果遇到一些题啊需要使用绝对值概念的时候啊，有可能我们会避开啊只要能避开我就避开。
啊举个最最简单的例子，我们小学学减法的时候，就比如说嗯3-2=1啊，或者说5-3=2，只要我们背会了2+3=5的时候呢，那么我其实你背后的一个加法就背会了两个减法，啊比如说你背后的2+3=5，其实呢你就背会了35-3=25-2=3，啊这个是一个非常简单的一个问题，大家都可以弄清楚。
但是呢如果我用3-5怎么办？如果我用2-5怎么办？其实呢它等于3-5=-2，2-5=-3这是，当我们认识负号了以后呢，去计算的一个东西，说白了啊一个加法可以推出两个减法，但是还可以推出另外两个减法。比如说2+3=5，它可以推出3-5=-2，啊那么就是说如果一个大的数减一个小的数，我们就正常的推就可以了。
2+3=5，那5-3就=25-2就=3，这个懂吗？啊大家都懂，然后呢就是说如果是呃小的减大的的时候，其实它涉及到了绝对值的概念，啊但是用绝对值的概念去讲的话呢，很多同学都听不懂，啊那么我们要说在你答一个卷子的时候啊，他要的就是得数，啊他不管你用没用这个绝对值的概念，但是在初中讲这个课的时候，他是用绝对值的概念去计算的。其实呢没有必要。
啊就是说当一个小一些的数减去一个大的数，啊比如说3-5，只要你会5-3，其实你可以算出3-5怎么算呢？5-3=2，那么3-5呢？它就等于负的5-3。啊这个概念只要你记住了以后呢，你不需要使用绝对值的概念，就可以等于-2就可以算出来。啊也就是说呃在未来的课程中，我会再给大家设计到这个方面的问题。就是说一个加法首先可以推出两个正常的减法，正常的就是说大的减小。那么你会在大的减小了以后，如果你把大的减小的要换一个座位，啊因为加法可以换座位，这是加法的交换律，乘法可以换作为乘法的交换律，但是减法和除法不可以换座位，啊比如说5-3，啊它不能等于3-5，但是它有一个相反数的关系，5-3它可以等于负的3500，也就是说只要你汇了5-3，因为2+3你推出了可以推出2+3=5，你可以推出5-3=2，那么你既然可以推出5-3=2，其实你就可以推出3-5，啊因为它等于负的5-3，也就是-2。
也就是说你只要背1个加法，2+3=5，你可以推出4个减法。啊这样的方式呢其实很多小朋友都很方便的可以理解，可以算出小的数减大的数是等于几？啊它因为它可以很方便的把小的数减大的数变成大的数，减小的数，然后取一个 up this up这次我们说了就是相反数对吧？相反数这个东西对于任何一个小朋友来说都很简单，你只要在前面加一个符号就可以。如果他是正的，你加一个符号，它就变成负的了，如果它本身一个负数对吧？你再加一个负号，它就变成正的了。
啊这个东西特别简单啊那个T net迫，对吧？这个特别简单。所以说呃初中的时候，其实你在讲复数的时候，你再讲一个小的数减去一个大的数，其实是使用绝对值概念去计算的，但是呢如果你用绝对值计算的时候呢是非常一个呃复杂的一个逻辑过程。那么如果说一个小学生就直接使用这种方式去计算的时候呢，其实特别简单，你只需要背一个加法口诀就可以了。2+3=5。
啊那么呃你背会了以后，相当于你既可以算大的减小的，也可以算那个小的减大的，只需要取一个相反数就可以了，这就是为什么我说绝对值的概念呢其实并不是很重要，啊绝对值这个概念只有当你在遇到了一道题里面确实就有了绝对值的符号，绝对值符号是什么呢？就是在你这个区域范围内加了左边加一竖，右边加一竖，这就是绝对值的符号。啊有了这个绝对值符号的也就意味着呢那你必须得用绝对值去计算，或者说这个题里面他的文字里面就说绝对值，那你就没办法了，这种题你只能是用绝对值去计算。
啊但是除了这种以外，啊比如说啊他们讲课的时候初中啊这个涉及到复数的一些运算，那么其实可以避开绝对值，如果避开的话呢只要能够你能够理解，能够达到一定的速度，就可以避开它是没有问题的。
那么现在我们来讲一下这个绝对值，啊绝对值作为一个概念是必须得学的，毕竟有一些题型有一些题里面还是会涉及到。啊同时呢绝对值这个概念本身也是有价值的，它主要的价值呢我认为是体现在了一个数轴上。我说了我们在认识数的种类，包括正数负数0的时候呢，都要从一个数轴那边乱上去下功夫，一个那门儿烂呢我说了你只需要在你的纸上画一个直线，啊你可以画横的可以画竖的，我说了一般来说呃这个呃一个温度计，啊那它就是一个数值的。
那本赖。但是呢我们数学里面最初涉及到的所有的那边来，我们一一一般来说呢都是横着画，啊横着画，横着画完以后呢，右边画一个箭头，啊它代表着右边无限的延伸，其实它左边是不是无限延伸，也是无限延伸的。那么在这个上面这个数轴上，它的好处是它可以表示出所有的数种，啊包括无理数，啊因为无理数如果你用数字来表示，他其实是很困难，他表示不出全面的一个信息，但是呢在数轴上你是可以清晰地看见它有多长，啊只要你规定好单位，啊单位长度，那么这个无理数的长度是可以确定的，就是这么长，对吧？所以它是可以被认知的在数轴上。
那么有了竖轴以后呢，我们也认识了0零刻度作为一个跷跷板的一个支撑点，对吧？右边是正数，左边是负数，那么认识完以后呢也很方便的就可以认识到绝对值这个绝对值说白了就是这个数字距离这个0，也就是说这个圆点啊这个跷跷板的一个支撑点的距离，就是它的绝对值。
那么也就是说呃提醒你一下，比如说这个是正二这个数，那么它距离原点的一个单位长度就是二，如果我是-2，我是一个负数，对吧？
那它距离绝对这个原点这个零点的这个距离呢也是二，也就是说呃这个距离原点的距离和它的正负呢是不相关的，是根据它距离原点的距离来相关的，在图上呢你非常清晰的知道距离的概念，啊说呃我现在距离你啊你站在我面前是这么远，那你往后退就是比我远了对吧？这个距离你是非常清晰的可以判定的。但是它跟方向没关系，你在右边在左边，不管你在右边离我这么远，而在我左边离我这么远都是这么远，这就是一个绝对值的概念。
那么在绝对值的应用上呢，它当然首先应用到了一个小的竖拣大的事怎么办呢？对吧？你先判定了那个大的离得远，小的是啊，你可以把这个远的减去小的这个进的，然后呢再判定它的一个符号啊。但是呢我说了这种方式呢，说白了你在逻辑上走了更多的一个步骤，啊你还不如去使用一些步骤，少一些的方式。
那么呃我来教数学的话，我基本上是会进行选择的。
有一些人可能说那我把这个也教你一遍，我把那个也教你一遍，但是呢我个人认为如果有步骤少的，那我为什么还要去看步骤多的？对吧？当然现在有一些题型说我考你的时候，我就把这个步骤考你一遍，让你用文字说出来，那这个时候如果你没学呢这道题答不出来的，对吧？啊那所以说说有的时候可以再给你说一遍，但是用很明确的告诉你，就是用那个步骤少的，非常简单对吧？你吃一个饺子只需要张开嘴塞到嘴里就可以。啊你也可以说呃这个用勺子把它放到碗里，再用筷子再夹出去什么，我再跟你说几步对吧？
那你当然还是会选最简单的这是一个最正常的选择。嗯。那么今天我们来说一下esprit外溜，这个管理呢说白了用中文说它就是一个这个数字距离原点，啊也就是这个跷跷板的支撑点，就是这个零点的一个距离，用英文来说呢就是就是一个dx路途外流of蓝本，也是一次的事情。什么啊啊啊。嗯。他的它从它距离这个零点的一个距离在什么上呢？就是说and the life呃这个呃 is好像是二三十万。
所以说呢 df sat刘易斯office host啊帕斯提夫，我们上一节教了就是证书的问题，啊正数的意思，稼就是复数的意思。那么就是说呃绝对值永远是正的，说白了它是只要我把一个数我给你放上了绝对指标，那也就意味着它肯定是正的吧，当然了我可以在这个绝对值的标的外面再放符号，那也就意味着它变成负的。那肯定是负的对吧？啊如果再加负数负号那个题目的那个题目那就变正的了，这是一个其他方向的一个判定。总体来说只要我加了绝对值，那么这个本身这个数是变成正的。
啊因为绝对值本身这个概念就是一个距离概念，这个距离概念呢是没有负数的，啊你说我跟你的距离它不可能是一个负的，不管你在我左边还是在，我右边啊你距离永远是一个正的，所以说呢esprit6 I C past V N dk的up为Andy cat up，听two ball is耙是什么意思呢？就是说竖线啊在数学里面在英语里面就半死，就是竖线的意思。我们把这个数字两边都放上竖线，也就代表了绝对值啊绝对值的一个呃标志，就是两根竖线啊。
那么举个例子，如果你把一个-4这个数对吧？呃那个提法你把它左边放一个竖线，右边放一个竖线，那就代表了-4的一个绝对值，那么它代表的一个中文意义呢就是说这个-4距离原点，这个零点就是跷跷板的这个跷跷板的这个呃支撑点到底有多远？一个距离。
啊那也就是说你从上去考虑的话，啊一个数轴上去考虑的话，很容易就可以看到啊。因为当然你必须得在我讲这个数字种类啊付出正数的时候，你要在真正的里去实践画这个数，啊你画出箭头画出直线，画出箭头画出0，然后给你一个数，你画出每一个啊那个呃单位长度对吧？单位长度有你的对吧？你要有一个一厘米还是一是多远？
那么二跟一肯定是一样隔的一样远，对吧？你画好以后呢你画出-4，啊它距离远点当然是4的距离，4距离原点也是4的距离，对吧？那么也就是说-4我画了一个绝对值的标啊，它代表的呢是-4距离原点的距离，那么它首先是一个正数，第二呢它肯定是距离是4，对吧？
所以说呢这个呃-4的绝对值怎么读呢？由于英文就是累格体，适合每个地方都有这样的东西在里面。这个事情我们要做 DIY因为这个-4呢在这个呃竖轴上，距离这个原点的距离呢有4个空格，那么这个空格我说了，就是你自己画的时候一定要画出一个均衡的一个距离，对吧？每个距离代表一个单位。那么不管你画的单位有多长，那么它总是4个单位的距离，那么-4就是距离，原点就是4个单位的距离，那么-4的绝对值你在-4的两边画两个半这是，画两个竖线的，它就是4，所以-4的绝对值就是4。
我们再举一个例子，如果你在一个9这个数字里面画两个竖线，那么代表这个它代表的意义呢就是9的绝对值，那么我们我们怎么读呢？啊用中文就是说酒的绝对值，用英文来说呢就是早上来我说了是绝对的意思，外流呢就是指。数值那么就是绝对值啊。那么呃这个 so the next啊酒的绝对值呢就是酒说白了，不管它是正的还是负的，你其实求绝对值的时候就是把那个号去掉，啊就要这个这个数就可以了啊其实呢如果我们讲绝对值的时候呢，说白了就是如果我们只学了正整数和0是没有必要学绝对值的，因为它不涉及到这个唉这个距离的问题，那么学了负数以后才涉及到绝对值，还有一个就是小的数减大的数的时候，涉及到了绝对值啊它其实就是说你把那个号去了，剩下的数是多少？
啊咱们用一个普通的话来说，非常平淡的话来说，大家都可以理解的话，那就是你把所有的号去了，对吧？
你把那负的去了正好去了，就剩那个数了，那就是它的绝对值，它代表的一个意义必须得你要想到数轴上，就是说它距离原点的那个呃距离，那么咱们刚才说的英语里有有有英语里面有一个酒呢有拿一杯一丝，他就是空格的意思，这个空格就代表呢你的单位距离，啊9个单位距离呢还是4个单位距离？嗯。这个F the ball up is more。是吧？所以说我们要把这两个方向都要把它做到位个的爱他们的爱好。
这个呃意思是什么呢？就是说呃这个绝对值的符号是里面只能放一个数吗？不是的，它可以放一个运算，你比如说你学了2+3=5，这个2+3这个运算也可以在两边分别加上一个半就是一个竖线，它可以包含运算，就是说在这个绝对值符号里面，在这两个半里面，你可以放运算，放完运算以后呢也就是说这个办呢具有优先权。当然了你在这个班里都可以放括号的，没有问题啊，但是呢它代表了一个优先权，如果你在这个瓣外面还有其他的运算符号，那么你必须得把这个瓣里面的算完，而且取完绝对值以后，你再跟外面的符号进行运算。
啊这个涉及到了一个什么问题呢？就是说我们在交完加减乘除乘方开方以后啊，我说了其实咱们数学学数学第一个是学术的种类，第二个是学术为，第三个呢是学。它的规则规则里面首先是家的规则，检查规则成的规则除的规则，对吧？学完这些以后就把它们混合起来，混合起来以后就有一个顺序，那么这个顺序的话呢，呃就是涉及到了一个规另外一个顺序规则，这个顺序规则呢我们说了，其实我们从小学到初中呢是分成很多次去讲的，因为他先讲了加法，他没法跟你说乘法的顺序，对吧？
那么其实呃我们作为一个刚学习数学的人能不能理解呢？其实是可以一次性讲完也可以理解。啊就是说呃绝对值这个顺序其实在一直到初中都没有去讲，啊那么其实呢你除了绝对值以外，其实有乘方先乘方，对吧？然后呢有括号，先括号，啊括号是从小的一直往大，然后呢是先乘除后加减。那么如果有了绝对值，那你这绝对值是排在最前面的，你如果这绝对值算不完，你别的都别算，啊所以说这个绝对值是排在最前面的。所以说我再说一下这个顺序有绝对值先绝对值，然后是有惩防县城方程，玩方以后呢有括号先括号，括号完了以后在先乘除后加减，这就是一个整个你四则运算，小学学的就是加减乘除。
那么到了初中以后呢学到了乘方开方和绝对值。那么有了所有的这些包括有括号以后呢，它的顺序就是这么一句话，说完了，你只要每天记，就这么简单一句话三秒钟说完的话你一下就可以记住，对吧？有绝对值先绝对值，有乘方先乘方有，然后呢是括号括号是从小括号到大括号，然后呢先乘除后加减啊就这么一个简单的一个顺序。只要你记住了以后呢，你就可以按照这个顺序去解决所有的运算问题。那么我们回到绝对值这个概念里面说绝对值它的这个符号里面不仅仅是可以放一个数，它也可以放一系列的运算。
那么呃这个运算结束后，你把这个绝对值算完了才能去进行外面的运算。
当然里面如果有其他的东西，比如说乘房啊括号是按照我刚才说的那个顺序去进行的，啊那么认识到这一点以后，也就是说他说了这个绝对值不是只能针对一个数字，啊它可以是一个啊新博乳品思想包是什么意思？它里面可以放一系列的东西可以放括号可以放加减乘除都可以，那么你在这里运算完以后呢，再往外去辐射，啊辐射到什么呢？
比如说我我往绝对值外面放一个负号，那么这个负号什么时候才能产生影响呢？是你把里面都算完以后啊得完绝对值，外面的这个符号才能对你最终的这个绝对值的这个数进行影响，那么绝对值产生的是什么影响呢？是把所有的数变成正数，不管你是什么书啊都会变成证书，如果是0，那他还是得咱们就不说了啊。这个就是绝对值的一个注意事项。
那么一个什么样的状态呢？在这里面呢我们可以看到这是一个什么样的特点？呢就是说。
那你就想了，这里我说的是什么呢？有的时候呢就是说在这个绝对值号的外面，就是这两个瓣的外面，它可以有正号有负号。
啊那么呢你有一个顺序你先想啊你然后在想的那种感觉是怎样的。啊因此啊就是里面绝对值这个符号的里面你先算完了，你再说外面你里面没算完，外面都白扯啊，就这么一个意思。那么呢也就是说你first AD I stay up for this is the ball is。啊先把这个两个竖线里面的东西算完，取完绝对值，这样的话可能会更好一些。啊你外面有符号也好，要有正号也好，有其他运算也好呀，你再说外面的事啊，所以说这个绝对值呢这个符号是有非常高的优先权的。
嗯。那么我们举一个一个藏头阿姨个张破旧例子啊，比如说6的绝对值在这个绝对值的外面我们放了一个负号，负的6的绝对值这是，我们用中文说的一个顺序。呃一开始你可能在小学生在读的时候，他的语言上啊在组织语言能力上，他很难说出负的6的绝对值，这么多的是什么意思对吧？你可以把它分解开来，6的绝对值对吧？
前面又有个负号，那就是负6的绝对-6的绝对值，那么你再加一个的呢就更加分析的清楚一些，所以我们说负的6的绝对值，那么你在算的时候谁先优先呢？是6的绝对值先优先对吧？你里面是6也好-6也好，我说它是一样的答案，它就是6啊这个绝对值，把它郑郑树也好，它的相反数也好，全部变成了正就是6。啊也就是6的绝对值就是6，然后你再去啊就是你在算上这个负数的这个问题，负号啊你已经绝对值等于6，再加一个负号那就是-6，对吧？
所以说我把刚才的顺序再说一下，负的6的绝对值怎么去算呢？就是df刘xx is the X6的绝对值是6，但是不知道该怎么办，这个能力是非常强的，的，就是这样的一个状态。是不是这个意思啊？啊所以说这个嗯说这个绝对值可以变换很多东西啊我们再举一个例子，比如说负的16的-16的绝对值，然后呢我们在往这个绝对值的后面再加一个符号，啊怎么读呢？就是负的-16的绝对值。
当然了我说不会有人出题到了考初中时候，啊你小学考初中的时候说给你写个负的-16绝对值，说这个怎么读？其实没有人会让你读，啊我在这读是为了因为我只能用语音去跟你交流，我读一下它的代表是什么？你先写一个-16，然后两边加一个半，就是加两个竖线，在竖线的左边就是外面再加一个符号，就是我现在读的负的-16的绝对值。啊那么这个负的-16的绝对值，我说了你不一定非得要会读，但是你得会看。
啊首先你要知道一个顺序，啊这个顺序是一个什么呢？说白了是一个弱，就是一个规则，啊你了解了这个规则以后你去执行就可以了。那么我说了绝对值先要执行，它有最优先的权利，那么负的16的绝对值是你先要算的，负的16的绝对值是多少呢？是16，对吧？然后你再把那个负号加上，所以呢负的-16的绝对值它就是-16。所以说这一带这一块呢我说了你不需要会读，如果你不会读，你说负的-16绝对值我听不懂，没关系，你只要能看到它，看到它以后你能认识绝对值的符号，你知道绝对值的符号是要排在优先去处理了，你处理的时候知道怎么去处理，处理完了以后再把那个负号会加上就可以了。
只要你会算就没有问题。啊那么呃我用英语来说一下呢就是说呃大概是一个什么样的关系呢？得net C M I Z up the ball is to get us。大概是什么样的？虚拟化。所以呢负的-16的绝对值等于-16啊。嗯。有的时候你还会遇见，比如说在绝对值外面呢又出了一个数，对吧？比如说二，然后写了一个绝对值，这个绝对值的这个半里面是-4啊，呃再跟你说一遍，就比如说你写一个-4左右，两边写一个绝对值在它的左边你又写了一个2，那是什么意思呢？
呃这个就是说说白了呢这个东西和你和你运算先先不要扯上关系，先要你要读懂它的意思，你可以把它当成一个外语来看。啊有的同学说啊这个我不会算，为什么不会算？因为你不不会读，这是第一个问题啊，你要会读了他呢，你可能知道他的所有的运算的一个规则，谁先谁后呀，怎么算呀你就会了，对吧？嗯所以说呢这个你首先要了解的第一个问题就是说嗯乘法的时候，他有。
乘法到底有几种符号可以表示呢？比如说2×4啊等于8，对吧？那你在2和4之间你写一个乘号就是2×4的意思，对吧？那你如果点一个点2，在中间点一个2和4正中间点一个圆圈，这个点实心的，它也是代表了乘号。啊那再有一个方法，你把二用一个括号括上，再写个4也用括号括上，它也代表了2×4。如果你把这个括号二括号二和括号四中间也点一个点，它也代表2×4。如果你把这个二括号和四括号中间也写一个乘号，它也代表2×4。
那再说一个，你把4用括号括上，前面写个2它也是代表2×4，那么有了绝对值以后呢，你把这个4用绝对值或者-4用绝对值写上对吧？我绝对值这个半扩张，你外面写个2，它也代表2乘以这个4的绝对值，这就是一个乘法的一个符号，对吧？
那么乘法的符号咱们其实还没有说完，我一次就给你说完了，比如说你有一个字母，啊一个必对吧？你要乘以一个2，那么一般来说会把这个二写在前面，B写在后面，一般来说2B就可以了，中间什么都不需要，就是2×B的意思。那么既然它是2乘以的意思，也就是说你可以用我上面说过的所有的方式去表达这个2×啊。那么也就是说二成一比，你不光可以用乘号，一个点用括号对吧？用一个括号，你也可以用美库什么都没有，就是2就是2乘以。
那么再说我把换成以后，未来你会学很多东西都是设置为一个未知数，不知道的可以变的一个量为对吧？那你设置为是可以的。
那么2乘以就是2，对吧？反过来3×20就是3，如果是一个平方呢？平方可以它代表2乘以的平方，对吧？那么如果是两个字母呢？比如说A和B相乘，你可以写成那就是那么你懂了这个意思以后呢，我们再拉到绝对值这道题里面，比如说-4我用一个绝对值半包住外面写了一个二，它代表什么意思呢？它代表的意思如果你懂你翻译出来啊比如说我跟你说句英语，啊然后你只要翻译出来了，你就可以进行操作，对吧？我说一看一闹，啊其实我说你可以吃饭了，如果你不知道它是可以吃饭的意思，你也不会去吃饭，那么现在我给你翻译完上面的这个问题以后呢，我说一个-4被一个绝对值8给包住，外面写一个2对吧？那其实是2×-4的绝对值的意思，只要你理解完以后，你就可以继续往下操作了。
那么再往下操作，就看你第一个我是顺序，顺序的话是绝对值有限，对吧？那么你先要看-4的绝对值，-4的绝对值你知道优先了，那你先去算就可以了。那你知道了以后呢你算你会不会对吧？-4的绝对值和4的绝对值它都是要取4的，这个你会了，那你4就得出来，对吧？四出来以后呢剩下就是×2了呗，对吧？那2×4所有的人都会对吧？说白了这个-4倍绝对是包过，包住以后外面放一个2，它怎么读呢？
是2×-4的绝对值，对吧？那么你要其实可以下一步就变成2×4，再下一步等于8，这道题就算完了。啊那么2×-4的绝对值呢就是第26条。嗯。这个就是我刚才说的那个那么nite-2的X root86呢就是-2，对吧？有了-2以后你再-2呢就是所以说嗯嗯所以说其实有了绝对值的这个时候呢，只要你 Y刘inside the ball is一开始的时候，那么我们前面说的这个成成号的一个不同的表达方式，其实呢只要你熟悉了以后呢就可以了，如果你没见过你不熟，你见着以后你会发呆，你不知道它是什么意思。
说白了，啊也就是说moto鼓励K身就是成乘法啊墟可以看出来它们是怎么样的呢，啊有一些不同的表达方式not stay with称号。Office more say in what like比如说成好呀一个点啊，括号呀或者指一个后面这个数加上括号，前面只写了数，对吧？它也是。那么也就是说这个数呢还可以改成字母。你看你看你看，you up。字母。字母是什么呢？就是一个变量，字母可以代表所有的数字，啊它就是变量，变量就是又keep the next up man keep流图N dk的moto X N那个就是乘以对吧？3就是3乘以。
那么我们用英语来说呢就是的意思是什么意思呢我们讲的是什么呢？就是说我们的我们不知道这个数是多少，所以我们用一个字母来代表任何一个数。如果你知道了它有一个限度，比如大于0啊，小于0啊或者大于等于0，你都可以去规定它。如果你不规定呢，那它就可以代表任何数。
啊那至此为止呢我们就说完了所有的一个绝对值的一个概念和用途。我说了绝对值呢如果你遇到绝对值的题，你会遇到去使用绝对值的概念，绝对值的概念呢我们不光是说了概念，而且说了绝对值它是一个它里面可以放运算的，啊不是只放一个数，再一个呢绝对值可以和前面一个乘乘乘法去相关联对吧？还可以成一个和一个负号或者正号放在外面去相关联。除了这些以外呢，放其他更多的运算也是可以的，但是其他更多的运算呢说白了就是正常的一个你平时的加减乘除4则运算了对吧？
啊所以说他只要你完成到了，会往绝对值符号前面加负号，会往觉得是前面去加一个乘乘法一个数，那你就已经会处理绝对值关系了。那么更复杂的绝对值的题，当我们遇到了以后我们再说啊。我说了绝对值这个概念，我个人认为就是说理解完以后差不多了，那么你在使用的时候在初中啊他说一个小的数减一个大的数或者说减法它都分析成了，你把减法都变成一个加了一个正数，然后怎么怎么样去用绝对值去处理，这种方式呢？本身增加了一个逻辑上的个步骤，让你把一个简单的问题变得复杂，所以呢我不赞成我会给给你一个更简便的一个方式去解决问题，因为毕竟在答卷的时候，我说了他只是要最终的答案，啊只要你答对了就可以，所以这就是一个绝对值的概念。
那么总总体分析要前面我们说过的三个概念，一个是迫和那个挺难的，啊就是正数和负数还有数的种类对吧？然后呢认识了复数正数以后呢我们再去认识了，那么他们基本上都是在和在那个做做一个有关系的一个事情，那么赖呢既可以表示所有的树种，也可以清晰的理解到负数和正数，也可以非常直观的看到绝对值概念，啊所以我们一定要把那本赖弄清楚，弄清楚以后呢就理解了这些概念。啊这就是一个总体的一个问题啊。

数学正数与负数 

中英文双语课堂 

小学初中教育 

 Positive and Negative Numbers 正数和负数。
昨天我们讲了数的种类，其实数的种类也可以说是一种数的分类，那么数的分类其实也不是只有这么一种，它的变化和数的分类始终是在混合的状态下，按照不同的标准去分类，它有很多不同的方式，也有不同的种类。
从小学一直到初中学完时数为止，那么学数的种类是通过很长的时间才最终完成了数的种类的一个跨度。但是其实即便是一个小学一年级的学生，他也很容易的能够理解到数都有哪些种类，哪些种分类，这个东西和几年级才可以学，是挂不上钩的，谁都可以学。
那么了解数的种类其实是对于学习数学一个至关重要的事情。
什么是数学呢？什么叫math呢？他就是说你先要知道数学是跟数字在打交道，那么数都有哪些种？你首先要知道数的种类和分类方式，你也要知道与其学完整数的加法，再去学带复数的加法，再去学小数的加法，再去学分数的加法，不如你先知道所有的种类，然后一次性的学完，所有数字的一个加法，也是另外一种途径。
这样的串讲方式，可能有的同学说我现在刚上小学，我是不是学的太多了，其实不是。数学这种学问它是如果你学的已经比要求的难，那么你答要求简单一些的题的时候，其实是非常随意的。那么如果你学的是简单的，你是不可能答的了男的这样的题的。那么既然你在初中之前所有的东西本身就都要学，那么你还不如能学完一次，学完，也是一个很好的办法。
另外数学和语文，比如你背课文来说，其实你数学你一次你也记不住，你也是要反反复复的去听去背，总体来说要经过一个反复听的过程，然后听完了自己才理解完，在听的过程中理解了，理解的越来越快，熟悉了以后自己能够阐述自己说出来，自己说出来以后再自己去应用。遇见相应的情况下，你见到一个题也好，见到一个事情也好，你能够跟你所学的知识对上钩。对，上钩以后你还很熟练。
那么这样的一个过程其实是一个反复过程，也就是说既然要反复，你反复一次，不如你把所有的知识点一次性的一个链条性的反复，而不是说正数反复三年，复数反复三年，然后正负数一起，等你还没反复就该考高中了，那么这样的话还不如从很早就开始进行反复，这就是为什么我要进行一个初中高中的一个串讲。
今天我们讲的是一个poss T和next best，正数和负数，要说正数和负数的话，我们还是首先要从一个数轴开始说起，我说了数轴可以表示所有的数种，那么如果你一开始是从数字开始去接触数种的话，那么你很多时候很难去理解说这个符号是什么意思，但是如果你仅仅是从数轴上来看，大的小的，中间的、左边的、右边的还是很能理解的，因为任何一个小朋友他都能够知道左边是哪，右边是哪。一根线对他来说一个图画对他来说并不难，但是如果是一一段很复杂的语言就比较难。
那么所以说我们先画一个就是一个数轴，数轴，你可以画两个箭头，一个从左往右画一根，直线很简单，右边画一个箭头，左边画一个箭头，什么意思呢？越往右越大，你可以在右边写一个大字，你可以说然后你再往左画一个箭头是越来越小，那么归特大于less就是小鱼。你画了一个数轴，那么有最大的无限大的，有最小的无限小的，那么在正中间又不大又不小的一个最中间会是什么？它就是0。
零说白了在数轴上所显示的是这条直线，的像一个比如说你荡秋千跷跷板的一个终点，两边是一个均衡的，左边大的也有那么多，右呃右边大的也有那么多，左边小的也有那么多，这样的话你找到了中间点它就是0。在日常生活中我们用到0的时候主要代表没有你比如说你吃饺子如果你没吃的话，那就是零个饺子。
其实如果它不仅仅代表没有，它经常会代表在中间的一个临界点。你比如说气温，摄氏度这种用摄氏度来测量气温的这种单位它就是零度，也就是说水冻成冰的时候的温度就是0度，那么比它热的话冰就化了，比它冷的话是负值的话，兵彻底冻住了，越来越冷了。所以说这个是一个临界点。
你比如说如果说海拔把海平面作为一个高度作为临界点，那么比海海平面高的正的如果比海平面还低的一个高度，就是负的，所以就有海拔正海拔和负海拔还有0，0的话和海平面相同的一个高度，那么其实这些都是一个那么烂都是一个数轴在数轴上你不管是表示温度也好，表示海拔也好，还是你纯粹的去表示一个数据，那么这个数字都不仅仅是只有平时我们所使用的正数零它还会有负数，也会有分数比零大比小的数，比如你吃饺子，你不可能只会吃一个两个三个，你也可能会吃一个半，比一个半少一点，比一个半又多一点，又不到两个，这都是有可能的。
那么这样细分下去的话，比零大比小的区间还是有很多的点。这些点都是分数和小数才能够表示出来。
那么除了这些点，还有没有什么点在数轴上用分数和小数都不能表示的？
的呢昨天我们讲过了，那就是无理数。那么无理数在用数学在表达的时候，很难，也就是说如果我们是从数字去发现数学的话，可能要用很久才能发现无理数，也有可能无法去理解一个无理数，你可能最初的直观的方式就是说它是一个无限的不循环小数，你可以去形容它，但是它到底是一个什么？你还是不理解。
如果在数轴上去表示的话，比如说直角三角形的斜边或者是圆周率，那么它们都是一个无限不循环小数，用数字来理解它的话，可能不够具体。但是如果说你用一个图形去表示的话呢，这个长度这种事物的长度它就是一个无理数，那么用数学能不能去表示出这个数？说不能完全的表示，比如说根号2它是一个无理数，那么根号二你知道它是无理数，但是它到底是几你还是很难去知道，这就是一个对数种的认识。我们对数种达到了彻底的认识以后，我们接下来才能去算算数，如果你的数字都不是完全的了解，那么你在算数的时候，你本来是汇了2+3=5了，但是我现在给你一个2.5+3，你本来是会算的，但是你没见过这种数种，你就不能够算旧卡到那了，这就是认识数种的一个必要性。
今天在数种的基础上，在不知道啊的基础上，我们来认识一下正数和负数，用英语来说它就是poss T和Nike挺number，post用中文可以解释成为日常生活中我们可能会说是一种积极的乐观的自信的意思，那么在数学里抛就代表正数，的是消极的、有害的、负面的，缺乏热情的这样的一个意思，那么Nike T在数学里就叫做复数，那么正数就是复数就是negative number。
那么用英文来解释一下 port number是什么？ Past the are used to describe quantity is greater than zero。就是说比零大的数量，它就是正数。
这个数量当然按照我们说的种类的上一课来说，它包含了整数和不是整数的部分，当然就包含了分数、小数、有理数、无理数，只要比零大的都是正数，那么0既不是正数也不是负数，它是处于了正数和负数的中间，在那边儿烂上，在竖轴上就是我让你画的那条直线上，他是在正中间的，你可以把它想象成一个跳跳板对吧？跷跷板如果没有的话，你可以在自己家门口找一找那种公用的那种小朋友玩的健身的器材的设施，经常会有跷跷板，你比如说天平也是这类的东西，它两边是平衡的，相当于一边是正的，一边是负的，它的正中间就是一个又不正又不负，它只是处于一个支撑点，这个支撑点就是我们所说的零零用英语来说，复数用英语来怎么解释？
 Like the year。那么这个词我刚才解释过，了它是一个形容啊的意思，形容什么呢？来自哪个地方的？少于0的所有的数量，它都是一个复数。
那么这个正数和负数来说，我们可以从多方面去理解。我刚开始说了，我们要先从数轴上去看它，从数轴上看完以后，我们可以举例去看它，比如说从温度计，从海拔看完以后我们再看，他从数学角度上来看，他又是怎么去表达的。那么证数来说，其实在它的数字的左侧有一个加号，这个加号除了叫嘉好以外，它也叫郑好。
那么在这个数的左边如果写一个减号，它除了叫减号以外，也叫负号。也就是说一个人有两个名字，加号有两个名字，一个叫对吧？它也可以叫正号。细节。如果说是一个减号，它除了是羽，它也是一个负号就是大家可以看到，所以说理解了这两个东西以后，也就是说我给你写一个数字对吧？我在前面写一个符号，你就知道它是正的吗？还是负的？如果是0它既不是正也不是负，这样看清楚了以后，在数学上就挂上挂上钩了，也就是说数学我们从理解的时候先是从图形入手，然后我们去能够看一些他所使用的例证例子。
看完例子以后，我们再看纯数学的messi my T code，这样的情况下他是怎么去显示表达的。除此以外，上面我说的证好，他还会经常隐藏起来，隐藏起来我们用一个给它一个标志，就好像超人裤衩上它会有一个爱撕的标对吧？
我们会给某一些符号也给一些标，就叫做引申的标，引申的标以后我们叫做的标，就是说证号你看见一个正数，比如说以前我们学过的小学学过的大部分的数2356，2+3=5，他经常前面并没有出现正号，为什么？因为这个正号是可以隐藏起来的，当然隐藏起来的这种性能的这种数学的符号，包括数字，不仅仅是只有正号，还有很多其他的。那么当遇到的时候，我们再一个一个的细说，你可以找一张纸专门啊写一个画一个超人在他的上面写一个标叫，那么这样的话你慢慢的积累就会找到许多隐蔽的标啊。
这个的标是非常有用的，因为当你计算用到它的时候，你还是要知道有它，而且你还要使用上它，这也是数学有的时候你算题的时候必备的一个知识点。那么接下来我们来看一下 and night the art搜矿tt set up the X我们在这里其实这么说数学数字正数和负数经常是用来表达一个相反的的方向的或者是数值的一些数量。他们也就是说为什么我们小学只学了大部分时间，只学了证数就够用了，其实你只用正数也是也是可以的。
但是有的时候用了复数以后更方便，也能解决一些正数有的时候解决不了的问题，这就是复数产生的一个原因，所以它总体的一个正数和负数的特长，它就是能够表达完全相反的两个量还是我们用温度来说比0度高的水冰就化成水，比0度低，水就变成冰了，它是一个完全相反的一种情况，那么这种情况我们可以使用正负数来表示，但是你说我就不用复述，我光用正数也是可以的，在计量温度的时候也有用，没有使用负数，从用最为最低的人类能找到最低的温度作为0度，那么所有的温度都将成为正数，所以说负数并不是说必须使用，有的时候只是方便，另外学习了负数以后，在整个的计算和计量过程中会给我们带来一些很方便的地方，这也是复数出现的一个必要性和好处。
我们再继续往下看， OPPO take the。Name。比如说这个证数的看起来就是我们日常所说的样子，比如说正四，你在4的前面加一个正号还是不加这个正号，它都是一样的，也就是正号它是可以它是可以隐身的，但是 what the next is in front？在他的左边，你可以说他的前面，那么在数学上你说他的前面就是指这个数字的左边会加一个负号，不加这个符号是不可以的。因为如果你不加这个符号，那就相当于他表示了一个正数。
比如这个4，如果你没有在他的前面写一个减号，也就是负号它就代表了正4，所以复数是必须得加强调的。所以说 us T为next，birthday cos尔德格尔斯，一这一块我们来说一个概念性的问题，昨天我们说了数的种类，那么包含了英特尔呢就是整数的整个的整数的有理数，啊英特尔是有理数。有理数就是说除了所有的证和负的数，包括0还有分数和小数，它都是还有他都是因特尔。不是整数是整数，为什么是有理数？也就是说我们平时数的这些整数，正的整数，负的整数和0它都是整数。
在学了负数以后，就是说也就是整数，它的范畴会被扩展出有负的整数。那么同理瑞士诺南本就是有理数，也是包含了负的，有理数也就是说在数的种类里面，复数是被完全包括进来的。学到这一课了以后，其实我们还是在学数的一个认识数字。下面来看一下，但是不一定能够在这个地方能够做到这一点的话，am我得比他们便宜多了。适合自己的孩子。
这个还是要从数轴上我们再强调一下，正数负数和0，那么特别强调的就是0既不是正数也不是负数，而且用就是一个数轴去表达数字是非常有用的一种工具，不管你是研究科学，还是统计，还是学数学，它都是要用接下来party为next Monday，负数和正数有很多的用途，打个比方，说比如说你去银行借钱，还是你存钱这个就是一个经常所使用的正负数，也是各个国家都在使用正负数来表达的一件事情。
如果你是债务那就是贷，妈咪在用，你欠的钱那就是负的。C隐私你存的钱那就是曼尼得T keep你保存的钱是属于你的，它就是正的。如果是你借的钱，你找银行借了钱，那就是负的。
下面搭配的方法，比如说你有一张银行卡对吧？你取出来那就是透支了。代笔。你靠你的信用卡里透支出来的钱，那它就是负的。Cat to you拜克抗疼，你往里存了钱了，你的每每个月发的工资被存了进去，它就是一个证，正的在银行这个里叫做如果你是透支了钱就叫那么未来比如你学物理的时候对吧？电荷也是有证的，也有富的，比如说Nike T V liked负电荷，它就是如果是正电的正电荷，那么同样我们说温度，你可以画一个小人儿，热的有一个大太阳，那它就是 txt，如果把the row他就是正，那么比罗杰尔坦菲车，我们说水就化成冰了，对吧？
那么他是很冷的。再接下来比如说就是我们说的海拔。 Below c level。
就是说你可以画一个小孩正在游泳，也可以说你说有没有比如说有的地方他也是陆地是很多的，不是说比洛斯拉夫海水就会流下去，也不是比如说盆地，它都是低于海平面的，那么高于海平面的也有很多，它未必就一定是一个山，比如说呃很多的城市，它也就是鲍拉多，但是它不是一座山，这些案例我再重说一下，比如说你在银行的一个存款，或者你找银行借的钱，这就是一个正负的经常使用的，便于你去理解政府。
另外一个你比如说你的信用卡你透支了或者你往里存钱了，这都是一个正-，还有你的物理里面的电荷正正电荷负电荷对吧？这也是一个正负。
然后我们刚才举过很多次的温度和海拔问题，它都是一个正负的应用，当然初步的认识一下是帮助我们先认识一下负数和正数还有0，认识完以后未来如果要计算的话，是在这个基础上我们再慢慢的去说， up right。囡to the art。能够把它放到一个平面上面去。Am the same to the right man。但是没有发展到这个程度上来说。VR囡to，so the K高音 I土地因fat and night in fat。
我这一段主要说的是什么？我们横着画一个因为那本烂其实也不是只有横着的，它也可以竖着画，主要就是横和竖。未来我们学的就是横着画一个，竖着画一个，它也就成了一个坐标系。可可可以，那么坐标系可以帮助我们进行一个定位，那么一个其实也是一种定位，它主要是在一条线上对数字进行定位。那么左边的小于0的。0的左边是小于0，它也就是如果是0的右边它就是大于0，也就是。越往右越大，越往左越小，那么往右可以一直到无限大，往左可以到无限小。
么戎是无限的意思，它是用英语来怎么解释？它没有一个边界，没有结束。那么它一个分离体也有一个标志，新博，这个的系统就是一个把8躺过来，他就是因菲尼提的标，那么我们在中国学的时候，竖轴的话只是画右边这个箭头就可以了。如果是国外的话，他左边也是要画一个箭头，除了画这个箭头以外，画好以后先画一根线，然后画箭头对吧？然后要把零点标出来，那么左右两边的刻度一定要均衡画的准确一些，这就是一个画的一个。注意事项。
那么的标是一个加号，主那个题的标是一个减号，我们管它叫做他们如果一个数一个是正5，一个是-5，一个带了同样一个数，带了一个正号，还有同样它这个数又带了一个负号，那么这两个数它就叫做相反数。
其实相反数的概念要到初中可能才学但是对于任何一个小朋友来说，他很容易的就能够知道相反数的概念。正号和负号这个都是5，如果你是一个正的负的，他们这个朋友这两这两个朋友他们就叫做相反，opposite就是反过来的。那么在数学里up这词，我们所称的相反数，说白了他什么想法是符号相反？它们的符号是相反的。所以说比如说poss T发爷和那个地方的，他们就是一个所以他们儿子在这儿包括这么大的一个地方的话，就是说 on the light。
就是这样的一个情况。就是在数轴上表达一个相反数的话，你会发现这一组相反，相反数指的是两个数，两个数是互相相反，互为相反数指的是两个数。
所以你要理解一下，互相互为相反数还是互为以后学的互为倒数，它们指的都是两个数之间的关系，互为质数，互为核数，只要用了负，对吧？它是两个数之间的一个关系，那么互为相反数在数轴上会有一种怎样的体现？其实我们在学相反数的话，还是可以从数轴先来学习。也就是说这两个数他会从一个在0的左边，一个在0的右边，而且距离灵的距离是一样。比如说5正5它是在0的右边5个格，-5呢是在0的左边5个格，他们都是1个在0的左边1个0的右边，而且距离0的距离是相等，这就是一个的一个直观的概念。
那么我们说一下，比如说我们画一个温度计对吧？呃啊一个数值的，那么来一个数轴撒一个温度计每一家都有，你可以看一下，大部分温度计都是竖着挂的，它像一个数值的啊啊，一个温度计，如果它能够能够显示零下的话，你会看见有个0零刻度，那么零刻度之上呢一般来说是正的，如果是摄氏度的话，摄氏度的标是一个左上角，有一个圆圈，那么摄氏度的零刻度之上，它就是正的零刻度之下它就是负的。这就是一个数值的我们日常生活中可以见到的一个呃一个数轴。
那么我们举一个例子，提一个问题，比如说你说的一个相反数是几？是付吧？这个可能听完上面以后很多同学都可以回答的出来，我们练一下用英语来提问。卧T stay up late，txt。说8的相反数是集，你应该说 txt，下一个。说大饼包肉丝土豆里。The rest兄弟萌在这里熬死了。
是这样的，说戴维斯丹利借了两美金要求你用用一个整数来表示一下他借的钱欠了多少钱，也就是说平时你可能会说他借了斯丹利两美金对吧？你也可以说他现在欠斯坦利-2美金，他有富二美金的欠款，他有两美金的欠款，也就是她有-2美金的一个收支情况。所以说up the art管理，说说完了以后相反数以后，我们再说一个经常说一个双重否定，肯定，那么双重的复数它就是一个正数。
所以说 D这次 up this stay up set的话就是说我们的这个也就是说比如说一个数的付2次，一个5副，本来是5对吧？负的-5，它还是5，它就是一个正5。啊呃负的-8它是正8。如果两次付它还会回到原来的数，这就是一个性质。的还是他自己。所以这种性质我们管它叫管理体系的建设。
比如说说-6的-16的负的-16的-16说了两次付，他是几呢？他还是-16对吧？那么用英文来说，比如说我们说what is D up the art of-16？破，对吧？那么我们可以一遍一遍的数，苹果或者是16，它就是16啊，那么16的再来一次它就是-16，所以说 so set up txt N is next，which is the same as itself，它就还变成原来了。所以说就是说负的的负的，还是原来不变，不是说两次不可以不得不，那就是你必须得怎么样。
所以说举个例子，比如说有一天你想出去玩对吧？那么你你你问你的家长说，一个是我们的您的家长说1S ID，那么过两天你又说了，一你说我有一点谁，A哭得不够，你没有说我不能去，那么也就是代表你可以去对吧？也是这个意思，这是一个笑话。就是说他就是在用一个一种否定的否定，所以说他的家长回答他说，是因为这个事情 D盎你用你这是在乱用，复数的复数是正的，例子，但是它确实是如果你没有说不能去，那么也就意味着你其实是现在是可以去的去玩，这就是一个复数的利用应用，所以说在学负数的时候不仅仅要学一个复述，数字上的复数也要理解负的含义。
在生活中我们举了很多的例子，那么同时负数的负数返回到了原来比如说原来是-16那么，让他负两次，负的-16，然后再付一次，它还是会返回到-16，这就是一个负号的用途。那么未来在计算的过程中，如果负数往前放，超过两次，如果它是基数词，他就还是负的，如果是偶数次这些符号就被抵消了，他就变成正的了。所以不光是两个，它偶数奇数，去次数都是可以去无限制的去用，那么在未来学复数代复数的乘法，对吧？第一件事就是数负号的个数，在学符号的时候的就可以先接触一下学习一下。

数字种类第1节50%英语版本：整数与自然数

知识点：数字都有哪些分类和包含关系。

学习目标：了解整数的概念，了解自然数的概念。

数学双语学校课程 

同学们好！今天我们来讲一下数字的种类！
Hello everyone, today we are going to talk about types of numbers.
首先，让我们来思考一下，学习数字的种类有什么用途呢？
First of all, let’s think about one question. Why we need to know the types of numbers?
我们都知道，数学作为一门科学和语言，是专门用数字和图像来认识世界的。
As we all know, Math, is a science and a kind of language, is specially working on how to understand our world by using numbers and graphs.
正因为如此，我们想要学习数学，就要和数字们成为最好的朋友。
That’s why we need to becomes best friends of numbers before we learn math.

日常生活中的数字 

自然数 

整数 

零是整数吗