Eigenraum

Ist 1 eine Primzahl und wenn nein, warum? Wir können uns in der Mathematik die Antworten solche Fragen aussuchen, je nachdem wie wir die Definitionen machen. Diese Wahlmöglichkeiten haben Einfluss auf die Eleganz und Verständlichkeit von allem, was dann folgt.

Viele Eigenschaften von Größe oder Stärke, die wir kennen, sind transitiv. D.h. falls A stärker ist als B und B stärker als C, dann ist logischerweise A stärker als C. Beim Würfeln ist das aber ziemlich wahrscheinlich nicht der Fall, es könne sich Stein-Schere-Papier Würfelmatches ergeben.

Ein analytisches Ergebnis mit echten Wahrscheinlichkeiten wurde dazu durch eine Online-Kooperation fast anonymer Autor:innen in WordPress-Kommentaren erzielt.

Wie versprochen geht es noch weiter mit der Graphentheorie, und zwar mit dem Problem auf einem Graphen eine möglichst große Teilmenge der Ecken zu finden, sodass der induzierte Teilgraph nur ungerade Grade hat. Das kann man sich auch so vorstellen, dass auf einer Party die Leute sich die Hände schütteln und man sucht am Ende eine möglichst große Gruppe von Leuten, in der sich untereinander nur ungerade oft die Hand geschüttelt wurde. Wer das Händeschütteln nicht mag, kann übrigens auch einfach Unterhaltungen nehmen, denn Graphentheorie abstrahiert alle Beziehungen, die zwischen zwei Ecken möglich sind. Ach ja, manchmal sage ich in der Folge auch „Vertizes“ zu den Ecken.

Im 18. Jahrhundert erschuf Leonard Euler ein neues Gebiet der Mathematik, welches sich vom Zählen und Messen als Ursprung aller Mathematik entfernte: die Graphentheorie. In ihr werden Abstands- und andere Informationen ignoriert und ein Graph speichert nur noch die Existenz von irgendwelchen Dingen und welche Paare dieser Dinge in einer Beziehung stehen. Das Konzept ist so vielseitig, dass es praktisch überall auftaucht und trotzdem kann man leichte und schwierige Theoreme in der Graphentheorie beweisen. In diesem ersten Teil einer Doppelfolge bespreche ich die Ursprünge der Graphentheorie.

In diesem Eigenraum reagiere ich auf den Artikel Kopfgeldjagd im Leibnizmagazin. Dort werden Preisgelder in der Mathematik diskutiert. Von den mit 1 Mio. dotierten Milleniumsproblemen bis zu Erdös $50-Problemen geht’s hier neben Geld und Eitelkeit auch um die Problemkultur. Und manchmal kann man mit Mathematik eben auch eine lebende Gans oder einen Lachs gewinnen.

Ach ja, und die größte bekannte Primzahl hat nur lächerliche 24862048 Dezimalstellen. Way to go!

Heute geht es um eine Zahlenfolge von der wir nur den Anfang 1093, 3511, … kennen. Die Geschichte beginnt im 17. Jahrhundert, mit einem leichten und einem schweren Satz von Pierre Fermat, wobei er den schweren gar nicht bewiesen hat. Ein Lehrer aus Münster stieß dann um 1908 bei seinen Nachforschungen auf diese Primzahlen und bis heute beißen sich Zahlentheoretiker:innen die Zähne aus, noch weitere dieser Art zu finden.

Ich frage mich, was es alles so für reelle Zahlen gibt und welche davon bei einem Spiel gewinnen, das ich für einen Partykracher halte. Die meisten Zahlen, mit denen wir so im täglichen Leben zu tun haben, gehören zu einer total kleinen Teilmenge der reellen Zahlen, nämlich den berechenbaren Zahlen. Logisch, wir rechnen ja die ganze Zeit damit. Trotzdem sind die meisten reellen Zahlen nicht berechenbar, was bedeutet, dass kein Computerprogramm alle ihre Stellen hinschreiben kann. Daher ist es ziemlich schwierig, überhaupt über diese „meisten reellen Zahlen“ zu reden. Ich versuchs trotzdem.

Jeff Tupper fand Anfang der 2000er eine Formel, deren Auswertung alle 17×106 großen Bitmaps enthält und damit auch ein solches Bitmap der Formel selbst. Hinter dem folgenden Link ist ein kurzes Numberphile Video zur Tupper Formel und hier könnt ihr selbst Zahlen in Bitmaps übesetzen.

Tuppers Formel ist aber nicht vollständig selbstplottend, da die Information, wo die Formel in der unendlichen Grafik zu finden ist, nicht selbst enthalten ist. Außerdem sieht die Formel nicht gut aus — total pixelig. 2019 veröffentlichte Jakub Trávník eine Variante, die sich selbst als Vektorgrafik rendert.

In dieser Folge wirds wieder ganz schön Meta. Ich versuche, eine Parallele zwischen Sport und Mathematik zu ziehen. Bei beiden gibt es den Profibereich und auch einen gesellschaftlichen Gesamtzustand. Bei beiden spielen Übung und Talent eine Rolle und bestimmen, wie erfolgreich und begeistert man bei der Sache ist. Und das erste Jogging nach Jahren der sportlichen Inaktivität fühlt sich bestimmt auch so ähnlich an, wie die erste Beschäftigung mit Mathematik.

Hier noch der Link zum erwähnten Fitness-Artikel von Bernd Sturmfels.

In diesem Jahr hat (neben 3 weiteren Preisträgern) Maryna Viazovska die Fieldsmedaille für die Lösung eines 8-dimensionalen Packungsproblems erhalten. Ich nehme euch mit in eine kleine Rechnung, die einen seltsamen Effekt mit Kugeln in höheren Dimensionen verdeutlicht. Wenn ihr eure Podcasts immer auf 2,5-facher Geschwindigkeit hört, ist vielleicht hier eine gute Gelegenheit mal auf 1,5 zu stellen und mitzurechnen. Mit dem wirklichen Beweis hat meine Geschichte übrigens gar nichts zu tun, aber der basiert auch kurioserweise auf Methoden aus der Zahlentheorie.

Die erwähnte Folge von π=3 ist hinter diesem Link versteckt, und da ist noch ein Quanta-Artikel von 2016 zu diesem Thema.