Einführung in die Stochastik für Studierende des gymnasialen Lehramts Mathematik, SS2015, Vorlesung

21: Vorlesung |

00:00:07 Einführendes Beispiel (tea tasting lady)

00:08:55 Hypothese und Alternative

00:15:17 Nichtrandomisierter Test, kritischer bereich, Ablehnbereich

00:21:55 Prüfgröße,. kritischer Wert

00:25:26 Beispiel (tea tasting lady)

00:26:22 Fehler erster und zweiter Art

00:34:10 Gütefunktion und Operationscharakteristik

00:40:02 Test zum Niveau alpha

00:46:45 Diskussion (Fehler und Fallen im Zusammenhang mit Niveau-alpha-Tests)

00:54:45 Einseitiger Binomialtest

01:11:18 Randomisierter Test (Motivation)

01:14:30 Randomisierter Test

01:19:42 Beispiel (allgemeiner einseitiger Binomialtest)

01:23:33 Gütefunktion eines randomisierten Tests

22: Vorlesung |

00:00:07 Wiederholung (Grundbegriffe der Testtheorie)

00:07:38 Beispiel (Gütefunktionen einseitiger Binomialtests)

00:13:26 Definition (aymptotisches Niveau, Konsistenz)

00:18:20 Beispiel (einseitiger Binomialtest)

00:32:02 Beispiel (Planung des Stichprobenumfangs)

00:44:39 Beispiel (zweiseitiger Binomialtest)

00:59:54 Vergleich der Gütefunktionen von ein- und zweiseitigem Binomialtest

01:04:38 Der p-Wert

01:09:39 Zusammenhang zwischen Konfidenzbereichen und Tests

01:15:16 Der Chi-Quadrat-Test

23: Vorlesung |

00:00:07 Chi-Quadrat-Test (Fortsetzung)

00:18:40 Definition (Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung mit r Freiheitsgraden)

00:20:52 Durchführung des Chi-Quadrat-Tests

00:25:44 Beispiel ("Mendels Erbsen")

00:28.30 Durchführung des Chi-Quadrat-Tests als Monte-Carlo-Test

00:34:19 Der exakte Test von Fisher

00:47:39 Trugschlüsse beim Umgang mit Tests

00:52:34 Allgemeine Modelle: Grundlegende Betrachtungen

01:04:13 Definition einer Sigma-Algebra

01:05:40 Folgerungen

01:07:46 Beispiele für Sigma-Algebren

01:10:12 Satz (Schnitte von Sigma-Algebren sind Sigma-Algebren)

01:17:20 Beispiel (von einelementigen Mengen erzeugte Sigma-Algebra)

01:20:27 Arbeitstechniken für Erzeuger

24: Vorlesung |

00:00:07 Borelsche Sigma-Algebra

00:07:52 Erzeuger der Borelschen Sigma-Algebra

00:15:29 Existenz und Eindeutigkeit des Borel-Lebesgue-Maßes

00:17:35 Motivation des Messbarkeitsbegriffs

00:20:52 Definition (Zufallsvektor, Messbarkeit, Verteilung)

00:25:07 Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Borelmengen des R^k

00:32:40 Gleichverteilung auf einer Menge im R^k

00:35:11 Definition und Satz (Verteilungsfunktion)

00:45:07 Satz (weitere Eigenschaften von Verteilungsfunktionen)

00:48:04 Satz (Existenz und Eindeutigkeitssatz)

00:52:00 Definition (diskrete Zufallsvariable/Verteilungsfunktion)

00:54:22 Definition (stetige Zufallsvariable/Verteilungsfunktion)

00:57:33 Diskussion des Dichtebegriffs

01:02:45 Cantorsche Verteilungsfunktion

25: Vorlesung |

00:00:08 Grundlegende stetige Verteilungen (Einführung)

00:00:49 Gleichverteilung auf einem Intervall

00:07:02 Exponentialverteilung

00:08:55 Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung

00:12:14 Bedeutung des Parameters als Skalenparameter

00:12:43 Zusammenhang zwischen Exponentialverteilung und Gleichverteilung

00:14:16 Normalverteilung

00:21:51 Zusammenhang mit der Standard-Normalverteilung

00:27:07 Bedeutung der Normalverteilung

00:28:47 Bestimmung der Verteilung einer transformierten Zufallsvariablem

00:40:54 Beispiel (Lognormalverteilung)

00:44:03 Definition der Lognormalverteilung

00:45:50 Wiederholung Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen

00:48:17 Herleitung des Erwartungswertes einer Zufallsvariablen im Fall eines allgemeinen W-Raumes

00:57:38 Definition (Erwartungswert)

00:59:55 Darstellungsformel von E(X) für eine stetige Zufallsvariable

01:10:16 Satz (Darstellungsformel für Eg(X)

01:12:02 Definition (Erwartungwert, Varianz, Momente)

01:15:21 Beispiel (Normalverteilung)

01:21:36 Quantile, Quantilfunktion

26: Vorlesung |

00:00:07 Wiederholung (Gleichverteilung, Exponentialverteilung, Normalverteilung, Lognormalverteilung, Erwartungswert, Quantile)

00:05:47 Cauchy-Verteilung

00:09:34 Symmetrische Verteilungen

00:12:15 Satz (Erwartungswert = Median bei symmetrischen Verteilungen)

00:16:34 Definition (Quantiltransformation)

00:17:48 Beispiel (Exponentialverteilung)

00:19:39 Satz (Quantiltransformation)

00:23:26 Mehrdimensionale stetige Verteilungen: Einführende Betrachtungen

00:26:30 Eindeutigkeitssatz für Wahrscheinlichkeitsmaße

00:28:23 Folgerungen (Festlegung der Verteilung eines Zufallsvektors)

00:30:34 Definition (stetiger Zufallsvektor, Dichte)

00:32:10 Beispiel (Produktansatz)

00:34:18 Definition (mehrdimensionale Standard-Normalverteilung)

00:36:29 Satz (Gewinnung der marginalen Dichten)

00:43:12 Beispiel

00:46:45 Satz (Unabhängigkeit und Dichten)

00:53:43 Faltungsformel für stetige Zufallsvariablen

00:59:31 Beispiel (Additionsgesetz für die Normalverteilung)

01:05:37 Beispiel (Faltung zweier Gleichverteilungen)

01:09:41 Definition (Gammaverteilung)

01:11:35 Momente der Gammaverteilung

01:14:13 Additionsgesetz für die Gammaverteilung

01:17:31 Definition (Chi-Quadrat-Verteilung)

01:19:41 Erwartungswert und Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung

01:22:24 Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung

27: Vorlesung |

00:00:07 Wiederholung (Zufallsvektor mitstetiger Verteilung, Dichte, Marginalverteilungsbildung, Faltungsformel, Additionsgesetz für die Normalverteilung, Chi-Quadrat-Verteilung)

00:03:04 Darstellungsformel für den Erwartungswert einer Funktion eines Zufallsvektors

00:05:15 Kovarianz, Pearson-Korrelationskoeffizient, Multiplikationsregel für Erwartungswerte

00:08:50 Beispiel

00:12:53 Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix

00:17:31 Rechenregeln für Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix unter affinen Transformationen

00:19:28 Satz (Eigenschaften der Kovarianzmatrix)

00:24:11 Beispiel (Multinomialverteilung)

00:26:48 Transformationssatz für Dichten

00:30:05 Beispiel (Erzeugung normalverteilter Pseudozufallszahlen)